[数学][期末]广西南宁市普高联盟2022-2023学年高一下学期期末联考试题(解析版)

这是一份[数学][期末]广西南宁市普高联盟2022-2023学年高一下学期期末联考试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得．
故选：A.
2. 知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以＝．
故选：D．
3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】B
【解析】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，
且长，宽，故平面图形的面积为.
故选：B.
4. 已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】对于选项，，则，故A正确；
对于B选项，，则，故B正确；
对于选项，，则或，故C错误；
对于D选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故正确.
故选：C.
5. 甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：
下列说法正确是（ ）
A. 甲平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数等于乙的中位数
C. 甲、乙的众数都是7D. 乙的成绩更稳定
【答案】D
【解析】计算得甲、乙的平均数都是8，故A错误；
甲从小到大进行排序：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
乙从小到大进行排序，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，
所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故B错误；
乙的众数是8，故C错误；
甲的方差为，
乙的方差为，
所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故D正确．
故选：D.
6. 已知是第一象限角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是第一象限角，所以，
所以，所以.
故选：B.
7. 某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A B.
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】由题知，则，又，
则，所以当时，，
则，又，
则，因此，
所以当时，，
当时，，
因此ABC正确，D错误.
故选：D.
8. 在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高，
易知外接球求心O在PH上，且H为底面正的中心，
如图，设外接球的半径为R，由题可知，
则．由得，解得，
所以外接球的体积为．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A. 复数的虚部为1B. 复数的共轭复数是
C. 复数的的模是10D. 复数的对应的点在第四象限
【答案】BD
【解析】，由虚部定义知：z的虚部为，A错误；
对于B，共轭复数定义知：，B正确；
，C错误；
z对应的点为，位于第四象限，D正确．
故选：BD.
10. 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（ ）
A. 2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长．且2021年增长的最多
B. 2017-2022这6年我国社会物流总费用的第分位数为14.9万亿元
C. 2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D. 2022年我国的GDP超过了121万亿元
【答案】ACD
【解析】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，
且增长为万亿元，故A正确；
因为，则第分位数为第5个，即为，
所以这6年我国社会物流总费用的第分位数为万亿元，故B错误；
由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
，故C正确；
由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D正确.
故选：ACD.
11. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】把函数的图象，向左平移个单位长度，
得到的图象，
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
得到的图象，
最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，
得到的图象，
而
.
故选：BD.
12. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ）
A. 异面直线与的夹角的正弦为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 正方体的外接球体积为
D. 三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面，
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为______人.
【答案】2 700
【解析】每个学生被抽到的概率为，设该校共有n名学生，
可得，解得（人）.
故答案为：2 700.
14. 在中，角，，的对边分别为，，，已知__________．
【答案】
【解析】由余弦定理，
即，即，解得或（舍去）.
故答案为：.
15. 已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】设长方体的外接球的半径为，
因为平面，平面，所以，
又因为，在中，，
可得，即，
所以长方体的外接球的表面积．
故答案为：.
16. 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______.
【答案】
【解析】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，
设，，，
设，，，
，，，
，，，
，，
，即，解得，
，因为为中点，，
设，，，，
，，
所以当时，即.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量．
（1）求；
（2）当时，求的值
（3）当时，求的值
解：（1）由，，得，∴.
（2）∵，，，∴，解得．
（3）∵，，且，
∴，解得．
18. 全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
（1）求直方图中a值；
（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？
解：（1）由频率分布直方图得，解得．
（2）设平均数为，
则，
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．
（3）日均运动步数在的频率为，
日均运动步数在的频率为，
则位数在内，为，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步.
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，AD＝5，棱PC的中点为N，连接DN.
（1）求证：平面PCD；
（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
解：（1）∵为等边三角形，N为PC中点，∴，又∵平面平面PCD，
平面平面，∴平面PAC，又平面PAC，∴，
又，，CD，平面PCD，∴平面PCD.
（2）连接AN，由（1）可知，平面PAC，
∴为直线AD与平面PAC所成的角，
∵为等边三角形，且为PC的中点，∴，
又，在中，，
故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
20. 已知△ABC的内角的对边分别为，．
（1）求A的大小；
（2）若且△ABC的面积为，求的值．
解：（1）在中，由正弦定理及，
得，
即有，
，
整理得，而，因此，
又，所以．
（2）因为，由（1）知，则，
由余弦定理得，即，
于是，
由正弦定理得，，，
所以．
21. 已知函数．
（1）化简函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）.
（2）令，则，
∴函数的单调递增区间为．
（3）对任意的，有，
∴，∴，
要使恒成立，∴，解得，
故所求实数m的取值范围为．
22. 如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）求直线AB1到平面的距离．
解：（1）设交于O，连接OD，
在直三棱柱中，可知：侧面是平行四边形，则O是的中点，
又因为D是AC的中点，所以，
且平面，平面，故∥平面.
（2）由（1）知∥平面，
可知直线与平面的距离等价于点A到平面的距离，设为h，
因为，，所以，
又因为D为AC的中点，则，
可得，，
在直三棱柱中，可得面ABC，面ABC，
故，，
在中，，，
在中，，
所以在中，，
可知为锐角，则，
故，
因为，即，
可得，解得，
所以直线与平面的距离为．
甲的环数
7
7
10
6
10
8
7
9
7
9
乙的环数
7
8
8
9
8
7
7
9
8
9