2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题

南宁二中2022—2023学年度上学期高一期中考试

数学

（时间120分钟，共150分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知函数，则的值为（    ）

A.6 B.5 C.4 D.3

3.下列每组函数是同一函数的是（    ）

A.，  B.，g

C.， D.，

4.已知不等式的解集是，则实数等于（    ）

A. B. C.5 D.10

5.下列说法正确的是（    ）

A.命题“若，则”为真命题

B.“是”的必要不充分条件

C.命题“若实数满足，则或”为假命题

D.命题“，使得”的否定是：“，均有”

6.函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集是（    ）

A. B. C. D.

8.若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A.4 B.6 C.18 D.36

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则  D.若，，则

10.不等式成立的一个充分条件是（    ）

A.或  B.或

C.  D.

11.若，，且，则（    ）

A. B. C. D,

12.高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列哪些元素（    ）

A. B.0 C.1 D.2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知幂函数的图象经过点，则____________.

14.函数的单调递增区间为______________.

15.若是上的增函数，则实数的取值范围是_____________.

16.已知函数，对任意，总存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知集合，集合，.

（1）求，；

（2）若是的必要条件，求的取值范围.

18.（本小题满分12分）已知函数.

（1）函数在区间上的单调性是怎样的？请用单调性的定义证明你的结论；

（2）若，求时函数的值域.

19.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数的解析式，并画出的图象；

（2）求关于的不等式的解集.

20.（本小题满分12分）设函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，一般情况下，隧道内的车辆速度（单位：千米/时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/时.

（1）若车流速度不小于40千米/时，求车流密度的取值范围；

（2）隧道内的车流量（单位：辆/时）满足，求隧道内车流量的最大值及隧道内车流量达到最大时的车流密度.（结果取整数）

参考数据：.

22.（本小题满分12分）已知函数，.

（1）若，，求函数，的值域；

（2）若恒成立，

①求证：；

②若，且恒成立，求的取值范围.

南宁二中2022—2023学年度上学期高一期中考试

数学参考答案

1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C

4.【答案】A  解：由不等式的解集是，即方程的解集是，∴且，解得.故本题选A.

5.【答案】A  解：A.若则是真命题，故本选项正确；

B.，但是，或，故“”是“”的充分不必要条件，故本选项错误；

C.若实数满足，则或为真命题，故本选项错误；

D.命题“，使得”的否定是：“，均有”，故本选项错误.故选：A.

6.【答案】A  解：二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知.故选：A.

7.【答案】D  解：定义在上的偶函数，在上为减函数，且，可得在上为增函数，且，所以的解集为，的解集为，则等价为或，即为或，解得或，即所求解集为.故选D.

8.【答案】D  解：由可得，

因为，，所以，当且仅当时等号成立，

所以，即，

所以，解得：，所以.故选D.

9.【答案】BD  解：A.不一定成立，取，，，，显然不满足；B.由，得，可得：.C.不一定成立，例如，.D.，，即，则，成立.故选：BD.

10.【答案】AD  解：不等式，解得或，显然A正确；不能推出或，B错误；不能推出或，C错误；能推出或，D正确；故选AD.

11.【答案】ACD  解：，，，，当且仅当时取等号，A正确；，，，，当且仅当时取等号，B错误，C正确；，当且仅当时取等号，D正确.故答案选：ACD.

12.【答案】BC  解：，

∵，∴，则，，，

则，故选：BC.

13.【答案】1  解：设幂函数，

∵函数过点，∴，解得，∴，∴.故答案为1.

14.【答案】  解：令，

令，解得：，而的对称轴是：，故在递增，在递减，根据复合函数单调性可得函数在递增，故答案为：.

15.【答案】  解：∵是上的增函数，

∴，即，得.

∴实数的取值范围是.故答案为：.

16.【答案】或或

解：在上单调递增，所以，

即的最小值为1，任意，总存在，使不等式成立对于所有的恒成立，

即对于所有的恒成立，

令，只要，∴或或.

故答案为：或或.

17.解：（1）由，得，，

所以，，.

（2）由得，∴，

∵是的必要条件，∴，∴，

解得，故的取值范围.

18.解：（1）当时，函数在区间上单调递减，证明如下：

设，则，

又由，则，，，

所以当时，，

从而得，则函数在区间上单调递减.

（2）若，，则，

此时函数在区间上单调递减，

则，，即函数的值域为.

19.解：（1）∵函数是定义在上的奇函数，则，满足.

设，则，所以，，

此时，.

综上所述，；

作出函数的图象如图所示：

（2）由（1）可知函数在定义域上既为奇函数，

由可得，

又函数在定义域上为减函数，

所以，解得.

因此，关于的不等式的解集为.

20.解（1）原不等式可化为：.（因式分解或用求根公式求出根均给1分）

①当即时，不等式的解集为；

②当即时，不等式的解集为；

③当即时，不等式的解集为.

（若讨论各类，求出的错，解集对，总体只扣1分；若有分类讨论，解集全错，只给1分）

（2）方法一（根的分布）：

①当即时，只需即时

②当即时，显然成立；

综上的取值范围为.

（2）方法二（分参法）：对任意的，

由题意得：恒成立，

∵，∴，∴恒成立.

∴，∴的取值范围为.

（2）方法三（求最值法）：由知，其对称轴为

①

②

③

综上的取值范围为.

21.解：（1）依题意，时，，代入，

得，解得.

∴，（不写解析式不扣分）

当时，，符合题意；

当时，令，解得，此时.

综上所述，车流速度不小于40千米/小时时，车流密度的取值范围为；

（2）由题意得，，（不写解析式不扣分）

当时，是增函数，∴，

当且仅当时取等号；当时，

因为，所以.

当且仅当，即时取等号，

综上所述，隧道内车流量的最大值约为3250辆/时，此时隧道内的车流密度约为87辆/千米.

22.解：（1）若，，则

因为与在上都单调递增，

所以在上单调递增，（用定义证明也可）

所以，，（只要对一个即可给1分）

的值域为

（2）①证明：因为恒成立，即恒成立，

所以，即，所以，

则，所以；

②解：，又，当时，不等式恒成立，

当时，

所以恒成立

令，则，则在上恒成立，

又（只需小于），所以.