2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试（一）数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的运算法则计算．

【详解】由题意，所以．

故选：A．

2．已知命题，则命题的否定为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.

【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：

命题的否定为：.

故选：D

3．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.

【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的性质，可得且，即，

由三角函数的诱导公式，可得，

所以.

故选：D.

4．若，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用切化弦化简技巧结合可得出，再由可得出，，再由可计算出的值.

【详解】因为，所以，

，则，，.

所以，所以，

故选：A.

【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

5．已知角的终边上一点，则（    ）

A． B．

C． D．以上答案都不对

【答案】C

【分析】可由题意，利用坐标分别表示出，然后再计算即可得到答案.

【详解】因为角的终边上一点，所以，，所以.

故选：C.

6．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.

【详解】令，要满足在上有两个不相等的实根，则

，解得

故选：D

7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（    ）倍.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，

则有，即，

所以所求结果为倍.

故选：A

8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（    ）．

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.

【详解】,

由，

，

即，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：B

二、多选题

9．已知函数，，则下列选项中正确的有（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．的值域为 D．有最小值0

【答案】AB

【分析】由奇偶性定义可判断AB；利用单调性可判断CD；

【详解】因为，，所以为奇函数，故A正确；

当时，，当且仅当即时等号成立；

当时，，当且仅当即时等号成立；故C错误；

因为，所以，所以为偶函数，故B正确；

当时，是单调递增函数，所以；

当时，是单调递减函数，，故D错误；

故选：AB.

10．以下四个命题，其中是真命题的有（    ）．

A．命题“”的否定是“”

B．若，则

C．函数且的图象过定点

D．若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则

【答案】ACD

【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.

【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；

对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确；

对于C，当时，，故其过定点，故C正确；

对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有，

又，故D正确.

故选：ACD

11．已知函数，下列说法正确的是（    ）．

A．函数的图象恒过定点

B．函数在区间上单调递减

C．函数在区间上的最小值为0

D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.

【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；

当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；

当时，，所以，故C正确；

当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.

【详解】当时，，，

画出函数图像，如图所示：

根据图像知：，即，，A正确；

 ，B正确；

，，，即，

即，展开得到，

解得，由于，等号不成立，故C错误；

，故，，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3(含3)，3到10(含10)每走1加价1.5元，10后每走1加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20，他应交费________元.

【答案】26.5

【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.

【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则，

∴当x=20时，.

故答案为：26.5.

14．计算______

【答案】

【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式，由两角和差的正弦公式可得，再化简求值即可.

【详解】解：，

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.

15．已知，且，则______.

【答案】

【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】，

又，

所以，

又，

所以，

所以为负值，

所以.

故答案为：.

16．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．

【答案】或

【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

【详解】令，记的零点为，

因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，

则，或或

当时，得，，满足题意；

当时，得，，满足题意；

当时，，解得.

综上，t的取值范围为或.

故答案为：或

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)-1

(2)2

【分析】根据三角函数的定义，，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；

【详解】（1）根据三角函数的定义，．     

原式；

（2）原式．

18．设函数的定义域为集合的定义域为集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；

（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.

【详解】（1）由，解得或，

所以．

．

当时，由，即，解得，

所以．所以．

（2）由（1）知，．

由，即，解得，

所以．

因为“”是“”的必要条件，

所以．所以，解得．

所以实数的取值范围是．

19．已知.

(1)若，求的值.

(2)若，，且､，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式求出，进一步得出，再由齐次式即可求解.

（2）由题意可得，，再由两角和的正切公式即可求解.

【详解】（1）

由已知，，得

所以

（2）依题意，由，可知，，

∴，

∴.

∵，∴.

又∵，∴.

∴.

而，

∴.

∴.

∴.

20．已知函数为奇函数．

(1)求实数b的值，并用定义证明在R上的单调性；

(2)若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据奇偶性定义和函数的单调性证明即可求解；（2）根据函数性质进行变形理解即可得解.

【详解】（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，

∴，解得．

此时，

所以为奇函数，

所以．

是R上是单调递增函数.

证明：由题知，设，

则

∵

∴，

∴

即，

所以在R上是单调递增函数．

（2）因为是R上的奇函数且为严格增函数，

所以由，

可得，

即对一切恒成立．

令，，

设，

所以，

即，

解得．

21．某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：

(1)后还剩百分之几的污染物？

(2)污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）

【答案】(1)10h后还剩下81%的污染物

(2)33h

【分析】（1）根据时得到时，然后将代入中得到，解得，即可得到，然后将代入求即可；

（2）令，然后列方程求即可.

【详解】（1）由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.

（2）当时，有，解得，即污染减少50%大约需要花33h.

22．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．

（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；

（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．

【答案】（1）见解析； （2）； （3）.

【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．

【详解】（1）任意,,

因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．

（2）.

因为是“距”增函数，所以恒成立，

因为,所以在上恒成立，

所以，解得，因为,所以.

（3）因为，，且为“2距”增函数，

所以时，恒成立，

即时，恒成立，

所以，

当时，，即恒成立，

所以, 得;

当时，，

得恒成立，

所以,得,

综上所述，得.

又，

因为,所以，

当时，若，取最小值为；

当时，若，取最小值.

因为在R上是单调递增函数，

所以当，的最小值为；当时的最小值为，

即 .

【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．