2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．复数的虚部为___________.

【答案】4

【分析】根据复数的代数形式可直接得到其虚部.

【详解】由复数的概念可得复数的虚部为.

故答案为：

2．设向量，且，则______

【答案】

【分析】依题意可得，根据向量数量积的坐标表示计算可得；

【详解】解：因为，且，

所以，解得

故答案为：

3．已知角的终边与单位圆的交点为，则___________.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角公式求解.

【详解】根据三角函数的定义得：，

又因为

故答案为：

4．在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________.

【答案】

【分析】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简.

【详解】复数对应点的坐标为，∴，

.

故答案为：

5．已知数列的前项和为，则___________.

【答案】19

【分析】利用作差法求出，代入即可求解.

【详解】，

所以，

两式相减得，，

所以.

故答案为：19.

6．在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.

【答案】##

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

【详解】，

，

，.

故答案为：.

7．已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________.

【答案】

【分析】利用平面向量的投影的定义求解.

【详解】解：因为向量，，

所以向量在方向上的数量投影为 ，

故答案为：

8．已知等差数列的前项和为，且，则___________.

【答案】12

【分析】根据等差数列的性质求解即可.

【详解】由等差数列知，，

，

.

故答案为：12

9．已知的递推公式为，则___________.

【答案】4

【分析】无穷项等比数列求和，借助极限公式.

【详解】由递推公式可得，是首项为1公比为的等比数列，

数列前n项和为，

.

故答案为：4

10．对于函数，其中，已知，则___________.

【答案】

【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果.

【详解】

而

所以，故

故答案为：.

11．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________.

【答案】48

【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值．

【详解】，

，即为直角三角形，

建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，，外接圆，

设，，则，，，

所以，当且仅当时取等号．

所以的最大值是48．

故答案为：48．

12．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），通常记作，表示不超过的最大整数，如，已知，，，则___________.

【答案】7

【分析】根据题意得到数列项，通过观察可得数列的周期性，然后根据周期性求值即可．

【详解】∵，（，且），

∴，，，

同理可得

∴，即数列的周期为6．

∴．

故答案为：7

二、单选题

13．若是内一点，，则是的（    ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

【答案】B

【分析】设的中点为，由题可得，进而即得.

【详解】设的中点为，连接，

由，得，

∴三点共线，是的三等分点，即是的重心.

故选：B,

14．设是复数，则以下命题中的真命题的个数是（        ）

①若，则                    ②若，则

③若，则                    ④若，则

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】设，利用复数的运算求解逐项验证.

【详解】设，

①若，解得，则，故正确；                  ②若，即，解得，即，则，故正确；

③若，则，即则，故正确；                    ④若，则，而，故错误；

故选：C

15．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离.

【详解】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；

②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；

③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；

④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.

综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.

故选：C

16．已知等差数列的前项和为，向量，，，且，则用､､表示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据为关于的一次函数可知三点共线，由三点共线向量表达式可得解.

【详解】因为是等差数列，所以，

故为关于的一次函数，

所以，，在同一条直线上，即三点共线，

所以由可得，且，

所以，解得．

故选：B

三、解答题

17．已知.

(1)若，求实数的值；

(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】(1)2

(2)且

【分析】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可；

（2）设夹角为，则，得到，计算可得的范围，注意与不同向共线.

【详解】（1）若，则，解得.

（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，

故只需，解得

且与不同向共线，即，

所以实数的取值范围为且.

18．已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位.

(1)当时，求实数的值.

(2)当，且，求实数的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解；

（2）由实系数的一元二次方程的求根公式化简求解即可.

【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根，

所以当时，，

所以；

（2）当时，，由求根公式可知，两根分别为，

所以，

所以，解得.

19．已知函数.

(1)求函数的严格单调递增区间；

(2)求函数在区间的值域；

(3)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先化简，根据正弦型函数的单调性列出不等式即可；

（2）根据范围求出范围，即可得到其值域；

（3）分离参数得，利用诱导公式和二倍角余弦公式得，再结合范围，即可求出右边最小值，即得到答案.

【详解】（1）

，

令，,

得，,

故严格单调递增区间为.

（2）当时，，

所以，

故值域为.

（3）由题意得

设

当时，则，则

所以.

20．已知等差数列的首项为首项2的等比数列，且公比大于0..

(1)分别求的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)令，判断有无最大项，若有指出第几项最大，求最大项的值.

【答案】(1)，

(2)

(3)有，第四项，

【分析】（1）直接根据等差等比数列的通项公式列方程求出公差公比，进而可得通项公式；

（2）利用等差等比数列的求和公式分组求和即可；

（3）利用的正负值的确定可得最大项.

【详解】（1）设的公比为，因为首项为2，且，

所以，

所以，

因为的首项为1，，所以，

设的公差为，则，

所以；

（2），

所以前项和；

（3），

所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以的最大项是.

21．借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：

(1)在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点O逆时针方向旋转至．求点的坐标；

(2)设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数；

(3)设为不重合的两个定点，将点绕点按逆时针旋转角得到点，判断点是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)能，答案见解析

【分析】（1）设，以为终边的角为，则，利用两角和的正弦和余弦公式求得和，进而求得点坐标；

（2）先把平移到起点在原点得到，与（1）同理求得即得；

（3）与（1）同理求得点，把点坐标代入直线，分情况讨论求解即可．

【详解】（1）设以为终边的角为，，

则，

，

所以；

（2）把向量的起点平移到原点O，得到向量，绕坐标原点O逆时针方向旋转得到向量，

，

设以为终边的角为，则以为终边的角为，

记，则，

且，

所以向量对应的复数为；

（3）欲求点坐标，只需要求位置向量坐标，显然．

因为向量，

由（2）知只要把中的换成即可，

，

，

即C点坐标，

若“点落在直线上”

“”

“”

①当时，点重合，不合题意；

②当时，要使点能落在直线上，此时需即；

③当时，要使点能落在直线上，此时需即；

④ 当时，要使点能落在直线上，由，

此时需．

注：情形 ② 可以并入情形④ ，

综上所述：当时，；当时，

【点睛】关键点点睛：本题的关键是要把点的坐标用参数形式表示出来，同时要理解参数的几何意义．