2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二下学期质量调研数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二下学期质量调研数学试题

一、单选题

1．甲､乙､丙､丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关系数分别如下表：

则建立的回归模型拟合效果最好的同学是（       ）A．甲 B．乙 C．丙              D．丁

【答案】A

【分析】相关指数越大，相关性越强，拟合效果越好．根据相关指数的大小即可判断．

【详解】相关指数 越大，相关性越强，回归模型拟合效果越好，所以效果最好的是甲．

故选：A

2．下列命题中，错误的命题为（       ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

【答案】A

【分析】A选项利用二项分布的期望和方差求解，B选项根据方差的定义很容易判断，C选项利用正态曲线的对称性求解，D选项列出的概率，利用数列的单调性求解.

【详解】A选项，根据二项分布的期望，方差公式可得，解得，A选项错误，

根据方差的定义容易判断B选项正确，

根据正态曲线的对称性：，C选项正确；

设，这里且，当时 ，并令，解得，又，于是，时，，即，另一方面，，结合可知时，即，综上可知最大，即时概率最大，D选项正确.

故选：A.

3．已知函数的图象如下图所示，其中是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的图象即可得出在上的符号，即可由单调性解出．

【详解】由函数的图象可知，当时，，函数递增，排除A，B；当时，，函数递减，时，，函数递增，所以函数在处取极小值，排除D．

故选：C

4．下列关于曲线的结论正确的是（       ）

A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是

C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6

【答案】D

【分析】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.

【详解】解：因为曲线，不是椭圆方程，

所以曲线不是椭圆，故A正确；

因为曲线，

所以，所以，故B错误；

曲线与轴正半轴的交点坐标为，

若曲线关于直线对称，

则点也在曲线上，

又，所以点不在曲线上，

所以曲线不关于直线对称，故C错误；

对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为，

则以四点为顶点的四边形的面积为，

所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.

故选：D.

二、填空题

5．函数在到之间的平均变化率为___________.

【答案】

【分析】根据题意，由平均变化率公式计算即可得解.

【详解】解：由函数，

得，

，

所以其平均变化率.

故答案为：.

6．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.

【答案】2

【分析】由双曲线的虚轴长的定义可得.

【详解】双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.

故答案为：2.

7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.

【详解】因为，则，则，

所以，曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

8．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则___________.

【答案】

【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.

【详解】由已知得，表示个白球，个红球，

故，

故答案为：.

9．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数___________（精确到）.

【答案】

【分析】根据数据计算各相关量，结合相关系数公式直接计算.

【详解】由已知得，，，，，

所以相关系数，

故答案为：.

10．设随机变量行合二项分布X服从，则___________.

【答案】8

【分析】根据二项分布的方差公式求解，再根据方差的性质求解即可

【详解】由题意，，故

故答案为：8

11．现有5张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5.从这5张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则___________.

【答案】

【分析】依题意的可能取值为、、，求出，再利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意的可能取值为、、，

所以，所以;

故答案为：

12．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.

【答案】

【分析】联立，消，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，结合根的判别式从而可得出答案.

【详解】解：联立，消得，

当时，，解得，

此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；

当时，则，解得，

综上所述或，

所以满足条件的实数的值组成集合为.

故答案为：.

13．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，则___________.

【答案】0.625

【分析】利用古典概率求出事件A，AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，，，

所以．

故答案为：.

14．已知为双曲线的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则此双曲线的渐近线方程为___________.

【答案】

【分析】设，在中，根据，可以求出的长，根据双曲线的定义可以求出，求出离心率，利用，可以求出之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程.

【详解】设，所以，，由双曲线定义可知：

，所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

15．实数满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设，故可转化为直线与圆有公共点，利用几何法可得参数取值范围.

【详解】设，

故直线与圆有公共点，

所以圆心到直线的距离，

解得，

故答案为：.

16．若在R上严格增，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由题意可得，即恒成立，再设，结合二次函数的性质求解即可

【详解】由题意，在R上恒成立，即在R上恒成立.设，则在上恒成立，二次函数对称轴为

①当，即时，只需即可，解得，此时无解；

②当，即时，只需即可，解得，此时无解

③，即时，只需即可，解得，此时有.

综上所述，

故答案为：

三、解答题

17．求下列函数的导数；

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】根据复合函数的导数与基本初等函数的导数公式计算即可

【详解】(1)，则

(2)，则，

18．一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

问：能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

【答案】有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【分析】利用独立性检验求解.

【详解】解：由题得列联表为：

计算，

所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

19．甲､乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.7，各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布与期望.

【答案】(1)0.55

(2)分布列见解析；

【分析】（1）分甲3场都获胜和甲获胜2场两种情况讨论，再结合相互独立事件的乘法公式计算即可得出答案；

（2）写出随机变量的所有可能取值，分别求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出数学期望.

【详解】(1)解：甲学校要获得冠军，需要在3场比赛种至少获胜2场，

当甲3场都获胜时，概率为，

当甲获胜2场时，概率为，

所以甲学校获得冠军的概率为；

(2)解：可取，

，

，

，

则的分布为：

所以.

20．已知椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A､B，

(1)求b的值；

(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；

(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若.证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.

【答案】(1)

(2)，

(3)证明见解析，过定点

【分析】（1）易得椭圆的焦点在轴上，根据椭圆得离心率即可求得；

（2）设，根据两点得距离公式结合二次函数的性质即可得出答案；

（3）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，利用韦达定理和两点间的斜率公式化简，结合，即可求得与的关系，从而可得出结论.

【详解】(1)解：由题意可知椭圆的焦点在轴上，

则，

所以，

所以；

(2)由（1）得椭圆的方程为，

则，

设，

则，

因为点P在椭圆上，

所以，

则，

则，

所以当时，，

此时，

所以；

(3)证明：，

设直线的方程为，，

联立，消得，

则，

则

因为，

则，

即，

即，

即，

即，

化简得，

解得或，

又因直线l不过点，

所以，

所以直线得方程为，

所以直线过定点.

21．已知函数的定义域为，其解析式为，其中.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若函数有且仅有一个极值点，求的取值范围；

(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)在，上单调递增，在，上单调递减．

(2)

(3)

【分析】（1）将的值代入后对函数进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．

（2）首先求出函数的导函数，由，且不是方程的根，依题意恒成立，则，解得即可；

（3）根据函数的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出的范围．

【详解】(1)解：因为，所以．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，上单调递增，在，上单调递减．

(2)解：因为，则，显然不是方程的根．

要使有且仅有一个极值点，则恒成立，

即，所以，

这时是函数的唯一极值点．

因此满足条件的的取值范围是．

(3)解：由条件，，可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在，上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，，不等式在上恒成立，

当且仅当，即，在，上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．