2021-2022学年河北省唐山外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省唐山外国语学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD选项的正误.

【详解】已知全集，，.

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项错误.

故选：B.

2．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．1 或2

【答案】B

【分析】根据a∈{1，a2﹣2a+2}，则由a＝1或a＝a2﹣2a+2，集合元素的互异性求解.

【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}，

则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，

当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）或a＝2；

故选：B．

【点睛】本题主要考查集合元素的互异性，属于基础题.

3．设集合，则集合等于（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】由集合的交并补运算分析判断即可

【详解】解：因为集合，

，，

所以，所以A错误，

因为，，所以，所以B错误，

因为，，，

所以，，

所以，所以C错误，

因为，，

所以，所以D正确，

故选：D.

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】B

【解析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A中，有，错误；

B中，时，成立，正确；

C中，时，，错误；

D中，由题设，当时，，错误；

故选：B

5．用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（    ）

A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2

【答案】C

【解析】由已知可得，而矩形的面积，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.

【详解】设矩形的长、宽分别为 cm，则有，即，

∵矩形的面积，

∴ cm2，当且仅当时等号成立，

故选：C

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.

6．若不等式的解集是，则（     ）

A．-6 B．-5 C． D．6

【答案】A

【解析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数．

【详解】不等式的解集为，

，为方程的两个根，

根据韦达定理，，解得：.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题.

7．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）．

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】利用给定图象求出的值，再根据给定数表即可得解.

【详解】观察函数的图象得：，由表格知：，

所以.

故选：B

8．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.

【详解】因为满足，对任意的有，

所以在上单调递减

且为偶函数，则

由可得，即

故选:A

二、多选题

9．下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.

【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；

B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；

C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；

D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.

故选：AD

10．下列说法正确的有（    ）

A．函数在其定义域内是减函数

B．命题“”的否定是“”

C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件

D．若为奇函数，则为偶函数

【答案】BD

【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判断A、D的正误，利用命题的否定判断B的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C的正误.

【详解】对于A：函数的定义域为，

所以函数在和上都为单调递减函数，

但在整个定义域内不是减函数，故A错误；

对于B：命题“”的否定是“”，故B正确；

对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似，

但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，

则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误；

对于D：若为奇函数，且函数也为奇函数，

∵，则函数为偶函数，故D正确.

故选：BD.

11．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（    ）

A．2 B． C．1 D．0

【答案】AB

【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.

【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；

当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．

故选AB．

【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.

12．“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：

（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；

（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；

（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；

（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠.

某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（    ）

A．如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元

B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元

C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元

D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元

【答案】BD

【分析】设购物总额为元，应付款元，根据题意求出的解析式，再根据解析式对四个选项逐个分析可得答案.

【详解】设购物总额为元，应付款元，

则，

即，

对于A，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故A不正确；

对于B，当元时，元，即应付款为205.2元，故B正确；

对于C，当元时，元，即应付款为元，故C不正确；

对于D，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数值集合为______．

【答案】

【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.

【详解】因为，故；

则的子集有，，，，

当时，显然有；

当时，；

当，；

当，不存在，

所以实数的集合为；

故答案为．

14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备_____元．

【答案】3200

【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式；列出造价，利用基本不等式求得最小值.

【详解】设正面铁栅长为，两侧墙长为，则

于是造价为

则：，当且仅当即时取等号

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.

15．已知函数函数，则不等式的解集为____．

【答案】

【详解】，，

所以，

所以的解集为．

点睛：本题考查绝对值不等式．本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到的解析式，求得的分段函数解析式，再解不等式即可．绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理．

16．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．

【答案】

【分析】分，和三种情况，再根据一次函数和二次函数的性质分析值域即可

【详解】根据题意，函数，分三种情况讨论：

①若，，其值域为，不符合题意；

②若，当时，，有最大值；

当时，，

若函数的值域为R，则必有，即，不符合题意；

③若，当时，，有最小值；

当时，，

若函数的值域为R，则必有，即，故有，即的范围为

故答案为：

【点睛】对于题中包含参数的一二次函数，求解关于值域的问题，需要分类讨论，根据一次函数的单调性、二次函数的二次项系数进行讨论，属于中档题

四、解答题

17．已知函数．

(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

(2)写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．

【答案】(1)图象见解析

(2)定义域为R，增区间为，减区间为、和，值域为

【分析】(1)结合的解析式作图即可；(2)结合解析式和(1)中图像即可求解.

【详解】（1）图象如图所示：

（2）由的解析式可知，定义域为R，

由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．

18．已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)求能使成立的的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据集合交集与并集运算求解即可；

（2）根据题意，分为空集和为非空集合两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：当时，，

又，

所以，

（2）解：因为，，

所以，若为空集，则，解得；

若为非空集合，则，解得．

综上，的取值范围为．

19．已知函数.

（1）当时，求函数的最大值和最小值；

（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.

【分析】（1）求出函数的对称轴，判断的单调性即可求出最大值和最小值；

（2）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可列出不等式求解.

【详解】（1）当时，，，

对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，

当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

所以函数的最大值为，最小值为；

（2）的图象的对称轴为，

因为在区间上是单调函数，

所以或，

解得：或，

所以实数的取值范围为.

20．设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（0）；

（2）证明f（x）是奇函数；

（3）解不等式f（x2）—f（x）＞f（3x）．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}

【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．

试题解析：（1）令，得，

∴

定义域关于原点对称

，得，

∴∴是奇函数

，

即

又由已知得：

由函数是增函数，不等式转化为

∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．

【解析】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．

【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；

2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；

3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；

4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；

5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；

6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；

7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：

21．已知函数.

（1）用定义证明在上是增函数；

（2）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）详见解析（2）

【分析】（1）利用定义证明函数的单调性；

（2）由（1）知，在单调递增，从而可得值域.

【详解】(1)证明：

任取，且

即

在单调递增

（2）由（1）知，在单调递增

在上的值域是

【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.

22．习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．

(1)当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【答案】(1)不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损

(2)400吨

【分析】（1）当时，由项目获利为求解；

（2）由生活垃圾每吨的平均处理成本求解.

【详解】（1）解：当时，该项目获利为S，

则，

∴当时，，

因此，该项目不会获利，当时，S取得最大值，

所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

，

当时，，

所以当时，取得最小值240；

当时，

，

当且仅当，即时，取得最小值200，

因为，

所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．