2023届四川省宜宾市叙州区第二中学校高三上学期第三次学月考试数学（文）试题（解析版）

2023届四川省宜宾市叙州区第二中学校高三上学期第三次学月考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.

【详解】设，所以，

因为为纯虚数，所以，解得，

所以的虚部为：.

故选：D.

2．，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分数不等式和一元二次不等式求解集合和集合，然后利用集合间的交运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

3．某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数.

B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数.

C．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差.

D．这种抽样方法是分层抽样.

【答案】C

【分析】A.不能通过样本计算得到平均数准确值判断；B.利用中位数的定义判断；C.由标准差公式计算判断；D.由分层抽样的定义判断.

【详解】该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以A错；

这5名男生成绩的中位数是90，5名女生成绩的中位数93，所以B错；

5名男生成绩的平均数为：，5名女生成绩的平均数为，这5名男生成绩的方差为，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以C对；

若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错.

故选：C.

4．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,

矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，

故该几何体的侧视图为D

5．已知，则的值为（    ）

A．3 B．-3 C． D．-1

【答案】A

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.

【详解】原式.

故选：A

6．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．

【详解】当，，函数为奇函数，排除C；

，排除AD；

故选：B.

7．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】A

【分析】根据线面平行和垂直的有关结论、性质、判定即可判断各选项的真假．

【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理，即可知A正确；

对于B，若，，则或者、相交或者异面，所以B不正确；

对于C，若，，则，所以C不正确；

对于D，若，，则与的关系不确定，所以D不正确；

综上，选A．

【点睛】本题主要考查利用线面平行和垂直的有关结论、性质、判定判断几何命题的真假．

8．非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的投影为（    ）

A．－1 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据投影公式计算出正确答案.

【详解】由于，所以，

由于与的夹角为，所以，

在上的投影为.

故选：C

9．2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，分别求得正方形和正六边形的面积可得答案.

【详解】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，

又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，

所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，

所以该多面体的表面积为，

故选：C.

10．已知实数a，b满足，且，则的最小值为（    ）.

A．1 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可.

【详解】由，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

11．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简可得，根据x的范围，可求得的范围，根据题意，分析可得，计算即可得答案.

【详解】由题意得，

因为，

所以，

因为有且只有1个最低点，

所以，解得.

故选：D

12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，根据导数判断出的单调性并求得最值，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图像可得结果.

【详解】不等式，即，不等式成立则，

令，则.

令，得或；，得，

在和上单调递增，在上单调递减，

，且.如图所示

当时，至多有一个整数解.当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，

解得.

故选：C

【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，考查利用导数研究函数的单调性最值和函数图像，考查数形结合思想的应用，属于中档题.

二、填空题

13．若，则的值为________.

【答案】##

【分析】根据二倍角的正切公式，两角和的正切公式化简条件等式可求，再结合二倍角的正弦公式和同角关系求.

【详解】∵  ，

∴  ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或，

又，

∴  当时，，

当时，，

∴  的值为，

故答案为：.

14．神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点，预计垂直落在地面点处，在地面同一水平线上的、两个观测点，分别观测到点的仰角为15°，45°，若千米，则点距离地面的高度约为______千米（参考数据：）．

【答案】

【分析】由题设，可得，由差角正切公式求，进而求出高度.

【详解】设，则，，

所以，

又，

则，即千米.

故答案为：

15．已知直线与抛物线交于，两点，则弦的长为__________．

【答案】8

【详解】直线与抛物线联立可得，

因为直线过抛物线焦点（1，0），所以

16．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则___________.

【答案】

【分析】根据可将转化为，即可解出．

【详解】∵，

∴f(2022)＝f(2020＋2)＝2f(2020)＝2f(2018＋2)＝22f(2018)＝…，即有．

故答案为：.

三、解答题

17．第届亚运会将于年月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．

(1)求、的值；

(2)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取人，然后再从这人中选出人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图以及题意可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；

（2）分析可知，所抽取的人中，第四组的志愿者人数为，分别记为、、、，第五组的志愿者人数为，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：由题意可知：，解得.

（2）解：因为第四、第五两组志愿者人数之比为，

在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取人，

所抽取的人中，第四组的志愿者人数为，分别记为、、、，

第五组的志愿者人数为，记为，

从这人中选出人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中，事件“选出的两人来自不同组”所包含的基本事件有：、、、，共种，

因此，所求事件的概率为.

18．四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且，，，，M是棱PB的中点.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析式

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，即四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；

（2）再底面等腰梯形中求出、，即可得到，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，再根据计算可得；

【详解】（1）证明：取的中点，连接，，

因为为的中点，所以且，

又且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面

（2）解：在等腰梯形中，，，，

过点、分别作、，所以，，

所以，

在中，由余弦定理，

即，所以，

所以，即，

因为平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

所以三棱锥的高为，

又是的中点，所以，

所以；

19．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意利用等差数列通项公式得到方程组，解得，，即可求出的通项公式，再利用作差法求出的通项公式；

（2）由（1）知，设，即可得到是以8为公比，为首项的等比数列，再根据等比数列求和公式计算可得；

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则

解得，

所以

因为，

所以当时，；

当时，，

所以

显然符合．

综上可知．

（2）解：由（1）知，

设，则

所以是以8为公比，为首项的等比数列，

所以数列的前项和为

20．已知椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程及其离心率；

(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.

【答案】(1)，离心率为；

(2)

【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；

（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.

【详解】（1）依题知：，所以.

所以椭圆方程为，离心率.

（2）如图：

设，第一象限有，①；

由得：，

又，，

因此②，

联立①②解得，故.

21．已知函数．

(1)若是函数的极值点，求的值；

(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）利用极值点处的导数为，即可求解（2）将同解变形为，再构造函数，研究其零点个数

【详解】（1），定义域是，

，

∵是函数的极值点，∴，解得，

经检验符合题意；

（2）证明：令，即，

令，

则，

令，则，

令，解得，而，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当趋向于0时，趋向于，即，

，，

故存在使得，即，

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故，

故，即无零点；

22．在平面直角坐标系中，已知直线l经过点，且其倾斜角，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程：

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)（t为参数）；

(2)

【分析】(1)根据直线参数方程的定义可得直线l的参数方程，根据消去参数求得曲线C的普通方程，结合计算即可得出结果；

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，结合韦达定理和直线参数方程中参数的几何意义计算化简即可得出结果.

【详解】（1）直线l的参数方程是（t为参数），即（t为参数），

由曲线C的参数方程知，，

，得，

即曲线C的普通方程是，又，

故曲线C的极坐标方程是；

（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入，

整理得，设A、B两点对应的参数分别为，

则，则为一正一负，

所以．

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数转成分段函数，即可求解；

（2）利用绝对值三角不等式定理化简，求解范围即可

【详解】（1）当时，，

当时，由，得.

∴不等式的解集为

（2）∵，∴.

又∵关于的不等式的解集为，∴只需.

①当，即时，显然不符合题意；

②当，即时，.

∴，解得.

∴实数的取值范围为.