2023届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期第三学月考试数学（理）试题（解析版）

2023届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期第三学月考试数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.

【详解】集合，又集合，

所以.

故选：C.

2．已知复数，则的虚部是（    ）

A． B． C．1 D．i

【答案】C

【解析】求出，即可得出，求出虚部.

【详解】，，其虚部是1.

故选：C.

3．已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求得当时，是增函数,进而判断时，函数的单调性，即可得出结果.

【详解】当，, 单调递增.

则当时，是增函数,

当时, 在单调递增，可得在上是增函数；

当时, 在单调递增，可得在上是增函数；

反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，即不成立.

所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.

故选：A.

4．已知数列{an}是首项为，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9=（　　）

A．35 B．40 C．45 D．50

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式基本量计算出，进而利用等差数列求和公式及等差中项计算出结果.

【详解】，则，即，即，所以.

故选：C

5．函数的大致图象是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判断A,D,即得答案.

【详解】因为函数的定义域为 ，且

故是偶函数，排除选项B，C；

当时，，对应点在第四象限，故排除A，

故选：D.

6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（    ）

A．2600 B．2700 C．26 D．27

【答案】D

【分析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果.

【详解】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，

当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；

当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，

所以，则，即耗氧量为，

因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.

故选：D.

7．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：.

故选：A.

8．已知，则（    ）

A．m B．2m C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件切化弦，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简作答.

【详解】因为，所以.

故选：D

9．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，

然后将3个项目全排列，共有种排法，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，

因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，

故选：D

10．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．

【详解】设圆锥母线为，底面半径为，

则，解得，

如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，

，，

，，

所以球表面积为．

故选：A．

【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．

11．已知，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数的性质比较大小

【详解】先比较，易知,故，即

又，故时，时

故， 而，故，有

故选：A

12．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】①：根据导数判断及其附近导函数值的符号，进而确定在的附近的单调性；②：根据中心对称的定义：若，则为的对称中心，代入检验；③：的零点即为的交点，结合图像分析；④：利用导数求的单调递增区间，判断求解的最大值．

【详解】.

①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；

②：因为，

所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；

③：令，函数在同一直角坐标系内的图像如下图所示：

可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；

④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，

故选：C．

二、填空题

13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_____________________．

【答案】1

【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义判断最大时对应直线所过的点，即可求最大值.

【详解】由约束条件可得如下可行域，

要使目标式最大，即其所在直线在y轴上的截距最大，

由图知：当过与的交点时最大，

所以.

故答案为：

14．若展开式的常数项为，则正整数n的值为___________.

【答案】4

【分析】由题可得，然后利用通项公式即得.

【详解】∵，

∴其展开式的常数项为，

故n为偶数，解得.

故答案为：4.

15．设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____．

【答案】##

【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,

【详解】

由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点，

故，离心率为.

故答案为：.

16．设函数，参数，过点（0，1）作曲线C：的切线（斜率存在）则切线斜率为___________.

【答案】

【分析】设出切点，求出导数，可表示出切线方程，将代入可得，解得即可求解.

【详解】设切点为，，

则切线方程为，

将代入可得，

令，则，

所以在单调递减，又，

所以有唯一解，

所以切线斜率为.

故答案为：.

三、解答题

17．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项，为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得．

(1)求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．附表：

附：．

【答案】(1)20，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）补充列联表，利用卡方列出方程，求出，且与3.841比较得到结论；

（2）先用分层抽样得到抽取的9人中不了解冬季奥运会项目的女生有5人，男生有4人，进而求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列及数学期望.

【详解】（1）列联表如下表所示：

∴，可得：，

∵，且，

因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

（2）按分层抽样，设抽取男生x名，女生y名，，解得

即抽取的9人中不了解冬季奥运会项目的女生有5人，男生有4人，

故．

，，

，，

X的分布列如下：

∴X的期望值为

18．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，是方程的两个实根.

(1)求和；

(2)若，求的值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；

（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，即，

由韦达定理得， ，

将代入解得，

又∵是△的内角，

∴，

∴，解得，

（2）由得，

根据正弦定理可得，

由余弦定理可得，即，∴，

又∵ ，∴△是等边三角形，

因此.

19．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，是菱形，分别是的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由平面平面可得平面，从而，所以平面.

（2）建立空间直角坐标系，计算可得.

【详解】（1）证明：因为侧面为矩形，所以，

因为平面，平面平面，

平面平面，

所以平面，因为平面，所以，

因为侧面为菱形，所以，

因为，所以平面

（2）取的中点，连接，因为四边形为菱形，且，

所以为正三角形，所以，因为，所以，

所以平面，所以两两垂直.

以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系.    

设，则，且，

则，，，，

，.，，

，，

设平面的一个法向量，

由，得，求得，

设平面的一个法向量，

由，得，求得，             

，                                       

，所以二面角的正弦值为.

20．已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点.

(1)若△AOB的面积为1，求椭圆的标准方程；

(2)在（1）的条件下，

（i）记直线AC，BD的斜率分别为，，求证：为定值；

（ii）求|CD|的最大值.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据条件列出关于的方程，再求椭圆方程；

（2）（ⅰ）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，并且利用坐标表示，化简后得证；

（ⅱ）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，求得点的坐标，再利用弦长公式表示，再利用换元，求得函数的最大值.

【详解】（1）椭圆的离心率为，∴，即①.

又②，由①②解得，故椭圆的标准方程是

（2）（i）设直线CD，代人得得，

设，

分子=

∴为定值

（ii）令直线AC：

∵

∴

∴

由韦达定理得，

故

由（1）知，直线

，故.，

从而，

记.当时，

当时，记，则

令

当时.于是.

此时，，

当且仅当即时，等号成立.

同理，当时，

此时

当且仅当即时，等号成立.

综上所述，当且仅当时，|CD|取得最大值，.

21．已知函数（其中实数）的最小值为5，

(1)求实数的值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）对求导，构造并由二次函数性质判断其零点及区间符号，进而确定的单调性、极值，结合已知最值列方程得，再构造中间函数求零点，进而求的值；

（2）令问题转化为对恒成立，构造中间函数研究的最值，并判断单调性，最后可求的范围．

【详解】（1）由题设，且，

令，则在上递增且，

所以有唯一正实根，记为，则．

当时，即，单调递减，

当时，即，单调递增，

所以极小值也是最小值为．

又，可得，故，

令，其中，则，

所以在上单调递增且，而，即，从而．

综上，实数的值为.

（2）由题意，恒成立，令．

令，则，

令

ⅰ、当时，，不合题意，舍去，

ⅱ、当时，有唯一的正实根，记为，且，则且

当时，，即，当时，，即

所以在单调递减，在上单调递增，则极小值也是最小值为．

要使对恒成立，则．

令，则，即在上递减，又，

所以不等式的解集为，故，

又则的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：

（1）构造中间函数，并结合导数研究单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；

（2）令，根据已知确定隐零点与参数k的关系，并求出的范围，进而求k的范围.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为l的倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求l的极坐标方程以及C的直角坐标方程；

(2)若l过点，且与C交于M，N两点，求的值．

【答案】(1)；

(2)3

【分析】(1)根据极坐标方程与直角坐标方程的关系求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程，(2)利用极径的几何意义求的值即可.

【详解】（1）因为l过原点，且为l的倾斜角，故l的极坐标方程为；

因为，由，，

得C的直角坐标方程为，即．

（2）因为对应的极坐标为，

所以l的极坐标方程为，

代入，得，

设，，则

所以

23．已知函数的最小值为.

（1）求的值；

（2）若为正实数，且，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）由题意，得到函数，利用分段函数和一次函数的性质求得函数的最小值，即可求解；

（2）由（1）可得，实数为正实数，且，代入利用基本不等式即可作出证明.

【详解】（1）由题意，函数，

当时，函数单调递减，所以；

当时，函数单调递减，所以；

当时，函数单调递增，所以，

综上可得，函数的最小值为，所以.

（2）由（1）可得，实数为正实数，且，

所以

.

当且仅当时等号成立，所以.

【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中分类去掉绝对值号，合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.