2023届四川省宜宾市叙州区第二中学校高三上学期第三学月考试数学（理）试题（解析版）

2023届四川省宜宾市叙州区第二中学校高三上学期第三学月考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.

【详解】设，所以，

因为为纯虚数，所以，解得，

所以的虚部为：.

故选：D.

2．，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分数不等式和一元二次不等式求解集合和集合，然后利用集合间的交运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

3．某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数.

B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数.

C．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差.

D．这种抽样方法是分层抽样.

【答案】C

【分析】A.不能通过样本计算得到平均数准确值判断；B.利用中位数的定义判断；C.由标准差公式计算判断；D.由分层抽样的定义判断.

【详解】该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以A错；

这5名男生成绩的中位数是90，5名女生成绩的中位数93，所以B错；

5名男生成绩的平均数为：，5名女生成绩的平均数为，这5名男生成绩的方差为，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以C对；

若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错.

故选：C.

4．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,

矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，

故该几何体的侧视图为D

5．已知，则的值为（    ）

A．3 B．-3 C． D．-1

【答案】A

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.

【详解】原式.

故选：A

6．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．

【详解】当，，函数为奇函数，排除C；

，排除AD；

故选：B.

7．非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的投影为（    ）

A．－1 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据投影公式计算出正确答案.

【详解】由于，所以，

由于与的夹角为，所以，

在上的投影为.

故选：C

8．共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是（    ）

A．30 B．90 C．75 D．60

【答案】B

【分析】根据分类和分步计数原理及组合即可求解.

【详解】由题意可知，完成这件事情分三类；

第一类，按照的走法有种；

第二类，按照的走法有种；

第三类，按照的走法有种；

所以他恰好6步上完台阶的方法种数是.

故选：B.

9．若的展开式中的系数为，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】求出的展开式的通项，得到项的系数，即可解得.

【详解】因为的展开式的通项为：，

当时，，由题意得，解得，

故选：B.

10．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简可得，根据x的范围，可求得的范围，根据题意，分析可得，计算即可得答案.

【详解】由题意得，

因为，

所以，

因为有且只有1个最低点，

所以，解得.

故选：D

11．2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，分别求得正方形和正六边形的面积可得答案.

【详解】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，

又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，

所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，

所以该多面体的表面积为，

故选：C.

12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，根据导数判断出的单调性并求得最值，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图像可得结果.

【详解】不等式，即，不等式成立则，

令，则.

令，得或；，得，

在和上单调递增，在上单调递减，

，且.如图所示

当时，至多有一个整数解.当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，

解得.

故选：C

【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，考查利用导数研究函数的单调性最值和函数图像，考查数形结合思想的应用，属于中档题.

二、填空题

13．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为__________.

【答案】12

【分析】分别在上、上求得函数与轴所围成封闭图形的面积，再把这两个值加起来，即得所求.

【详解】由题意可得：围成的封闭图形的面积为:

，

故答案为：12

【点睛】本题主要考查了定积分的的几何意义，属于基础题.

14．神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点，预计垂直落在地面点处，在地面同一水平线上的、两个观测点，分别观测到点的仰角为15°，45°，若千米，则点距离地面的高度约为______千米（参考数据：）．

【答案】

【分析】由题设，可得，由差角正切公式求，进而求出高度.

【详解】设，则，，

所以，

又，

则，即千米.

故答案为：

15．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为__________．

【答案】5

【分析】设，，则可得，根据数量积为0，即可求得答案.

【详解】由题意知， ,

设，，则 ，

故 ，

则，∴，

故答案为：5

16．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则___________.

【答案】

【分析】根据可将转化为，即可解出．

【详解】∵，

∴f(2022)＝f(2020＋2)＝2f(2020)＝2f(2018＋2)＝22f(2018)＝…，即有．

故答案为：.

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意利用等差数列通项公式得到方程组，解得，，即可求出的通项公式，再利用作差法求出的通项公式；

（2）由（1）知，设，即可得到是以8为公比，为首项的等比数列，再根据等比数列求和公式计算可得；

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则

解得，

所以

因为，

所以当时，；

当时，，

所以

显然符合．

综上可知．

（2）解：由（1）知，

设，则

所以是以8为公比，为首项的等比数列，

所以数列的前项和为

18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（I）在答题卡上填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

（II）将上述调查所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.

附表及公式：，其中.

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.

【详解】分析：（I）利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；(Ⅱ)的所有可能的取值为，且.().从而可得的分布列，利用期望公式可得数学期望.

详解：（I）

，所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.

（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为.的所有可能的取值为，且.().所以的分布列如下

.

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：

①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

19．已知空间几何体中，与是全等的正三角形，平面平面，平面平面.

(1)求证：；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意得平面，·平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，再分析证明即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解即可.

【详解】（1）设，分别为边，边的中点，连接，，

因为为等边三角形，所以，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，·同理可证平面，

所以，因为与是全等的正三角形，

所以，所以四边形为平行四边形，

所以，因为为的中位线，

所以，所以.

（2）因为，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，所以，取，

，设直线与平面所成角为，

则，·

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程及其离心率；

(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.

【答案】(1)，离心率为；

(2)

【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；

（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.

【详解】（1）依题知：，所以.

所以椭圆方程为，离心率.

（2）如图：

设，第一象限有，①；

由得：，

又，，

因此②，

联立①②解得，故.

21．已知函数．

(1)若是函数的极值点，求的值；

(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）利用极值点处的导数为，即可求解（2）将同解变形为，再构造函数，研究其零点个数

【详解】（1），定义域是，

，

∵是函数的极值点，∴，解得，

经检验符合题意；

（2）证明：令，即，

令，

则，

令，则，

令，解得，而，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当趋向于0时，趋向于，即，

，，

故存在使得，即，

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故，

故，即无零点；

22．在平面直角坐标系中，已知直线l经过点，且其倾斜角，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程：

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)（t为参数）；

(2)

【分析】(1)根据直线参数方程的定义可得直线l的参数方程，根据消去参数求得曲线C的普通方程，结合计算即可得出结果；

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，结合韦达定理和直线参数方程中参数的几何意义计算化简即可得出结果.

【详解】（1）直线l的参数方程是（t为参数），即（t为参数），

由曲线C的参数方程知，，

，得，

即曲线C的普通方程是，又，

故曲线C的极坐标方程是；

（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入，

整理得，设A、B两点对应的参数分别为，

则，则为一正一负，

所以．

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数转成分段函数，即可求解；

（2）利用绝对值三角不等式定理化简，求解范围即可

【详解】（1）当时，，

当时，由，得.

∴不等式的解集为

（2）∵，∴.

又∵关于的不等式的解集为，∴只需.

①当，即时，显然不符合题意；

②当，即时，.

∴，解得.

∴实数的取值范围为.