四川省宜宾市叙州区第一中学校2024届高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题（解析版）

这是一份四川省宜宾市叙州区第一中学校2024届高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
第I卷 选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由复数的减法运算求解即可.
【详解】.
故选：D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.
【详解】已知，，且，
所以.故实数的取值范围为，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.
3. 给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性即可求解.更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】和在上是增函数，和在上是减函数，
故选：C
4. 若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A. B.
C. 或D. 或与相交
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由可得或与相交，
比如在正方体中，
平面平面，平面平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，
故选：D
5. 求值（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【详解】因为，
，
所以，
故选：B.
6. 设函数的导数为，且，则（ ）
A. 0B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】可先求函数的导数，令求出即可.
【详解】由，
令得，
解得.
故选：C.
7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（ ）
A. B. 图象关于对称
C. D. 的图象关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，所以A不正确；
由，所以的图象关于对称，
所以B正确；
由，所以C不正确；
令，可得，
可得不是函数的对称轴，所以D不正确.
故选：B.
8. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化切代入求值．
【详解】由得，
．
故选：D．
9. 已知函数在处有极值，则等于（ ）
A. B. 16C. 或16D. 16或18
【答案】A
【解析】
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A
10. 若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】求导后，讨论函数的单调性，结合经典存在性定理即可判断.
【详解】因为函数，所以，
若，则，此时函数单调递增，不满足条件；
若，由，可验证是函数的两个极值点，
若函数恰有两个不同的零点，则或，
因为，所以，即，
解得，故选C．
11. 在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
12. 已知函数，若函数在区间上有最值，则实数取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数和一次函数的单调性，根据的取值范围，判断函数的单调性，或者，通过求导的方式，判断单调性，进而求出最值.
【详解】，，∴.
当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；
当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.
故选：A.
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可.
【详解】当时，的值与无关，且，故，设
将代入，解得，故
故答案为：
14. 若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：解方程，求出，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简得到关于的表达式，代入求值即可.
详解：由，，得到，由得，
又

即答案为.
点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.
15. 函数，若，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
16. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.
（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.
【详解】（1）∵是第二象限角，∴，∴.
.
（2）∵，∴.
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；
（2）根据（1）得，利用三角形面积公式得，再利用余弦定理即可.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理，
设，则，
带入，化简得，
因为，
所以；
（2）由（1）可知，，，
又，所以，解得.
在△ABC中，由余弦定理，
即，解得.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
19. 已知函数在处取得极大值.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】（1）根据得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到；
（2）先求出上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值.
【小问1详解】
，则，
由题意知，即，
解得，此时，
时是的变号零点.
于符合题意
【小问2详解】
由（1）知，
，，
令，得到，则递增；
令，得到，则递减，
于是在上只有极小值，
又，
故在区间上的最大值是，最小值是
20. 如图（1）示，在梯形中， ，，且，如图（2）沿将四边形折起，使得平面与平面垂直， 为的中点．
（1）求证： 面
（2）求证： ；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行即可求证；
（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而由线线垂直证明线面垂直即可求证；
（3）根据等体积法即可求解.
【小问1详解】
∵，，
又∵平面，且平面，
∴平面；
【小问2详解】
∵平面平面，由已知条件可知， ，平面平面，平面，平面，
∴平面平面．
取的中点，连接、，
在中，∵，为的中点，
∴．
在中， ∵
又∵平面平面平面
，又∵平面,
平面，又∵平面
【小问3详解】
由（2）平面平面,
设点到平面的距离为，由得，
故点到平面的距离为.
21. 已知函数
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个零点的极值点为t，是否存在a使得？若存在，求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(0)上单减，(, +∞)上单增；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出，由得增区间，由得减区间；
（2）由于存在两个零点，且有一个极值点，因此时，从而可得，接着由极值点与的大小分类讨论.
【详解】(1)，所以在(0,)上单减，(, +∞)上单增；
(2)由题意知:时，且，，
①当时，,所以所以,该方程无解、
②当时，在(0, 1)上单减，上单增，只有唯一-零点,故不成立
③当时:,则有
令，所以单增，又，
所以，不符合题意
综上所述，不存在满足条件的.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，研究函数的零点．难点在于分类讨论，在研究函数存在两个零点问题时，要根据极值点与已知零点1的大小关系分类讨论，从而确定较大的零点是哪一个，是否满足.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆.
（1）求圆的极坐标方程 ；
（2）若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设点为圆上任意一点，利用中三角函数可建立关系，即可得解；
（2）由三等分点确定极角，代入圆的极坐标方程求解即可.
【小问1详解】
设点为圆上任意一点，则，
在中，.
∴ 圆的极坐标方程为.
【小问2详解】
圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别，
代入圆的极坐标方程中，
∴ 圆左上半圆弧的三等分点分别为
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23. 已知函数.
（1）若不等式恒成立,求的取值范围;
（2）当时,求不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质得，所以不等式恒成立,可以转化为，解绝对值不等式即可得到的取值范围；
（2）先把函数写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.
【小问1详解】
由于，
所以，解得或．
【小问2详解】
，
原不等式等价于，或，或，
解得，原不等式解集为．