2023届福建省永泰县第二中学高三上学期期中适应性练习数学试题（解析版）

2023届福建省永泰县第二中学高三上学期期中适应性练习数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解出两个集合中的不等式，再求两个解集的交集.

【详解】不等式解得，，，

不等式解得，，

。

故选：D

2．已知复数满足(为虚数单位)，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论.

【详解】.

故选：B.

【点睛】本题考查复数代数运算和共轭复数，属于基础题.

3．已知，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.

详解：由题意可知：，即，，即，

，即，综上可得：.本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

4．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（    ）

（参考数据：取重力加速度大小为）

A．63 B．69 C．75 D．81

【答案】B

【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.

【详解】

如图，设该学生的体重为,则.

由余弦定理得.

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．．在各项均为正数的等比数列中，若，则…等于

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【详解】因为数列为等比数列，所以，

所以.

6．设点是函数的图象C的一个对称中心，若点到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】点到图像的对称轴的水平距离的最小值就是函数最小正周期的，故可得函数的最小正周期.

【详解】因为对称中心与对称轴水平的最近距离为，由题意得，所以.

故选：C.

7．已知函数，则函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合的定义域，再代入特殊值判断即可.

【详解】由题意得，，故，因此的定义域为，因此AB错误，当时，，故C错误，因此选D.

故选：D.

8．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据函数与函数的图象都关于点对称，在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.

【详解】函数与函数的图象都关于点对称，

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示：

由图象知：A与B，C与D关于点对称，

所以，

所以，

故选：B

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则是钝角三角形

B．若P，A，B三点满足，则P，A，B三点共线

C．

D．若，则

【答案】AB

【分析】根据选项中涉及的知识点，逐个判断.

【详解】中，，则A为钝角，三角形是钝角三角形，A选项正确；

由，有，即，所以P，A，B三点共线，B选项正确；

当时，，C选项错误；

当，，D选项错误.

故选：AB

10．已知等差数列的前项和为，且，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．

C． D．数列中最大项为

【答案】ABC

【分析】由已知可得，再利用等差数列性质即可依次判断.

【详解】，，，故A正确；

又，故B正确；

，故C正确；

由可得{Sn}中最大项为S6，故D错误．

故选：ABC.

11．要得到的图象,只要将图象怎样变化得到

A．将的图象沿x轴方向向左平移个单位

B．将的图象沿x轴方向向右平移个单位

C．先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位

D．先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位

【答案】ABC

【解析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到．

【详解】对于A，将图象沿x轴方向向左平移个单位，可得的图象，故选项A正确；

对于B，将的图象沿x轴方向向右平移个单位也可得到，

的图象，故选项B正确；

对于C，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向右平移个单位，得到的图象，故选项C正确；

对于D，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向左平移个单位，得到的图象，故选项D不正确．

故选：．

【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题．

12．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数 的值可以是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】ACD

【分析】根据题意对任意，总存在，使，求出在上的值域是，那么是的值域 的子集，再结合中对的取值进行讨论，即可得到的范围.

【详解】，对任意，，

则在上单调递增，所以在上的值域是，

由题意可得是的值域 的子集，

当时的值域是，符合题意；

当时，函数值域为  ，符合题意；

当时，函数，

要符合题意，则或 ，解得或 ，

综上可得实数的取值范围是或.

故选：ACD

三、填空题

13．已知直线与曲线相切，则=      

【答案】3

【分析】设切点为（x0，y0），求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，得k切＝＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出．

【详解】设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为y＝ln（x+），所以y＝．

所以k切＝＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），解得：y0＝0，x0＝﹣2，＝3．

故答案为3．

【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.

14．已知tanθ＝3，则cos＝________.

【答案】

【分析】根据诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角公式可得结果.

【详解】因为tanθ＝3，

所以cos＝sin2θ＝.

故答案为：.

【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了同角公式，解题关键是将化为，属于基础题.

15．已知为等差数列，公差为1，且是与的等比中项，则______．

【答案】

【分析】由是与的等比中项，可得，解出即可得出．

【详解】∵是与的等比中项，

∴，

∴，解得.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则________，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为________.

【答案】         

【解析】由题意，根据三角函数图象的对称性求出，根据函数图象的平移变换与拉伸变换，求出的解析式，由已知求出的最小正周期，即可得的值，再结合三角函数的性质，求出，得到的解析式，即可得在上的最大值.

【详解】函数是偶函数，

，，

又，

，

，

将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，

，

的图象相邻对称中心之间的距离为，

，解得，

的图象在其某对称轴处对应的函数值为，

，

，

当时，，，

故，

在上的最大值为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了三角函数的图象变换以及型函数的性质，考查了转化能力，属于中档题.

五、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足.

（1）求C；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由得出等式，再用正余弦定理即可；

（2）由正弦定理转化为角的关系，然后运用三角恒等变换公式即可.

【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得

，所以，

所以，

因为，故.

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得.

由于，，所以，

故

.

【点睛】解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围，本题属于边角不齐求角的题型.

18．已知数列中，，且满足___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析

【分析】（1）若选①，则可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出其通项，若选②，则数列是以2为公差的等差数列，从而可求出其通项，若选③，则可知数列为常数数列，且，

（2）若选①，则利用等比数列求和公式求，若选②或③，则利用分组求和法求

【详解】解：（1）若选①，由，得，

因为，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，

所以，

若选②，因为，，

所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，

所以，

若选③，因为，，

所以，

（2）若选①，则由（1）得，则

，

若选②，则由（1）得，则

，

，

，

，

若选③，则由（1）得，则

，

，

，

，

19．在中，分别为角的对边，且.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理即可解决.

（2）利用正弦定理表示出，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到的取值范围.

【详解】（1）由正弦定理得：，

，，

，

整理可得：，

，，，又，；

（2）为锐角三角形，，，即，

解得：；

由正弦定理可得：，

，，则，，

即的取值范围为.

20．已知函数的最小正周期为.

(1)求函数的单调区间；

(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值.

【答案】(1)单调增区间是；单调减区间是，．

(2)

【分析】（1）由三角函数的恒等变换化简函数解析式，利用周期公式可求，整体代入法可解得函数的单调增区间．

（2）根据三角函数平移变换的规律，求出的解析式和周期以及零点，根据在上至少含有10个零点，结合三角函数零点可得范围．求出的最小值．．

【详解】（1），

由最小正周期为，得，所以，

由，整理得，

所以函数的单调增区间是．

令，，整理得，，

所以函数的单调减区间是，．

（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，．

令，得或，

在，上恰好有两个零点，

若在，上至少有10个零点，则不小于第10个零点的横坐标即可，

即的最小值为．

21．已知正项数列的前项和为，且和满足：.

(1)求的通项公式；

(2)设，的前项和为，若对任意，都成立，求整数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，作差整理得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求出的通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，利用作差法说明的单调性，即可求出，从而求出参数的取值范围，即可得解；

【详解】（1）解：∵，①

当时，解得，

∴，②

①－②得，

∴，化简.

∵，∴.

∴是以1为首项，2为公差的等差数列.

∴.

（2）解：由（1）可得.

∴.

所以.

∴数列是递增数列，则，

∴，解得，∴整数的最大值是.

22．已知函数.

(1)若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；

(2)如果函数有两个不同的极值点、，证明：

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出的值，从而得到答案；

（2）根据，是的两个极值点，可以得到，是的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．

【详解】（1）解： ，

，

根据导数的几何意义可得，切线的斜率，

切线方程为，则，

，解得，

，

，即切点为，

，解得；

（2）证明：，

，

，

，是函数的两个不同极值点（不妨设，

有两个不同的实数根，，

当时，方程不成立，

则，令，则，

由解得，

当变化时，，变化情况如下表：

当时，方程至多有一解，不合题意；

当时，方程若有两个解，则，

所以．

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．