2023届福建省永泰县第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届福建省永泰县第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省永泰县第一中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，全集，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的并集与补集的运算法则求解即可.【详解】由题，，所以，故选：B2．设复数满足，则复平面内与对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.【详解】因为，所以，所以复平面内与对应的点位于第一象限，故选：A3．已知向量，为单位向量，且，则（    ）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】由题意可得，根据数量积的运算律即可求得答案.【详解】由题意可得，，则，故选：A4．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得噪音的声波曲线的解析式，由图象可知叠加后的效果，则降噪的声波曲线与噪音的声波曲线关于轴对称，即可求解.【详解】由题，噪音的声波曲线的振幅为1，周期为，初相为，所以，，，则，所以，所以降噪的声波曲线的解析式为，故选：D5．已知函数，以下结论中错误的是（    ）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.【详解】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.6．在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（    ）A．AE=CF，AC与EF是共面直线 B．，AC与EF是共面直线C．AE=CF，AC与EF是异面直线 D．，AC与EF是异面直线【答案】D【分析】，，在中，根据中位线可得 ，由此能求出结果．【详解】在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，如图，，，，在中，是的中点，是的中点，，与是共面直线，若AC与EF是共面直线,则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线故选：D．7．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用对称性，得到，再利用，对进行赋值，然后可求解.【详解】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对； 故选：A8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为地路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，C处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角，已知，．则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知，底边上的高，又得到，根据余弦定理和均值不等式得到，计算得到答案.【详解】设中，定点到底边的距离为h，则 又，即，利用余弦定理：，当且仅当时，等号成立，故，而，则，的最小值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了余弦定理，三角形面积公式，及均值不等式求最值，解题的关键是通过等面积法找到三条边的关系，再利用余弦定理及基本不等式即可得解，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 二、多选题9．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用重要不等式判断；C.利用基本不等式的条件判断；D.利用作差法判断.【详解】A.因为，所以，所以，则，故正确；B. ，而，取不到等号，故正确；C. 因为，所以，故错误；D. 因为，所以，所以，故正确；故选：ABD10．已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的最小正周期可能是C．的取值范围是D．在区间上单调递增【答案】BD【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，可求出的取值范围判断C，再利用三角函数的性质可依次判断ABD．【详解】解：由函数，令，则，函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，由，得，则，，，即，，故C错误；对于A，，，，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；当时，在区间上有且仅有个不同的零点，故A错误；对于B，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；对于D，，，又，，又，所以在区间上一定单调递增，故D正确．故选：BD．11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC､BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）A． B．为定值C．的取值范围是[-2，0] D．当时，为定值【答案】ABD【分析】如图，连接，设的中点为，连接，取AC的中点M，连接OM，利用数量积的运算律计算后可判断AB正误，利用相交弦定理和数量积的运算律计算后可判断CD的正误.【详解】如图，连接，设的中点为，连接，则.故，故A正确；如图，设直线PO与圆O交于E，F，则，故B正确；取AC的中点M，连接OM，则，而，故的取值范围是，故C错误；当时，，故D正确.故选：ABD.12．如图，在长方体中，，，为的中点，平面与平面的交线，则下列结论中正确的是（    ）A．直线B．平面平面C．三棱锥的外接球的表面积为D．直线l与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【分析】对A，连接，交于点，连接，可得即为交线，利用中位线即可证明；对B，由图可判断平面与平面相交；对C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可求得半径为，从而得外接球的表面积；对D，因为，所以直线l与平面所成角即为与平面所成角，代入求解.【详解】对A，连接，交于点，连接，则即为交线，因为分别为，的中点，所以，即，故A正确；对B，平面即平面，由图可知平面与平面相交，故B错误；对C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可求得半径为，所以外接球的表面积为，故C正确；对D，连接，因为，所以直线l与平面所成角即为与平面所成角，在中，，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知，则___________.【答案】【分析】由差的正弦公式化简即可得出.【详解】因为，所以，整理可得，即.故答案为：.14．已知函数，若，且，则的值为___________.【答案】【分析】先画出函数的图象，令，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出和，即可得出结果.【详解】解：作出函数的图象如下：令，则，由题意，结合图象可得，，，所以 ，，，因此.故答案为：.15．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，【答案】0.52【分析】由题可得GDP增长的速度为，进而即得.【详解】由题可知，所以，所以,即GDP增长的速度大约是.故答案为：.16．已知数列满足奇数项成等差数列，公差为，偶数项成等比数列，公比为，且数列的前n项和为，，，，．若，则正整数m=__________．【答案】2【分析】利用等差等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意知，，，因为，，所以得，①由得，即，②联立①②解得，所以，当时，由得，解得，此时;当时，由得，此等式左边为偶数，右边为奇数，则方程无解.故答案为:2. 四、解答题17．已知数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2）【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，，∴，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.18．某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828  【答案】(1)12人(2)元 【分析】、（1）设男性患者有人，可得出列联表，计算出卡方值，列出不等式可求解；（2）可得该试验每人的接种费用可能取值为，，求出概率即可得出.【详解】(1)设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下： 型病型病合计男女合计 假设：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，解得，因为，，所以的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，.则，，所以，因为，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为，即元.19．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2(1)证明：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角.【详解】(1)证明：因为在图1中，沿着将折起，所以在图2中有，，又，所以平面，又因为平面，所以平面平面；(2)解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角，所以，又因为，所以是等边三角形，连接，在图1中，因为，，所以，因为是的中点，所以，所以是等边三角形.取的中点，连接，，则，，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建系，如图所示.，，，所以，，设平面的法向量为，则即取，得平面的一个法向量为，所以.设直线与平面所成角为，则.20．记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且(1)证明：；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）在中由锐角三角函数，得，代入条件，由正弦定理角化边得，即证；（2）由三角形等面积法，得，代入可得；将条件和同时代入余弦定理，化简后利用辅助角公式得到，即可求解.【详解】(1)在中，因为，所以，又因为，所以，即在中，根据正弦定理，得，故.(2)在中，，又由（1）知，，所以，在中，根据余弦定理，得，又由已知，，得，所以，则，即，因为，则，所以或，所以或，又点在边上，且，，所以必有一个大于等于，所以.21．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离和点到点的距离的比为，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若不经过点的直线与交于，两点，且，求△面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，由点线距离及两点距离公式列方程，化简即可得的方程；（2）设直线：，，，，联立椭圆方程，根据交点情况有，法一：结合韦达定理、求得；法二：作关于轴的对称点，得到，由向量平行的坐标表示求得，进而确定直线所过的定点坐标，利用弦长公式、三角形面积公式得到△面积关于m的表达式，即可求最值；【详解】(1)设，到直线的距离记为，则，依题意，，化简得，即.(2)设直线：，，，，由得：，则，可得，所以，.法一：由，则，所以，即，所以，可得，所以直线经过定点.因为△面积，所以，当，即时，有最大值为.法二： 作点关于轴的对称点，因为，则，故，所以，，三点共线，所以，因为，，所以，即，所以，则，可得，所以直线经过定点，因为△面积，所以，设，则，则，当，即时，有最大值为.22．已知函数，，其中．（1）讨论函数的极值；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【分析】（1）根据函数的导数的最小值的正负性、极值的定义进行分类讨论求解即可；（2）构造新函数，利用二次求导法进行求解即可.【详解】解：（1）由， 当时，若，则恒成立，在上为增函数，无极值；若，则令得，，当时，时，此时有极小值点，极小值为．综上可知：时无极值，时极小值为，无极大值（2）令在上恒成立，，则当时，，故恒成立，即在上恒成立，所以在上递增，且若，则恒成立，故成立，符合题意；若，则唯一使得，且当时，此时在为减函数，则不合题意．综上可知：.【点睛】关键点睛：根据导数的最小值的正负性进行分类讨论函数极值是解题的关键，对于不等式恒成立问题，构造新函数，二次求导是解题的关键.