2022-2023学年福建省永泰县城关中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省永泰县城关中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.

【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以原命题的否定为：，

故选:A.

2．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再根据集合的并集运算即可.

【详解】由题意得，，所以.

故选：D.

3．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图象一一分析函数的定义域与值域，即可判断.

【详解】解：对于A：函数的定义域为，值域为，不符合题意，故A错误；

对于B：函数的定义域为，其中，值域为，不符合题意，故B错误；

对于C：直线与图象有个交点，不符合函数的定义，故C错误；

对于D：函数的定义域为，值域为，符合题意，故D正确；

故选：D

4．如图，设集合{华南虎，爪哇虎，里海虎}，{华南虎，巴厘虎，马来亚虎}，则阴影部分表示的集合是（    ）

A．{华南虎，爪哇虎} B．{华南虎，巴厘虎}

C．{爪哇虎，里海虎} D．{巴厘虎，马来亚虎}

【答案】C

【分析】根据图中阴影部分表示的集合中的元素满足且即可得出结果

【详解】由题意得阴影部分表示的集合中的元素需满足且

所以，阴影部分表示的集合即{爪哇虎，里海虎}．

故选：C.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用作差法比较大小.

【详解】因为，

所以，

，所以．

故选:A.

6．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分，讨论，结合二次函数的性质即得.

【详解】当时，，满足题意；

当时，则 ，解得，

综上，的取值范围为．

故选：C.

7．“”是“函数在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据分段函数在上单调递增求得的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断即可.

【详解】解：由函数在上单调递增，得得．

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B.

8．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值.

【详解】由①，得②，

①得③，

②-③得，

因为，所以．

当时，；

当时，；

当时，（当且仅当时，等号成立）．

综上所述，的最大值为.

故选：B

二、多选题

9．设为全体质数的集合，若，则的值可能是（    ）

A．5 B．7 C．13 D．17

【答案】ABC

【分析】根据质数的概念找到能满足两个质数之和的数即可求解.

【详解】17以内的质数有2、3、5、7、11、13、17，

因为，，，

没有两个质数相加等于17，

所以的值可能是5、7、13．

故选:ABC.

10．在梯形中，，则“是等腰梯形”的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】依题意只需找到能够证明梯形为等腰梯形的条件即可.

【详解】解：在梯形中，，若可得是等腰梯形，

若可得是等腰梯形，

若，可得，即可得到是等腰梯形，

若，则，无法得到是等腰梯形，

故“”，“”，“”是“是等腰梯形”的充分条件．

故选：ABC

11．若奇函数和偶函数满足，则（    ）

A．

B．的值域为

C．函数在上单调递增

D．函数的最大值与最小值之和为2

【答案】ABD

【分析】令结合奇偶性构造方程，与原方程组成方程组求解解析式，可判断ABC选项是否正确；在选项D中，分析函数取得最值处是互为相反数的两个自变量，根据奇函数特征可求得最大值与最小值之和.

【详解】由①，得，

因为为奇函数，为偶函数，所以②．

①-②得，A正确．

①+②得，因为，所以，B正确．

，因为在上单调递增，所以在上单调递减，C错误．

，

令，当时，，

当时，，由基本不等式知时取得最小值，时 取得最大值，

因为为奇函数，其最小值与最大值之和为0，所以的最大值与最小值之和为2，D正确．

故选：ABD

12．已知函数有如下性质：当常数时，该函数在上单调递减，在上单调递增.若对任意，总存在，使得成立，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】方程两边同时除以，再根据函数值域之间的关系，即可求得参数的范围，则问题得解.

【详解】由题意得.令函数，函数，

又在上单调递减，在上单调递增，

所以，即的值域为.

由题意得的值域包含的值域：当时，，不符合题意；

当时，在上总有6，不符合题意；

当时，在上单调递减，的值域为，

所以，解得.

故选：BCD.

三、填空题

13．若“”是真命题，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】根据全称命题的真假可知，，即可得的取值范围.

【详解】由题意得, “”是真命题；

等价于“”恒成立，即，

所以，．

即的取值范围为.

故答案为：.

14．若集合，，则满足的集合的个数为___________．

【答案】7

【分析】化简集合，然后根据集合的包含关系即得.

【详解】由题意得，又，，

所以满足条件集合为

所以满足的集合的个数为．

故答案为：7.

15．已知函数,写出一个使得关于的方程有两个不等实根的的值：___________．

【答案】9（答案不唯一，符合即可）

【分析】根据题意可知，画出分段函数的图像，由函数与方程的思想可知，在同一坐标系中函数与有两个交点，即可写出符合条件的的值.

【详解】由题意可知，函数的图像如下图所示：

当时，，

当时，，

又有两个不等实根，所以与有两个交点；

所以；

故答案为：9（答案不唯一，符合即可）

16．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，且，，则不等式的解集为___________．

【答案】

【分析】根据形式构造函数，得出的单调性和奇偶性，再将原不等式变形即可求解.

【详解】令，则，且，

根据题意，，

所以在上单调递增．

又是偶函数，所以为上奇函数，

所以在上单调递增．

由，

得，

即，

所以，

得．

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，，且，．

(1)求的值；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意易得集合，根据可以得出，即可求得的值；（2）由即可得，即可求出的取值范围.

【详解】（1）由题意得：集合，

由，得，由集合间的基本关系可知；

所以的值为.

（2）由（1）得，

由，得，

即的取值范围需满足

解得，

即的取值范围为．

18．已知幂函数在上单调递减.

(1)求的值；

(2)求的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，然后可分析出答案；

（2）由题意得，解出即可.

【详解】（1）由题意得，即.

当，时，在上单调递增，不符合题意；

当，时，在上单调递减，符合题意.

所以，.

（2）由题意得，得，得或，

即的解集为.

19．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)若两个不相等的正数，满足，求的最小值．

【答案】(1).

(2)

【分析】（1）设出二次函数的解析式，运用待定系数法容易得到答案；

（2）根据对称性先求出正数，的关系，然后运用“1”的妙用求的最小值．

【详解】（1）设二次函数，

因为，所以．

由，得，

得，

所以得，

故．

（2）因为图象的对称轴为直线，所以由，得，

即，又

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值为

20．为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．

(1)小李承包的土地到第几年开始盈利？

(2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值．

【答案】(1)第年

(2)最大为万元

【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；

（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.

【详解】（1）由题意得，解得，所以．

设小李承包的土地到第年的利润为万元，

则，

由，得，解得．

故小李承包的土地到第年开始盈利．

（2）设年平均利润为万元，

则，

当且仅当时，等号成立．

故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．

21．已知函数的定义域为集合，且．

(1)求，的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)若，，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数化简可得的图象的对称中心为，再由由可得的图象关于点对称，从而可求出，的值；

（2）利用函数单调性的定义证明即可；

（3）令，则可得在上单调递增，从而可求出的最小值，进而可求出的取值范围．

【详解】（1）由题意得的定义域为，

，

因为，所以，

所以的图象的对称中心为，

因为，

所以的图象关于点对称，

所以，所以

（2）在上单调递增．

证明：，且，则，

由，得，，

所以，即．

故在上单调递增．

（3）由（2）可得在上单週递增，

令，因为二次函数在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以，

又，

所以，

即的取值范围为．

22．已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且的面积为3.

(1)求的值；

(2)若在上的最大值与最小值之差为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出三点的坐标，通过的面积即可求出的值.

（2）结合（1）的结论得到函数的解析式与对称轴，通过讨论对称轴与给定区间的关系得到函数的最值，进而可求的最小值.

【详解】（1）令，

得或，又，

所以，

故：.

（2）由（1）得图象的对称轴为直线.

当，即时，在上单调递减，所以，，所以.

当 即时，，所以.

当 即时，，所以.

当时，在上单调递增，所以，，所以.

综上：的最小值为.

故：的最小值为.