2021-2022学年河南省三门峡市灵宝市八年级（下）第一次段考数学试卷(解析版)

2021-2022学年河南省三门峡市灵宝市八年级（下）第一次段考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若式子有意义，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列根式不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 计算的结果估计在(    )

A. 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间

6. 如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 中，、、的对边分别是、、，，，，则下列结论不正确的是(    )

A. 是直角三角形，且为斜边
B. 是直角三角形，且
C. 的面积是
D. 是直角三角形，且

8. 等边三角形的边长为，则该三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 中，，，高，则的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. ______ ， ______ ．
12. 边长为的正方形的对角线的长度为______．
13. 已知直角三角形的两边长为，，则第三边长为______．
14. 若与的被开方数相同，则 ______ ．
15. 若，则______，______．
16. 如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则 ______ ．

17. 成立的条件是______．
18. 一个直角三角形的两条直角边分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______．
19. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为______．

20. 由于台风的影响，一棵树在折断前不包括树根的长度是，折断后树顶落在离树干底部处，则这棵树在离地面______处折断．

三、解答题（本大题共8小题，共68分）

21. 计算．
    ；
    ；
    ；
    ．
22. 若，，求下列代数式的值．
    ；
    ．
23. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形不需要写画法．
    在图中，画一个正方形，使它的面积是；
    在图中，画一个三角形，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为______ 直接写出结果
     
24. 如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为当小红折叠时，顶点落在边上的点处折痕为，求的长．

25. 如图，在四边形中，，，，，求的长．

26. 一架方梯长米，如图所示，斜靠在一面上：

若梯子底端离墙米，这个梯子的顶端距地面有多高？

在的条件下，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

27. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
    问是否为从村庄到河边的最近路？即问：与是否垂直？请通过计算加以说明；
    求原来的路线的长．

28. 已知，，试在轴上确定点，使三角形是等腰三角形，写出所有满足条件点的坐标．可以直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，可化简；
C、，可化简；
D、，可化简；
故选B．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
可以此来判断哪个选项是正确的．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
，
点在第二象限．
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出，的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故选D．
本题考查了二次根式的性质：，．
等式左边为非负数，说明右边，由此可得的取值范围．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，，
、、与是同类二次根式，能够进行合并．
故选B．
先把各二次根式化为最简二次根式得到，，，，，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫同类二次根式；同类二次根式可进行合并．
 

5.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
，
即的结果在至之间，
故选：．
首先把二次根式的化简计算，然后估算无理数的大小即可解决问题．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行乘法运算，然后进行加减运算．也考查了估算无理数的大小．
 

6.【答案】 

【解析】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，
，，
在的左侧，
，
，
故选：．
首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可．
此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
【解答】
解：，，，
，，，
，
是直角三角形，
因为的对边为最大，所以为斜边，，
的面积是，
故错误的选项是，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：，如下图所示

等边三角形底边上的高即边上的中线，
，
在中，，，
，
，
故选：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题．
本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：的最小长度显然是圆柱的高，最大长度根据勾股定理，得：．
即的取值范围是．
故选：．
最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
主要是运用勾股定理求得的最大值，此题比较常见，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：此题应分两种情况说明：
当为锐角三角形时，在中，
，
在中，
的周长为：；

当为钝角三角形时，
在中，，
在中，，
．
的周长为：
当为锐角三角形时，的周长为；当为钝角三角形时，的周长为．
故选：．
本题应分两种情况进行讨论：
当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长，从而可将的周长求出；
当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长，从而可将的周长求出．
此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
 

11.【答案】； 

【解析】

【分析】
本题考查了算术平方根，平方，
根据平方，算术平方根的性质，求解即可．
【解答】
解：，，
故答案为：，．  

12.【答案】 

【解析】解：边长为的正方形的对角线的长度为：
故答案为：
根据勾股定理即可求出边长为的正方形的对角线的长度．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

13.【答案】或 

【解析】解：设第三边长度为，
当是斜边时，由勾股定理得：．
当为直角边时，由勾股定理得：．
综上所述，第三边长为或．
故答案为：或．
由勾股定理求出直角三角形的斜边长，即第三边长即可．不过需要对斜边是否是进行分类讨论．
本题主要考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数相同列出方程求解即可．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

15.【答案】； 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得不等式组，解不等式组可得的值，然后代入可得的值．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
则，
故答案为；．  

16.【答案】 

【解析】解：直角三角形，
，
，，，，，
．
故答案为．
根据勾股定理的几何意义解答．
此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关．
 

17.【答案】 

【解析】解：若成立，
那么，
解之得，，，所以．
根据二次根式的乘法法则：的条件，列不等式组求解．
此题的隐含条件是：被开方数是非负数．
 

18.【答案】 

【解析】解：直角三角形的两条直角边分别为，，
斜边为，
设斜边上的高为，
则直角三角形的面积为，，
这个直角三角形斜边上的高为，
故答案为．
根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
本题考查了勾股定理的运用，即直角三角形的面积的求法，求出斜边长是关键，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
则，
点表示，
点表示的数为：．
故答案是：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

20.【答案】 

【解析】解：设这棵树在离地面处折断，
由题意得，，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：．
解得．
故答案为：．
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

21.【答案】解：原式


；
原式

；
原式

；
原式

． 

【解析】根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可；
利用二次根式乘除法的计算方法进行计算即可；
利用二次根式混合运算的方法进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式以及实数的运算，掌握平方差公式的结构特征以及实数运算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：，，
，
，



；




． 

【解析】根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算；
根据完全平方公式计算．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，

在图中的正方形即为所求，它的面积是；
在图中，三角形即为所求，
它的三边长分别为：、、，
，
是直角三角形，
设边上的高为，
即，
解得．
答：边上的高为．
故答案为：． 

【解析】本题考查了作图应用与设计作图、二次根式的混合运算、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．
根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图中，画一个正方形，使它的面积是；
在图中，根据网格即可画一个三角形，使它的三边长分别为：、、，证明是直角三角形，进而可以计算出边上的高．
 

24.【答案】解：由折叠得：．
在中，，．
．
．
设，则．
在在中，由勾股定理得：
．
解得：．
． 

【解析】由折叠可得，在直角三角形中，由勾股定理可求，再由折叠得到，将问题转化到直角三角形中，设未知数，建立方程，求出结果．
本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中线段的对应关系．
 

25.【答案】解：连接，如右图所示，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
，
即的长是． 

【解析】根据，，可以得到是等边三角形，从而可以得到和的度数，然后根据，即可得到的度数，再根据勾股定理，即可得到的长．
本题考查勾股定理、等边三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：在中，米，米，
米．
答：梯子的顶端距地面米；
在中，米，
米，
米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了米． 

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
利用勾股定理可得，再计算即可；
在直角三角形中计算出的长度，再计算即可．
 

27.【答案】解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
所以是从村庄到河边的最近路；
设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
 

28.【答案】解：如图所示：
，，
，，
，
，是以为圆心，长为半径交轴于两点，
，．
故所有满足条件点的坐标是：，． 

【解析】画的垂直平分线交轴于一点；
以为圆心，长为半径交轴于两点；
以为圆心，长为半径交交轴于一点，再分别写出坐标即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论与数形结合思想的应用是解此题的关键．