数学3.1 椭圆导学案

这是一份数学3.1 椭圆导学案，共13页。学案主要包含了椭圆的标准方程和性质，椭圆与直线的位置关系等内容，欢迎下载使用。
1椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2椭圆标准方程：
3椭圆的几何性质

3椭圆的第二定义及通径
题型一：椭圆性质的应用
1．（2022·天津河北·高二统考期末）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·天津红桥·高二统考期末）已知椭圆的方程为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知椭圆的焦点在轴上，且离心率，则
A．9B．5C．25D．-9
4．（2020·天津红桥·高二统考期末）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是________．
5．（2020春·天津和平·高二统考期末）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．2B．6C．4D．12
6．（2020·天津红桥·高二期末）椭圆上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为______．
7．（2018春·天津红桥·高二统考期末）椭圆的一个焦点为，则________．
题型二：求椭圆的标准方程
1．（2021春·天津·高二统考期末）焦点在x轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2018春·天津和平·高二统考期末）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
3．（2022春·天津·高二统考期末）离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是
A．B．或
C．D．或
题型三：椭圆的离心率
1．（2022·天津市汇文中学阶段练习）已知椭圆E的左、右焦点分别为，过且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若为直角，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）设，分别为椭圆（）的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3（2022春·天津河东·高二统考期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为______．
4．（2022·天津和平·高二天津市汇文中学校考期中）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·天津南开·高二天津二十五中校考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，若是以为顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.
6．（2022春·天津南开·高二天津市天津中学校考期中）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______.
7（2018春·天津和平·高二统考期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·天津·高二静海一中校联考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________．
知识点二 椭圆与直线的位置关系
1、弦长问题
解题思路
（1）根据题意，讨论特殊情况
（2）设出直线方程与交点坐标
（3）联立，关于x或 y的方程
（4） ∆>0；利用韦达定理，表示出x1+x2 ; x1∙x2或者 y1+y2 ; y1∙y2
（5） 利用适当的弦长公式求解
2、中点弦问题
解决弦的中点问题的两种方法：
（1）利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数 ;
（2）用"设而不求"法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系．
2、中点弦三个结论
结论1
结论3
题型四：直线与椭圆综合题型
解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为Ax1，y1，Bx2，y2；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．（2022·天津红桥·高二统考期末）已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程．
2．（2021春·天津·高二统考期末）已知椭圆E：（）的焦距为，且离心率为.
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若直线（）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足，求k.
3.（2018春·天津和平·高二统考期末）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 为椭圆 上位于第一象限内的一点.
(1)若点的坐标为 ，求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左顶点，为椭圆上一点，且 ，求直线 的斜率.
4．（2021春·天津和平·高二校考期末）已知椭圆的离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程.
参考答案
题型一
1【答案】B 2【答案】B 3【答案】C 4【答案】4
5【答案】C 6【答案】4 7【答案】3
题型二
1【答案】A 2【答案】A 3【答案】B
题型三
1【答案】A 2【答案】B 3【答案】216 4【答案】A
5【答案】． 6【答案】 7【答案】A 8【答案】
题型四
1【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意可得，得，，椭圆；
（2）设，，直线为．
由，得
显然，由韦达定理有：，则；
所以，且，
若，解得，所以．
2【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）解：由题意知，，
又因为解得，，
故E的标准方程为
（Ⅱ）由，得，
得或
不妨设，，则，
由（Ⅰ）知，故，，
由，知
又因为，故．
3【答案】(1)，
(2).
（1）∵椭圆的离心率为，
∴，
∴ ，
∴ ①
∵点在椭圆上，
∴②
由①②解得 ， ，
∴椭圆的方程为．
（2）
由（1）可知 ，即
∴椭圆的方程为，即，
∴点的坐标为，
设直线的方程为（），,
由， 解得，
∵，
∴．
∵，∴∥ ，
于是设直线的方程为（）
由，消去整理得
，
解得 或（舍去）
∴ ．
又，
∴ ，
∴ ，即，
∴（），
解得，
∴．
即直线的斜率为．
4【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ），且过点.
∴， ∴
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）当斜率不存在时，设:，
得,显然不满足条件.
当斜率存在时设:，、
联立整理得：，
∴，
因为，
所以
即：
整理得
化简：
∴直线方程为.焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
±c)
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
形状
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2