山东省德州市禹城市龙泽实验学校2023—2024学年上学期第一次月考九年级数学试卷

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2023-2024学年山东省德州市禹城市龙泽实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是一元二次方程的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

3.已知关于的方程有一个根为，则另一个根为(    )

A.  B.  C.  D.

4.如果函数是关于的二次函数，那么的值是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

5.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是
(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

6.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D.

8.有支球队参加篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为设道路的宽为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.若，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.对于抛物线，下列结论：

抛物线的开口向下；  对称轴为直线；   顶点坐标为；

当时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.已知关于的方程是一元二次方程，则的值为______．

14.方程的根是______ ．

15.设、是方程的两个实数根，则的值为______．

16.写出一个顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式______．

17.若二次函数的图象经过原点，则的值为          ．

18.抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解下列方程：
；
．

20.本小题分
已知关于的方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，满足，求实数的值．

21.本小题分

在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处点的坐标，铅球路线的最高处点的坐标为单位：米．
求这个二次函数的解析式；
该男同学把铅球推出去多远？

22.本小题分
“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

23.本小题分
某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出件，每件衬衣盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价元，商场平均每天可多售出件，若商场平均每天盈利元，每件衬衣降价多少元？

24.本小题分

如图，用长为的篱笆和一面墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃为了方便出入，在上用其他材料建了两扇宽为的门．
若长方形花圃的面积为，求的长．
能否围成面积为的长方形花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

25.本小题分

如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
求点的坐标，连接、并求线段所在直线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元二次方程的定义，故选项错误；
B、是二元一次方程，故选项错误；
C、是分式方程，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
是整式方程；
含有一个未知数，且未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．
考查了一元二次方程的定义，在做此类判断题时，要特别注意二次项系数这一条件．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负情况确定方程解的个数是关键．
将方程的系数代入根的判别式中，得出，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】
解：在方程中，，
该方程有两个相等的实数根．
故选B．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】
解：关于的方程有一个根为，设另一个根为，
根据根与系数关系得，，
解得，，
故选B．

4.【答案】 

【解析】【分析】

此题主要考查了二次函数的定义，得出关于的等式是解题关键利用二次函数的定义得出且进而求出即可．

【解答】

解：函数是关于的二次函数，
，
解得：，，
，
，
．
故选D．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】
解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，可得到抛物线．
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：由题意得抛物线的对称轴是直线，
点关于对称轴的对称点是，
，
当时，随的增大而减小，
．
故选A．
本题考查二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质．
利用二次函数的对称性找出点关于对称轴的对称点，再根据二次函数的增减性进行判断即可．

7.【答案】 

【解析】【解答】
解：当时，方程化为，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为．
故选C．
【分析】
本题主要考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为，方程有一个实数根；当时，方程有实数根，则，然后求出两种情况下的取值范围．

8.【答案】 

【解析】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了场，
，
故选：．
先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．

9.【答案】 

【解析】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．
根据题意得：．
故选：．
由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，则有．
是方程的根，得，即：．
所以．
故选：．
根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则，而，即可求解．
本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题．

11.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，由一次函数可知，直线与轴的交点为，
当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．

12.【答案】 

【解析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

解：，
抛物线的开口向下，正确；
对称轴为直线，故本小题错误；
顶点坐标为，正确；
时，随的增大而减小，
时，随的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是共个．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得，
故答案是：．
利用一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程解答即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：，
，
则或，
解得：或，
故答案为：或．
因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．
根据根与系数的关系得到、的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．

16.【答案】 

【解析】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
，
，
，
这个函数解析式为，
故答案为：．
设抛物线的解析式为，由条件可以得出，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键．

17.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．本题中已知二次函数经过原点，因此二次函数与轴交点的纵坐标为，即，由此可求出的值，要注意二次项系数不能为．
【解答】
解：根据题意得：，
或，
二次函数的二次项系数不为零，即，
．
故答案为．

18.【答案】 

【解析】解：由抛物线，得顶点，
把代入中，得：
，解得，
，
当时，，当时，，
一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：．
由抛物线可得：，把代入中求得一次函数解析式：再求出一次函数与轴，轴的交点坐标，利用三角形面积公式求得一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
主要考查了二次函数的顶点式求顶点坐标，由一次函数的解析式求直线与轴轴的交点坐标．

19.【答案】解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
，；
，
移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】利用配方法求解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20.【答案】解：关于的方程有两个实数根，，
，
解得：，
实数的取值范围为．
关于的方程有两个实数根，，
，．
，
，即，
解得：或不符合题意，舍去．
实数的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出实数的取值范围；
由根与系数的关系可得、，将其代入中，解之即可得出的值．

21.【答案】解：抛物线的顶点是，
抛物线可设为：，
又抛物线经过，
，
解得：，
二次函数的解析式是：；
令得：，
解得：，，
答：该男生能把铅球推出去米． 

【解析】由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解；
由求得的函数解析式，令，求得的的正值即为铅球推出的距离．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是函数解析式的求法．

22.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
化简得：
，
或舍
答：进馆人次的月平均增长率为．
进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 

【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解；
根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．

23.【答案】解：设每件衬衣降价元，则平均每天可售出件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每件衬衣降价元． 

【解析】设每件衬衣降价元，则平均每天可售出件，根据总利润销售每件的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：设的长为，则的长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为．
不能围成面积为的长方形花圃，理由如下：
设的长为，则的长为，
依题意得：，
整理得：，
，
原方程无实数根，
即不能围成面积为的长方形花圃． 

【解析】设的长为，则的长为，根据长方形花圃的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为，即可确定的长；
不能围成面积为的长方形花圃，设的长为，则的长为，根据长方形花圃的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程无实数根，即不能围成面积为的长方形花圃．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

25.【答案】解：抛物线的图象经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为，
又，
对称轴方程为：．

在中，令，得，
；
令，即，整理得，
解得：或，
，．
设直线的解析式为，
把，的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
直线的解析式为：．

存在，
理由：抛物线的对称轴方程为：，
可设点，，，
，，．
当时，
有，
，
解得，
；
当时，
有，
，此方程无实数根，
此时不能构成等腰三角形；
当时，
有，
整理得：，
解得：，
点坐标为：，
综上所述，存在点，使为等腰三角形，点的坐标为：，， 

【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式求出对称轴方程；
在抛物线解析式中，令，可求出点坐标；令，可求出点坐标．再利用待定系数法求出直线的解析式；
本问为存在型问题．若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．