2022宿州十三所重点中学高一上学期期中联考试题数学含解析

宿州市十三所重点中学2021-2022学年度期中质量检测

高一数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交集和补集计算方法计算即可.

详解】，.

故选：B.

2. 函数的定义域为（    ）

A 且 B. 或

C.  D. 且

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式组即得解.

【详解】解：由题得且.

所以函数的定义域为且

故选：D

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.

【详解】因为命题“”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即“”，

故选：A

4. 函数和函数在同一坐标系下的图像可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】按照和的图像特征依次判断4个选项即可.

【详解】必过，必过，D错误；

A选项：由图像知，由图像可知，A错误；

B选项：由图像知，由图像可知，B错误；

C选项：由图像知，由图像可知，C正确.

故选：C.

5. 函数与轴的交点个数为（    ）

A. 至少1个 B. 至多一个

C. 有且只有一个 D. 与有关，不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义，即可判断选项.

【详解】由函数定义可知，定义域包含时，则与轴有1个交点，当定义域不包含时，则与轴无交点，所以函数与轴的交点个数为0个.

故选：B

6. 已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到函数关于对称，且在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，

又由对任意，都有，

可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，

由，所以，所以A不正确；

由，所以，所以B不正确；

由，所以，所以C正确；

由，所以，所以D不正确.

故选：C.

7. 函数在区间上不单调的一个充分不必要条件为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据函数在区间上不单调解出的范围，在4个选项中选择真子集即可.

【详解】，函数在区间上不单调，故，

又因为充分不必要条件，故为的真子集，只有D选项符合.

故选：D.

8. 已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A. 或 B.  C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.

【详解】当时，则，，

当时，则，，

，所以为奇函数，

因为时为增函数，又为奇函数，

为上单调递增函数，

的图象如下，

由得，

所以，即在都成立，

即，解得.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 下列运算正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A、B：利用幂的运算性质直接计算；

对于C、D：利用对数恒等式和幂的运算性质直接计算.

【详解】对于A、B：.故A正确，B错误；

对于C、D：.故C正确，D错误.

故选：AC

10. 下列函数是同一函数的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】按照定义域和对应关系依次判断4个选项即可.

【详解】A选项：定义域为，定义域为，不是同一函数，A错误；

B选项：定义域都为，对应关系相同，是同一函数，B正确；

C选项：定义域都为，对应关系相同，是同一函数，C正确；

D选项：，定义域为，，定义域为或，不是同一函数，D错误.

故选：BC.

11. 对于函数，若存在集合，且在集合，上的值域相同，则称集合，为函数的“同族等值集合”，若，则下列集合是函数的“同族等值集合”的有（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用“同族等值集合”的定义判断.

【详解】A. 因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；

B. 因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；

C.因为 ，对于所对应的值域分别为，故不是“同族等值集合”；

D.因为 ，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；

故选：ABD

12. 使得的数称为方程的解，也称为函数的零点.即的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.已知二次函数在上有两个零点，且.下列说法正确的有（   ）

A. 且

B.

C.

D. 和至少有一个小于

【答案】AD

【解析】

【分析】根据零点的定义结合二函数的性质逐个分析判断

【详解】对于A，因为二次函数在上有两个零点，且，

所以，即，

所以A正确，

对于B，当时，，所以B错误，

对于C，若，则，此时，则，所以C错误，

对于D，当时，，即，所以和中至少有一个小于1，

当时，或，

当时，则，

当时，则，

所以D正确，

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若幂函数为奇函数，则_____________

【答案】-1

【解析】

【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.

【详解】因为函数幂函数，

所以，

解得或，

当时，为偶函数，不符合题意；

当时，为奇函数，符合题意，

所以-1，

故答案为：-1

14. 设集合，，函数，则_______

【答案】##0.125

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，先求的值，从而可求出答案.

【详解】解：由，

得，

所以.

故答案为：.

15. 已知且，则的最小值为________

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求出最小值.

【详解】因为且，

所以，即，解得：（当且仅当即时取“=”号）.

所以的最小值为8.

故答案为：8

16. 若，则_________（用含有的表达式作答）；若对正数有，则__________（用数字作答）.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】第一个空，由可得，从而即可求解；第二个空，设，则，从而即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以；

设，则，

所以.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 化简求值

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；

（2）根据对数的运算法则，准确运算，即可求解.

【小问1详解】

解：根据指数幂的运算法则，可得：

原式.

【小问2详解】

解：根据对数的运算公式，可得：

原式

.

18. 设集合，，.

（1）求.

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先解出集合，再计算即可；

（2）由得，再按照两根的大小分类讨论解不等式即可.

【小问1详解】

，，则；

【小问2详解】

，由得，

①当时，即时，，只需，即；

②当时，即时，，满足条件；

③当时，即时，，只需，即；

综上可得：的取值范围是.

19. 已知函数对任意，总有，且对，都有.

（1）判断并用定义证明函数的单调性；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）函数是上的减函数，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）任取，设，根据已知条件可得，从而由函数单调性的定义即可证明；

（2）由已知条件及（1）问函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

解：函数是上的减函数，证明如下：

由题意，令，有，解得，

任取，不妨设，

则，

因为，则，所以，即，

所以函数是上的减函数；

【小问2详解】

解：因为函数对任意，总有，

所以不等式，即，也即，

又由（1）可知函数为上的减函数，

所以，解得，

所以原不等式的解集为.

20. 已知函数，集合．

（1）当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；

（2）若，当       时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．

在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）令，，结合二次函数的对称轴求解即可；

（2）选择条件后，根据的范围和对称轴求最大值即可.

【小问1详解】

由题知，

令，，当时，函数的最小值为，等价于时函数的最小值为.

易知二次函数的对称轴方程为且，故函数最小值为则要求，即.

【小问2详解】

选择①，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.

选择②，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.

选择③，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.

21. 已知函数

（1）判断并用定义证明函数的奇偶性；

（2）解关于的不等式

【答案】（1）函数为定义域上的奇函数，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，准确化简、运算，即可求解；

（2）由，当时，，当时，可得，解不等式，转化为和，即可求解.

【小问1详解】

解：判断函数为奇函数，下证明：函数，令，解得，

即函数的定义域为，关于原点对称，

又由，

则，即，

所以函数为定义域上的奇函数.

【小问2详解】

解：由，当时，可得，所以，

因为函数为奇函数，所以当时，可得，

①当时，

由不等式，即，整理得，解得；

②当时，

由不等式，即，整理得，解得，

综上可得，不等式的解集为.

22. 第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在中国北京举办，届时北京将成为首个同时举办了夏季奥运会和冬季奥运会的城市，进一步增强了民族自信.同时央行发行各种收藏类纪念币和纪念钞.某网店获准销售一种圆形金质纪念币，每枚进价80元，预计这种纪念币以每枚100元的价格销售时该店一天可销售40枚，经过市场调研发现每枚纪念币的销售价格在每枚100元的基础上每减少1元则增加销售4枚，而每增加1元则减少销售1枚，现设每枚纪念章的销售价格为元（且为整数）．

（1）写出该专营店一天内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；

（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一天内利润(元)最大，并求出最大值．

【答案】（1）且.   

（2）每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元.

【解析】

分析】（1）理解题意后分段写出函数关系式

（2）分段函数，在每一段上求出最大值后比较

【小问1详解】

由题意可得，当单价范围是时，销量为枚，此时利润为元；当单价范围是时，销量为枚，此时利润为元.

所以函数关系式为

且.

【小问2详解】

当时，，对称轴方程为，因为

，此时.         

当时，，当且仅当时，可以取到最大值.

综上可得，每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元.