山西省临汾市侯马市2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

2021-2022学年山西省临汾市侯马市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列实数中，有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    大课间活动在我市各校蓬勃开展，某班大课间活动抽查了名同学．每分钟跳绳次数，获得如下数据单位：次：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则跳绳次数在这一组的频率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设(    )

A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于
C. 三角形中每个内角都大于 D. 三角形中没有一个内角小于

6.    如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积的和是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，数轴上的点所表示的数为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    下列条件：；；：：：：；：：：：，其中不能确定是直角三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，于点，是上一点，且，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 因式分解：______．
12. 若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
13. 若，，则 ______ ．
14. 如图，是一块长，宽，高分别为，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是______．

15. 如图，在，，，，垂直平分，分别交，于点、，平分，与的延长线交于点，连接，则的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
    和平公园是太原市的大型综合性公园，以“自然生态、和谐共融”为主题，公园内有一块四边形的草坪如图所示，在该四边形内有一棵银杏树，银杏树的位置点到边、的距离相等．并且点到点、的距离也相等，请用尺规作出银杏树的位置点不写作法．保留作图痕迹

19. 本小题分
    年月，我市为了解学生一周内劳动次数的情况，随机抽取了某校八年级部分学生进行了调查，得到如图所示的条形统计图和扇形统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    这次调查活动共抽取了多少人？并求出条形统计图中的值；
    在扇形统计图中，“次及以上”的对应的圆心角度数为多少？并将条形统计图补充完整．
    根据统计数据，你对该校学生的劳动次数有什么建议？
20. 本小题分
    如图，在中，是边上一点，平分交的延长线于点，且，求证：．

21. 本小题分
    如图，的三边分别为，，，如果将沿折叠，使恰好落在边上．
    试判断的形状，并说明理由；
    求线段的长．

22. 本小题分
    认真观察图形，解答下列问题：
    根据图中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
    方法：______；方法：______．
    从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：______；
    利用中结论解决下面的问题：
    如图，两个正方形边长分别为，，如果，求阴影部分的面积．
23. 本小题分
    知识背景：我们在全等三角形一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
    问题初探：如图，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
    方法迁移：如图，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？______直接写出答案，不写过程．
    类比再探：如图，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则______直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线
    拓展创新：如图，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接根据算术平方根的概念可求得的算术平方根．
本题考查的是算术平方根的定义．正数的算术平方根是正数，的算术平方根是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，是无理数，不合题意；
B、，是无理数，不合题意；
C、是无理数，不合题意；
D、，是有理数，符合题意．
故选：．
直接利用有理数以及无理数的定义分析得出答案．
此题主要考查了实数，正确把握有理数以及无理数的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.，选项C符合题意；
D.，选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则可判断选项A，，根据幂的乘方法则可判断选项C，根据同底数幂的除法法则可判断选项D．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：跳绳次数在之间的数据有，，，四个，
频率为．
故选：．
从数据中数出在这一组的频数，再由频率频数数据总数计算．
本题考查了频率的求法，掌握频率的计算公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

6.【答案】 

【解析】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
，
，
，
则．
则
故选：．
根据勾股定理有，，，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
本题考查了勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
由题意，利用勾股定理求出点到的距离，即可确定出点表示的数．
此题考查了实数与数轴，弄清点表示的数的意义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
，
故选：．
先利用三角形的内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用等量代换可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
能确定是直角三角形；
，
，
，
能确定是直角三角形；
：：：：，
设，则，，
，，
，
能确定是直角三角形；
：：：：，，
，
不能确定是直角三角形；
所以，上列条件不能确定是直角三角形的是，
故选：．
利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
，，
，
，
．
，
，
，
在中，，
，
．
．
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，三角形面积的计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，且墨迹覆盖的范围是，
能被墨迹覆盖的数是．
首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数即它们分别在那两个整数之间，从而可判断出被覆盖的数．
本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
原式


．
故答案为：．
先把代数式化为积的乘方的形式，再把，代入进行计算即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是和，
则所走的最短线段是．
第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是和，
所以走的最短线段是．
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是和，
所以走的最短线段是．
它需要爬行的最短路径是．
故答案为：．
把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
本题主要考查的是平面展开最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，

平分，，
，
垂直平分，
，，
，
平分，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
作于，首先可知是等腰直角三角形，利用角平分线的性质得，则四边形是正方形，从而得出，再利用勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了角平分线的定义和性质，正方形的判定，勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据绝对值、立方根的定义进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式以及绝对值，掌握平方差公式的结构特征以及绝对值的定义是正确解答的前提．
 

17.【答案】解：

，
当时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：人，
，
即这次调查活动共抽取了人，条形统计图中的值是；
在扇形统计图中，“次及以上”的对应的圆心角度数为：，
一周劳动次的有：人，，
补全完整的条形统计图如右图所示；
建议：要加强次以上劳动次数的人数，鼓励劳动次数低的学生多参加劳动，加强劳动意识． 

【解析】根据次及以下的人数和所占的百分比，可以计算出这次调查活动共抽取了多少人，再根据扇形统计图中的数据即可计算出的值；
根据扇形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“次及以上”的对应的圆心角度数，然后计算出劳动次的人数和的值，即可将条形统计图补充完整；
本题答案不唯一，合理即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】证明≌即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是得到≌．
 

21.【答案】解：是直角三角形；
，
；
是直角三角形．

设折叠后点与上的点重合．
设，则，，，；
，
在中，，
解得：．
即线段的长为． 

【解析】根据勾股定理的逆定理，判断是否成立即可．
设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及利用勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题．
 

22.【答案】     

【解析】解：阴影部分面积为两个正方形面积的和，即；阴影部分面积为大正方形面积减去两个矩形面积，即，
故答案为：，；
阴影部分面积相等，即得：，
故答案为：；
阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
，
阴影部分的面积，
答：阴影部分面积为．
用两个正方形面积相加或用大正方形面积减去两个矩形面积均可表示阴影部分面积；
阴影部分面积相等即可得到等式；
用、表示出阴影部分面积，再变形成含和的形式，将代入即可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景及应用，解题的关键是将阴影部分面积用含、的代数式表示出来，再变形成含和的形式．
 

23.【答案】   

【解析】解：，理由如下：
，
，即，
在和中，
，
≌，
；
和均为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图所示，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，

，
，，
，
，，
，，即，
，，
，，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
；
，理由如下：
如图所示，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，

，
，，
，
，，
，，即，
为等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
．
根据题意可推出，然后利用边角边即可证明≌，即可推出；
根据题意推出，然后利用边角边即可证明≌，推出，即可推出；
利用中的图形可作出辅助线：过点作交于点，过点作交的延长线于点，然后利用平行线分线段成比例推出：和，推出和，然后利用题中条件可推出≌，即可推出，即可算出；
同样也是：过点作交于点，过点作交的延长线于点，利用平行线分线段成比例推出：和，利用题中条件可推出：和，然后利用边角边即可证出：≌，推出，即可算出的度数．
本题主要考查了三角形的全等以及平行线分线段成比例，解题关键：一是全等三角形的证明，二是辅助线的做法．