山西省临汾市洪洞县2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题 (含答案)
展开2021-2022学年山西省临汾市洪洞县八年级(上)期末数学试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求,请选出并将步母标号填入下表相应位置。每小题3分,共30分)
1.(3分)16的算术平方根为( )
A.±4 B.4 C.2 D.±2
2.(3分)下列关于﹣的叙述,正确的是( )
A.在数轴上不存在表示﹣的点
B.﹣=
C.﹣
D.与﹣最接近的整数是﹣3
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.(﹣a3)2=﹣a6 B.a5﹣a3=a2
C.(﹣3a2)3=﹣27a6 D.(2a4)2÷(2a)2=a4
4.(3分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则( )
A.∠A为直角 B.∠C为直角
C.∠B为直角 D.不是直角三角形
5.(3分)某班学生在课外活动参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3:1:1,则在这三个小组构成的扇形统计图中,表示体育小组人数的扇形的圆心角为( )
A.108° B.216° C.72° D.36°
6.(3分)通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是( )
A.a(a﹣2b)=a2﹣2ab
B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
D.(a+b)(a﹣2b)=a2﹣ab﹣2b2
7.(3分)如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为( )
A.2.2 B. C. D.
8.(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
9.(3分)如图,有一个圆柱,底面圆的周长为16πcm,高BC=12πcm,P为BC的中点,一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为( )
A.9πcm B.10πcm C.11πcm D.12πcm
10.(3分)如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边向外做等边△ABF和等边△ACE,CF和BE交于O点,则下列结论:①CF=BE;②∠COB=120°;③OA平分∠FOE;④OF=OA+OB.其中正确的有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共15分)在每小题中,请将正确答案直接填在题后的横线上。
11.(3分)命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .
12.(3分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 .
13.(3分)在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,点D在BC上,AD=15,则BD= .
14.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,S△ABC=3cm2,边BC的垂直平分线为1,点D是边AC的中点,点P是1上的动点,当△PCD的周长取最小值4时,则AC= .
15.(3分)如图,等边△ABC,D为CA延长线上一点,E在BC边上,且AD=CE,连接DE交AB于点F,连接BD,若∠BFE=52.5°,△DBE的面积为4,则DB= .
三、解答题:(本大题共75分,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步豫,请将解答书写在对应的位置上)
16.(21分)(1)计算:
①﹣1+|1﹣|﹣2﹣;
②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1);
(2)因式分解:①a3b﹣2a2b2+ab3;
②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2;
(3)先化简,再求值:[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x,其中x=3.y=﹣1.
17.(6分)如图:已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.
18.(7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.
19.(7分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
20.(7分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC、AB于点D、E.
(1)求证:△ABC为直角三角形.
(2)求AE的长.
21.(8分)在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且AE=DB.
(1)如图1,若点E为AB的中点,求证:ED=EC;
(2)如图2,若点E为AB上任意一点.(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.
22.(13分)实践与探索:在数学综合与实践课上,老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动.
(1)将两个三角板较长的直角边靠在一起,拼成了如图1所示的三角形,则△ABC是三角形,理由是 ;
(2)经过拼摆,发现小组认真观察图1,得到了一个结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30”,那么它所对的直角边等于斜边的一半,并给出了证明的一部分.请将证明过程补充完整.
已知:如图2,△ABD是直角三角形,∠D=90°,∠A=30°.求证:BD=AB,
证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.
∴BD=BC,∠ADC=90°.
(3)实验小组受到了发现小组的启发,将图1中的△ACD以点D为旋转中心,按逆时针旋转α(α<90°),旋转后得到△A′C′D′,如图4所示,AB与A′C'相交于点O,连接OD.
问题一:求证DO平分∠ADA';
问题二:当点A恰好在A'D的垂直平分线上时,则∠AOD= °.
2021-2022学年山西省临汾市洪洞县八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求,请选出并将步母标号填入下表相应位置。每小题3分,共30分)
1.(3分)16的算术平方根为( )
A.±4 B.4 C.2 D.±2
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.
【解答】解:∵42=16,
∴=4.
故选:B.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根.
2.(3分)下列关于﹣的叙述,正确的是( )
A.在数轴上不存在表示﹣的点
B.﹣=
C.﹣
D.与﹣最接近的整数是﹣3
【分析】根据实数与数轴,以及的值的范围,逐一判断即可解答.
【解答】解:A、在数轴上存在表示﹣的点,故A不符合题意;
B、﹣≠﹣,故B不符合题意;
C、﹣=﹣2,故C不符合题意;
D、∵4<8<9,
∴2<<3,
∵2.52=6.25,
∴2.5<<3,
∴﹣3<﹣<﹣2.5,
∴与﹣最接近的整数是﹣3,
故D符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了无理数的估算,实数与数轴,熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键.
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.(﹣a3)2=﹣a6 B.a5﹣a3=a2
C.(﹣3a2)3=﹣27a6 D.(2a4)2÷(2a)2=a4
【分析】根据幂的乘方法则,同底数幂的除法法则,积的乘方法则,单项式除以单项式法则进行判断便可.
【解答】解:A.原式=a3×2=a6,选项错误,不符合题意;
B.不是同底数幂的除法,不能用同底数幂除法法则计算,选项错误,不符合题意;
C.原式=(﹣3)3a2×3=﹣27a6,选项正确,符合题意;
D.原式=a6,选项错误,不符合题意;
故选:C.
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则,幂的乘方法则,单项式除法法则,熟记这些法则是解题的关键.
4.(3分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则( )
A.∠A为直角 B.∠C为直角
C.∠B为直角 D.不是直角三角形
【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式,再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状,进而可得出结论.
【解答】解:∵(a+b)(a﹣b)=c2,
∴a2﹣b2=c2,即c2+b2=a2,故此三角形是直角三角形,a为直角三角形的斜边,
∴∠A为直角.
故选:A.
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
5.(3分)某班学生在课外活动参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3:1:1,则在这三个小组构成的扇形统计图中,表示体育小组人数的扇形的圆心角为( )
A.108° B.216° C.72° D.36°
【分析】先求出体育小组所占的比例,再乘以360°,即可得出答案.
【解答】解:参加体育小组的人数占总人数的=20%,
则扇形圆心角是360°×20%=72°.
故选:C.
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
6.(3分)通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是( )
A.a(a﹣2b)=a2﹣2ab
B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
D.(a+b)(a﹣2b)=a2﹣ab﹣2b2
【分析】要求阴影部分面积,若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算,若规则图形可以直接利用公式进行求解.
【解答】解:图1中,阴影部分是不规则图形,
∴阴影部分的面积=a2﹣ab﹣2b2,
图2中,阴影部分是长方形,
∴阴影部分的面积=(a+b)(a﹣2b),
∴a2﹣ab﹣2b2=(a+b)(a﹣2b),
故选:D.
【点评】本题考查整式运算,正确列出表示阴影部分面积的式子是解题关键.
7.(3分)如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为( )
A.2.2 B. C. D.
【分析】直接利用勾股定理进而得出点D表示的数.
【解答】解:∵AB=1,BC=2,BC⊥AB,
∴AC=AD==,
∴点D表示的数为:.
故选:D.
【点评】此题主要考查了勾股定理,正确应用勾股定理是解题关键.
8.(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
【分析】由作图过程可得MO=NO,NC=MC,再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC.
【解答】解:∵在△ONC和△OMC中,
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∴∠BOC=∠AOC,
故选:A.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
9.(3分)如图,有一个圆柱,底面圆的周长为16πcm,高BC=12πcm,P为BC的中点,一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为( )
A.9πcm B.10πcm C.11πcm D.12πcm
【分析】先把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短求解.
【解答】解:把圆柱的侧面展开如图:
则:AB=8πcm,BP=6πcm,
在Rt△ABP中,AP==10πcm,
故选:B.
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,勾股定理的应用是解题的关键.
10.(3分)如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边向外做等边△ABF和等边△ACE,CF和BE交于O点,则下列结论:①CF=BE;②∠COB=120°;③OA平分∠FOE;④OF=OA+OB.其中正确的有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【分析】证明△ABE≌△AFC,由全等三角形的性质得到BE=CF,可得∠AEB=∠ACF,则∠CON=∠CAE=60°=∠MOB,得出∠BOC=180°﹣∠CON=120°;S△ABE=S△AFC,得到AP=AQ,利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF,在OF上截取OD=OB,根据SAS可证明△FBD≌△ABO,得出DF=OA,由此可以解决问题.
【解答】解:∵ABF和△ACE都是等边三角形,
即∠FAC=∠BAE,
在△ABE与△AFC中,
,
∴△ABE≌△AFC(SAS),
∴BE=FC,∠AEB=∠ACF,故①正确,
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°,∠CON+∠CNO+∠ACF=180°,∠ANE=∠CNO,
∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB,
∴∠BOC=180°﹣∠CON=120°,故②正确,
连接AO,过A分别作AP⊥CF与P,AM⊥BE于Q,如图1,
∵△ABE≌△AFC,
∴S△ABE=S△AFC,
∴•CF•AP=•BE•AQ,而CF=BE,
∴AP=AQ,
∴OA平分∠FOE,所以③正确,
在OF上截取OD=OB,
∵∠BOF=60°,
∴△OBD是等边三角形,
∴BD=BO,∠DBO=60°,
∴∠FBD=∠ABO,
∵BF=AB,
∴△FBD≌△ABO(SAS),
∴DF=OA,
∴OF=DF+OD=OA+OB;
故④正确;
故选:D.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识,利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键,属于中考常考题型.
二、填空题(每小题3分,共15分)在每小题中,请将正确答案直接填在题后的横线上。
11.(3分)命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 .
【分析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题.
【解答】解:因为原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”.
【点评】根据逆命题的概念来回答:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.
12.(3分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 .
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可.
【解答】解:根据题意得,a﹣1=0,b﹣2=0,
解得a=1,b=2,
①若a=1是腰长,则底边为2,三角形的三边分别为1、1、2,
∵1+1=2,
∴不能组成三角形,
②若a=2是腰长,则底边为1,三角形的三边分别为2、2、1,
能组成三角形,
周长=2+2+1=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,难点在于要讨论求解.
13.(3分)在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,点D在BC上,AD=15,则BD= 7或25 .
【分析】过点A作AE⊥BC于点E,根据勾股定理求出DE的长,然后分两种情况:①当点D在线段CE上时,②当点D在线段CE上时,分别求出结果即可.
【解答】解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∵AB=AC=20,BC=32,
∴BE=CE=,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,
AE==12,
在Rt△ADE中,由勾股定理得,
DE==9,
当点D在线段BE上时,
BD=BE﹣DE=16﹣9=7,
当点D在线段CE上时,如图,
BD=BE+DE=16+9=25,
综上所述,BD=7或25,
故答案为7或25.
【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,正确作出辅助线根据勾股定理求解是解题的关键.
14.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,S△ABC=3cm2,边BC的垂直平分线为1,点D是边AC的中点,点P是1上的动点,当△PCD的周长取最小值4时,则AC= 2或6 .
【分析】连接BD,由于AB=BC,点D是AC边的中点,故BD⊥AC,再根据三角形的面积公式求出AC×BD=6,再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知,点C关于直线l的对称点为点B,故BD的长为CP+PD的最小值,得BD=﹣AC+4,由此即可得出结论.
【解答】解:连接BD,
∵AB=BC,点D是BC边的中点,
∴BD⊥AC,
∴S△ABC=AC•BD=×AC×BD=3,
解得AC×BD=6,
∵直线l是线段BC的垂直平分线,
∴点C关于直线l的对称点为点B,
∴AB的长为CP+PD的最小值,
∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+AC=4,
∴BD=﹣AC+4,
∴AC×(﹣AC+4)=6,
解得AC=2或6.
故答案为:2或6.
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
15.(3分)如图,等边△ABC,D为CA延长线上一点,E在BC边上,且AD=CE,连接DE交AB于点F,连接BD,若∠BFE=52.5°,△DBE的面积为4,则DB= 2 .
【分析】过点D作DG∥BC,与BA的延长线交于点G,过点E作EH⊥BD于点H,证明△ADG是等边三角形,再证明△BDG≌△DEC,得DB=DE,进而证明∠BDE=30°,得EH=BD,再根据三角形的面积公式求得BD.
【解答】解:过点D作DG∥BC,与BA的延长线交于点G,过点E作EH⊥BD于点H,如图,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,
∵DG∥BC,
∴∠ADG=∠C=60°=∠ABC=∠AGD,
∵∠DAG=∠BAC=60°,
∴△ADG是等边三角形,
∴AD=AG=DG,
∵AD=CE,
∴AB+AG=AC+AD,
∴BG=CD,
在△BDG和△DEC中,
,
∴△BDG≌△DEC(SAS),
∴∠BDG=∠DEC,BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB,
∵∠BFE=52.5°,∠EBF=60°,
∴∠DEB=∠DBE=180°﹣∠EBF﹣∠BFE=67.5°,
∴∠BDE=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,
∴EH=DE,
∴EH=BD,
∵△DBE的面积为4,
∴BD•EH=4,即BD2=4,
∴BD=2.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,直角三角形的性质,三角形的面积公式,作平行线构造全等三角形是解答本题的关键.
三、解答题:(本大题共75分,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步豫,请将解答书写在对应的位置上)
16.(21分)(1)计算:
①﹣1+|1﹣|﹣2﹣;
②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1);
(2)因式分解:①a3b﹣2a2b2+ab3;
②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2;
(3)先化简,再求值:[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x,其中x=3.y=﹣1.
【分析】(1)①先根据绝对值和立方根进行计算,再算加减即可;
②先根据完全平方公式和平方差公式进行计算,再合并同类项即可;
(2)①先提取公因式,再根据完全平方公式分解因式即可;
②先变形,再提取公因式,再根据平方差公式分解因式即可;
(3)先根据完全平方公式和平方差公式分解因式,再合并同类项,算除法,最后代入求出答案即可.
【解答】解:(1)①﹣1+|1﹣|﹣2﹣
=﹣1+﹣1﹣2﹣2
=﹣6+;
②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1)
=9a2﹣6a+1﹣(9a2﹣1)
=9a2﹣6a+1﹣9a2+1
=﹣6a+2;
(2)①a3b﹣2a2b2+ab3
=ab(a2﹣2ab+b2)
=ab(a﹣b)2;
②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2
=4(m﹣n)a2﹣(m﹣n)b2
=(m﹣n)(4a2﹣b2)
=(m﹣n)(2a+b)(2a﹣b);
(3)[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x
=(9x2﹣6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2)÷2x
=(8x2﹣6xy)÷2x
=4x﹣3y,
当x=3.y=﹣1时,原式=4×3﹣3×(﹣1)=12+3=15.
【点评】本题考查了实数的混合运算,整式的化简求值和分解因式等知识点,能正确根据整式和实数的运算法则进行计算是解(1)(3)的关键,能选择适当的方法分解因式是解(2)的关键.
17.(6分)如图:已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.
【分析】(1)作出∠AOB的平分线,(2)作出CD的中垂线,(3)找到交点P即为所求.
【解答】解:
作CD的中垂线和∠AOB的平分线,两线的交点即为所作的点P.
【点评】解答此题要明确两点:(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)中垂线上的点到两个端点的距离相等.
18.(7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.
【分析】由已知得出AB=ED,由平行线的性质得出∠A=∠E,由AAS证明△ABC≌△EDF,即可得出结论.
【解答】证明:∵AD=BE,
∴AD﹣BD=BE﹣BD,
∴AB=ED,
∵AC∥EF,
∴∠A=∠E,
在△ABC和△EDF中,,
∴△ABC≌△EDF(AAS),
∴BC=DF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握平行线的性质,证明三角形全等是解题的关键.
19.(7分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
【分析】(1)由勾股定理求解即可;
(2)①由题意得:BP=tcm,分两种情况:①当∠APB=90°时,点P与点C重合,则BP=BC=4cm,得t=4;
②当∠BAP=90°时,CP=(t﹣4)cm,在Rt△ACP和Rt△ABP中,由勾股定理得:AP2=AC2+CP2=BP2﹣AB2,即32+(t﹣4)2=t2﹣52,求解即可.
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC===4(cm);
(2)由题意得:BP=tcm,分两种情况:
①当∠APB=90°时,如图1所示:
点P与点C重合,
∴BP=BC=4cm,
∴t=4;
②当∠BAP=90°时,如图2所示:
则CP=(t﹣4)cm,∠ACP=90°,
在Rt△ACP中,由勾股定理得:AP2=AC2+CP2,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:AP2=BP2﹣AB2,
∴AC2+CP2=BP2﹣AB2,
即32+(t﹣4)2=t2﹣52,
解得:t=;
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t的值为4s或s.
【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论;熟练掌握勾股定理,进行分类讨论是解题的关键.
20.(7分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC、AB于点D、E.
(1)求证:△ABC为直角三角形.
(2)求AE的长.
【分析】(1)利用勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形;
(2)根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE,设AE=x,则EC=4﹣x,根据勾股定理可得x2+32=(4﹣x)2,再解即可.
【解答】(1)证明:∵△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,
又∵42+32=52,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形;
(2)证明:连接CE.
∵DE是BC的垂直平分线,
∴EC=EB,
设AE=x,则EC=4﹣x.
∴x2+32=(4﹣x)2.
解之得x=,即AE的长是.
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
21.(8分)在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且AE=DB.
(1)如图1,若点E为AB的中点,求证:ED=EC;
(2)如图2,若点E为AB上任意一点.(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.
【分析】(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°即可解决问题;
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,即可得出结论.
【解答】(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,
∴∠ACB=60°,CE平分∠ACB,CE⊥AB,
∴∠BEC=90°,AE=BE,
∵AE=DB,
∴BD=BE,
∴∠D=∠ECB=30°,
∴ED=EC;
(2)解:当点E为AB上任意一点时,如图2,ED=EC成立,
证明:如图2,过E作EF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵AE=DB,
∴EF=DB,
∵AB﹣AE=AC﹣AF,
∴BE=FC,
在△DEB和△ECF中,
,
∴△DEB≌△ECF(SAS),
∴ED=EC.
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,解题关键是构造全等的三角形.
22.(13分)实践与探索:在数学综合与实践课上,老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动.
(1)将两个三角板较长的直角边靠在一起,拼成了如图1所示的三角形,则△ABC是三角形,理由是 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ;
(2)经过拼摆,发现小组认真观察图1,得到了一个结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30”,那么它所对的直角边等于斜边的一半,并给出了证明的一部分.请将证明过程补充完整.
已知:如图2,△ABD是直角三角形,∠D=90°,∠A=30°.求证:BD=AB,
证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.
∴BD=BC,∠ADC=90°.
(3)实验小组受到了发现小组的启发,将图1中的△ACD以点D为旋转中心,按逆时针旋转α(α<90°),旋转后得到△A′C′D′,如图4所示,AB与A′C'相交于点O,连接OD.
问题一:求证DO平分∠ADA';
问题二:当点A恰好在A'D的垂直平分线上时,则∠AOD= 120 °.
【分析】(1)由全等三角形的性质得AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,再由等边三角形的判定即可得出结论;
(2)延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.证△ABD≌△ACD(SAS),得AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,再证△ABC是等边三角形,得BC=AB,即可得出结论;
(3)问题一:连接AA',证△ADO≌△A'DO(SAS),得∠ADO=∠A'DO,即可得出结论;
问题二:连接AA',由旋转的性质得AD=A'D,再由线段垂直平分线的性质得AA'=AD,则AA'=AD=A'D,得∠ADA'=60°,由问题一可知,∠ADO=∠ADA'=30°,即可解决问题.
【解答】(1)解:由题意得:△ABD≌△ACD,
∴AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,
∴△ABC是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形),
故答案为:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,
(2)证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC,
∴BD=BC,∠ADC=90°,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB,
∴BD=AB;
(3)问题一:证明:如图4,连接AA',
由旋转的性质得:∠OAD=∠OA'D,AD=A'D,
∴∠DAA'=∠DA'A,
∴∠OAA'=∠OA'A,
∴OA=OA',
在△ADO和△A'DO中,
,
∴△ADO≌△A'DO(SAS),
∴∠ADO=∠A'DO,
∴DO平分∠ADA';
问题二:解:如图5,连接AA',
由旋转的性质得:AD=A'D,
∵点A恰好在AD的垂直平分线上,
∴AA'=AD,
∴AA'=AD=A'D,
∴△AA'D是等边三角形,
∴∠ADA'=60°,
由问题一可知,OD平分∠ADA',
∴∠ADO=∠ADA'=30°,
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣30°﹣30°=120°,
故答案为:120.
【点评】本题是几何变换综合题目,考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识,熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
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