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    山西省临汾市洪洞县2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题 (含答案)
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    山西省临汾市洪洞县2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题 (含答案)

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    这是一份山西省临汾市洪洞县2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题 (含答案),共28页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年山西省临汾市洪洞县八年级(上)期末数学试卷
    一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求,请选出并将步母标号填入下表相应位置。每小题3分,共30分)
    1.(3分)16的算术平方根为(  )
    A.±4 B.4 C.2 D.±2
    2.(3分)下列关于﹣的叙述,正确的是(  )
    A.在数轴上不存在表示﹣的点
    B.﹣=
    C.﹣
    D.与﹣最接近的整数是﹣3
    3.(3分)下列运算正确的是(  )
    A.(﹣a3)2=﹣a6 B.a5﹣a3=a2
    C.(﹣3a2)3=﹣27a6 D.(2a4)2÷(2a)2=a4
    4.(3分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则(  )
    A.∠A为直角 B.∠C为直角
    C.∠B为直角 D.不是直角三角形
    5.(3分)某班学生在课外活动参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3:1:1,则在这三个小组构成的扇形统计图中,表示体育小组人数的扇形的圆心角为(  )
    A.108° B.216° C.72° D.36°
    6.(3分)通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是(  )


    A.a(a﹣2b)=a2﹣2ab
    B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b
    C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
    D.(a+b)(a﹣2b)=a2﹣ab﹣2b2
    7.(3分)如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为(  )

    A.2.2 B. C. D.
    8.(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是(  )

    A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
    9.(3分)如图,有一个圆柱,底面圆的周长为16πcm,高BC=12πcm,P为BC的中点,一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为(  )

    A.9πcm B.10πcm C.11πcm D.12πcm
    10.(3分)如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边向外做等边△ABF和等边△ACE,CF和BE交于O点,则下列结论:①CF=BE;②∠COB=120°;③OA平分∠FOE;④OF=OA+OB.其中正确的有(  )

    A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
    二、填空题(每小题3分,共15分)在每小题中,请将正确答案直接填在题后的横线上。
    11.(3分)命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是    .
    12.(3分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为    .
    13.(3分)在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,点D在BC上,AD=15,则BD=   .
    14.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,S△ABC=3cm2,边BC的垂直平分线为1,点D是边AC的中点,点P是1上的动点,当△PCD的周长取最小值4时,则AC=   .

    15.(3分)如图,等边△ABC,D为CA延长线上一点,E在BC边上,且AD=CE,连接DE交AB于点F,连接BD,若∠BFE=52.5°,△DBE的面积为4,则DB=   .

    三、解答题:(本大题共75分,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步豫,请将解答书写在对应的位置上)
    16.(21分)(1)计算:
    ①﹣1+|1﹣|﹣2﹣;
    ②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1);
    (2)因式分解:①a3b﹣2a2b2+ab3;
    ②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2;
    (3)先化简,再求值:[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x,其中x=3.y=﹣1.
    17.(6分)如图:已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.

    18.(7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.

    19.(7分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
    (1)求BC边的长;
    (2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.

    20.(7分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC、AB于点D、E.
    (1)求证:△ABC为直角三角形.
    (2)求AE的长.

    21.(8分)在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且AE=DB.
    (1)如图1,若点E为AB的中点,求证:ED=EC;
    (2)如图2,若点E为AB上任意一点.(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

    22.(13分)实践与探索:在数学综合与实践课上,老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动.

    (1)将两个三角板较长的直角边靠在一起,拼成了如图1所示的三角形,则△ABC是三角形,理由是    ;
    (2)经过拼摆,发现小组认真观察图1,得到了一个结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30”,那么它所对的直角边等于斜边的一半,并给出了证明的一部分.请将证明过程补充完整.
    已知:如图2,△ABD是直角三角形,∠D=90°,∠A=30°.求证:BD=AB,
    证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.
    ∴BD=BC,∠ADC=90°.
    (3)实验小组受到了发现小组的启发,将图1中的△ACD以点D为旋转中心,按逆时针旋转α(α<90°),旋转后得到△A′C′D′,如图4所示,AB与A′C'相交于点O,连接OD.
    问题一:求证DO平分∠ADA';
    问题二:当点A恰好在A'D的垂直平分线上时,则∠AOD=   °.


    2021-2022学年山西省临汾市洪洞县八年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求,请选出并将步母标号填入下表相应位置。每小题3分,共30分)
    1.(3分)16的算术平方根为(  )
    A.±4 B.4 C.2 D.±2
    【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.
    【解答】解:∵42=16,
    ∴=4.
    故选:B.
    【点评】此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根.
    2.(3分)下列关于﹣的叙述,正确的是(  )
    A.在数轴上不存在表示﹣的点
    B.﹣=
    C.﹣
    D.与﹣最接近的整数是﹣3
    【分析】根据实数与数轴,以及的值的范围,逐一判断即可解答.
    【解答】解:A、在数轴上存在表示﹣的点,故A不符合题意;
    B、﹣≠﹣,故B不符合题意;
    C、﹣=﹣2,故C不符合题意;
    D、∵4<8<9,
    ∴2<<3,
    ∵2.52=6.25,
    ∴2.5<<3,
    ∴﹣3<﹣<﹣2.5,
    ∴与﹣最接近的整数是﹣3,
    故D符合题意;
    故选:D.
    【点评】本题考查了无理数的估算,实数与数轴,熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键.
    3.(3分)下列运算正确的是(  )
    A.(﹣a3)2=﹣a6 B.a5﹣a3=a2
    C.(﹣3a2)3=﹣27a6 D.(2a4)2÷(2a)2=a4
    【分析】根据幂的乘方法则,同底数幂的除法法则,积的乘方法则,单项式除以单项式法则进行判断便可.
    【解答】解:A.原式=a3×2=a6,选项错误,不符合题意;
    B.不是同底数幂的除法,不能用同底数幂除法法则计算,选项错误,不符合题意;
    C.原式=(﹣3)3a2×3=﹣27a6,选项正确,符合题意;
    D.原式=a6,选项错误,不符合题意;
    故选:C.
    【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则,幂的乘方法则,单项式除法法则,熟记这些法则是解题的关键.
    4.(3分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则(  )
    A.∠A为直角 B.∠C为直角
    C.∠B为直角 D.不是直角三角形
    【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式,再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状,进而可得出结论.
    【解答】解:∵(a+b)(a﹣b)=c2,
    ∴a2﹣b2=c2,即c2+b2=a2,故此三角形是直角三角形,a为直角三角形的斜边,
    ∴∠A为直角.
    故选:A.
    【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
    5.(3分)某班学生在课外活动参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3:1:1,则在这三个小组构成的扇形统计图中,表示体育小组人数的扇形的圆心角为(  )
    A.108° B.216° C.72° D.36°
    【分析】先求出体育小组所占的比例,再乘以360°,即可得出答案.
    【解答】解:参加体育小组的人数占总人数的=20%,
    则扇形圆心角是360°×20%=72°.
    故选:C.
    【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
    6.(3分)通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是(  )


    A.a(a﹣2b)=a2﹣2ab
    B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b
    C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
    D.(a+b)(a﹣2b)=a2﹣ab﹣2b2
    【分析】要求阴影部分面积,若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算,若规则图形可以直接利用公式进行求解.
    【解答】解:图1中,阴影部分是不规则图形,
    ∴阴影部分的面积=a2﹣ab﹣2b2,
    图2中,阴影部分是长方形,
    ∴阴影部分的面积=(a+b)(a﹣2b),
    ∴a2﹣ab﹣2b2=(a+b)(a﹣2b),
    故选:D.
    【点评】本题考查整式运算,正确列出表示阴影部分面积的式子是解题关键.
    7.(3分)如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为(  )

    A.2.2 B. C. D.
    【分析】直接利用勾股定理进而得出点D表示的数.
    【解答】解:∵AB=1,BC=2,BC⊥AB,
    ∴AC=AD==,
    ∴点D表示的数为:.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了勾股定理,正确应用勾股定理是解题关键.
    8.(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是(  )

    A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
    【分析】由作图过程可得MO=NO,NC=MC,再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC.
    【解答】解:∵在△ONC和△OMC中,
    ∴△MOC≌△NOC(SSS),
    ∴∠BOC=∠AOC,
    故选:A.
    【点评】此题主要考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
    9.(3分)如图,有一个圆柱,底面圆的周长为16πcm,高BC=12πcm,P为BC的中点,一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为(  )

    A.9πcm B.10πcm C.11πcm D.12πcm
    【分析】先把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短求解.
    【解答】解:把圆柱的侧面展开如图:

    则:AB=8πcm,BP=6πcm,
    在Rt△ABP中,AP==10πcm,
    故选:B.
    【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,勾股定理的应用是解题的关键.
    10.(3分)如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边向外做等边△ABF和等边△ACE,CF和BE交于O点,则下列结论:①CF=BE;②∠COB=120°;③OA平分∠FOE;④OF=OA+OB.其中正确的有(  )

    A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
    【分析】证明△ABE≌△AFC,由全等三角形的性质得到BE=CF,可得∠AEB=∠ACF,则∠CON=∠CAE=60°=∠MOB,得出∠BOC=180°﹣∠CON=120°;S△ABE=S△AFC,得到AP=AQ,利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF,在OF上截取OD=OB,根据SAS可证明△FBD≌△ABO,得出DF=OA,由此可以解决问题.
    【解答】解:∵ABF和△ACE都是等边三角形,
    即∠FAC=∠BAE,
    在△ABE与△AFC中,

    ∴△ABE≌△AFC(SAS),
    ∴BE=FC,∠AEB=∠ACF,故①正确,
    ∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°,∠CON+∠CNO+∠ACF=180°,∠ANE=∠CNO,
    ∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB,
    ∴∠BOC=180°﹣∠CON=120°,故②正确,
    连接AO,过A分别作AP⊥CF与P,AM⊥BE于Q,如图1,

    ∵△ABE≌△AFC,
    ∴S△ABE=S△AFC,
    ∴•CF•AP=•BE•AQ,而CF=BE,
    ∴AP=AQ,
    ∴OA平分∠FOE,所以③正确,
    在OF上截取OD=OB,

    ∵∠BOF=60°,
    ∴△OBD是等边三角形,
    ∴BD=BO,∠DBO=60°,
    ∴∠FBD=∠ABO,
    ∵BF=AB,
    ∴△FBD≌△ABO(SAS),
    ∴DF=OA,
    ∴OF=DF+OD=OA+OB;
    故④正确;
    故选:D.
    【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识,利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键,属于中考常考题型.
    二、填空题(每小题3分,共15分)在每小题中,请将正确答案直接填在题后的横线上。
    11.(3分)命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是  两个角相等三角形是等腰三角形 .
    【分析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题.
    【解答】解:因为原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
    所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”.
    【点评】根据逆命题的概念来回答:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.
    12.(3分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为  5 .
    【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可.
    【解答】解:根据题意得,a﹣1=0,b﹣2=0,
    解得a=1,b=2,
    ①若a=1是腰长,则底边为2,三角形的三边分别为1、1、2,
    ∵1+1=2,
    ∴不能组成三角形,
    ②若a=2是腰长,则底边为1,三角形的三边分别为2、2、1,
    能组成三角形,
    周长=2+2+1=5.
    故答案为:5.
    【点评】本题考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,难点在于要讨论求解.
    13.(3分)在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,点D在BC上,AD=15,则BD= 7或25 .
    【分析】过点A作AE⊥BC于点E,根据勾股定理求出DE的长,然后分两种情况:①当点D在线段CE上时,②当点D在线段CE上时,分别求出结果即可.
    【解答】解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,

    ∵AB=AC=20,BC=32,
    ∴BE=CE=,
    在Rt△ABE中,由勾股定理得,
    AE==12,
    在Rt△ADE中,由勾股定理得,
    DE==9,
    当点D在线段BE上时,
    BD=BE﹣DE=16﹣9=7,
    当点D在线段CE上时,如图,

    BD=BE+DE=16+9=25,
    综上所述,BD=7或25,
    故答案为7或25.
    【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,正确作出辅助线根据勾股定理求解是解题的关键.
    14.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,S△ABC=3cm2,边BC的垂直平分线为1,点D是边AC的中点,点P是1上的动点,当△PCD的周长取最小值4时,则AC= 2或6 .

    【分析】连接BD,由于AB=BC,点D是AC边的中点,故BD⊥AC,再根据三角形的面积公式求出AC×BD=6,再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知,点C关于直线l的对称点为点B,故BD的长为CP+PD的最小值,得BD=﹣AC+4,由此即可得出结论.
    【解答】解:连接BD,

    ∵AB=BC,点D是BC边的中点,
    ∴BD⊥AC,
    ∴S△ABC=AC•BD=×AC×BD=3,
    解得AC×BD=6,
    ∵直线l是线段BC的垂直平分线,
    ∴点C关于直线l的对称点为点B,
    ∴AB的长为CP+PD的最小值,
    ∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+AC=4,
    ∴BD=﹣AC+4,
    ∴AC×(﹣AC+4)=6,
    解得AC=2或6.
    故答案为:2或6.
    【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
    15.(3分)如图,等边△ABC,D为CA延长线上一点,E在BC边上,且AD=CE,连接DE交AB于点F,连接BD,若∠BFE=52.5°,△DBE的面积为4,则DB= 2 .

    【分析】过点D作DG∥BC,与BA的延长线交于点G,过点E作EH⊥BD于点H,证明△ADG是等边三角形,再证明△BDG≌△DEC,得DB=DE,进而证明∠BDE=30°,得EH=BD,再根据三角形的面积公式求得BD.
    【解答】解:过点D作DG∥BC,与BA的延长线交于点G,过点E作EH⊥BD于点H,如图,

    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,
    ∵DG∥BC,
    ∴∠ADG=∠C=60°=∠ABC=∠AGD,
    ∵∠DAG=∠BAC=60°,
    ∴△ADG是等边三角形,
    ∴AD=AG=DG,
    ∵AD=CE,
    ∴AB+AG=AC+AD,
    ∴BG=CD,
    在△BDG和△DEC中,

    ∴△BDG≌△DEC(SAS),
    ∴∠BDG=∠DEC,BD=DE,
    ∴∠DBE=∠DEB,
    ∵∠BFE=52.5°,∠EBF=60°,
    ∴∠DEB=∠DBE=180°﹣∠EBF﹣∠BFE=67.5°,
    ∴∠BDE=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,
    ∴EH=DE,
    ∴EH=BD,
    ∵△DBE的面积为4,
    ∴BD•EH=4,即BD2=4,
    ∴BD=2.
    故答案为:2.
    【点评】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,直角三角形的性质,三角形的面积公式,作平行线构造全等三角形是解答本题的关键.
    三、解答题:(本大题共75分,解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步豫,请将解答书写在对应的位置上)
    16.(21分)(1)计算:
    ①﹣1+|1﹣|﹣2﹣;
    ②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1);
    (2)因式分解:①a3b﹣2a2b2+ab3;
    ②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2;
    (3)先化简,再求值:[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x,其中x=3.y=﹣1.
    【分析】(1)①先根据绝对值和立方根进行计算,再算加减即可;
    ②先根据完全平方公式和平方差公式进行计算,再合并同类项即可;
    (2)①先提取公因式,再根据完全平方公式分解因式即可;
    ②先变形,再提取公因式,再根据平方差公式分解因式即可;
    (3)先根据完全平方公式和平方差公式分解因式,再合并同类项,算除法,最后代入求出答案即可.
    【解答】解:(1)①﹣1+|1﹣|﹣2﹣
    =﹣1+﹣1﹣2﹣2
    =﹣6+;

    ②(3a﹣1)2﹣(3a﹣1)(3a+1)
    =9a2﹣6a+1﹣(9a2﹣1)
    =9a2﹣6a+1﹣9a2+1
    =﹣6a+2;

    (2)①a3b﹣2a2b2+ab3
    =ab(a2﹣2ab+b2)
    =ab(a﹣b)2;

    ②4(m﹣n)a2+(n﹣m)b2
    =4(m﹣n)a2﹣(m﹣n)b2
    =(m﹣n)(4a2﹣b2)
    =(m﹣n)(2a+b)(2a﹣b);

    (3)[(3x﹣y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣2y2]÷2x
    =(9x2﹣6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2)÷2x
    =(8x2﹣6xy)÷2x
    =4x﹣3y,
    当x=3.y=﹣1时,原式=4×3﹣3×(﹣1)=12+3=15.
    【点评】本题考查了实数的混合运算,整式的化简求值和分解因式等知识点,能正确根据整式和实数的运算法则进行计算是解(1)(3)的关键,能选择适当的方法分解因式是解(2)的关键.
    17.(6分)如图:已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.

    【分析】(1)作出∠AOB的平分线,(2)作出CD的中垂线,(3)找到交点P即为所求.
    【解答】解:

    作CD的中垂线和∠AOB的平分线,两线的交点即为所作的点P.
    【点评】解答此题要明确两点:(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)中垂线上的点到两个端点的距离相等.
    18.(7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.

    【分析】由已知得出AB=ED,由平行线的性质得出∠A=∠E,由AAS证明△ABC≌△EDF,即可得出结论.
    【解答】证明:∵AD=BE,
    ∴AD﹣BD=BE﹣BD,
    ∴AB=ED,
    ∵AC∥EF,
    ∴∠A=∠E,
    在△ABC和△EDF中,,
    ∴△ABC≌△EDF(AAS),
    ∴BC=DF.
    【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握平行线的性质,证明三角形全等是解题的关键.
    19.(7分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
    (1)求BC边的长;
    (2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.

    【分析】(1)由勾股定理求解即可;
    (2)①由题意得:BP=tcm,分两种情况:①当∠APB=90°时,点P与点C重合,则BP=BC=4cm,得t=4;
    ②当∠BAP=90°时,CP=(t﹣4)cm,在Rt△ACP和Rt△ABP中,由勾股定理得:AP2=AC2+CP2=BP2﹣AB2,即32+(t﹣4)2=t2﹣52,求解即可.
    【解答】解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC===4(cm);
    (2)由题意得:BP=tcm,分两种情况:
    ①当∠APB=90°时,如图1所示:
    点P与点C重合,
    ∴BP=BC=4cm,
    ∴t=4;
    ②当∠BAP=90°时,如图2所示:
    则CP=(t﹣4)cm,∠ACP=90°,
    在Rt△ACP中,由勾股定理得:AP2=AC2+CP2,
    在Rt△ABP中,由勾股定理得:AP2=BP2﹣AB2,
    ∴AC2+CP2=BP2﹣AB2,
    即32+(t﹣4)2=t2﹣52,
    解得:t=;
    综上所述,当△ABP为直角三角形时,t的值为4s或s.


    【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论;熟练掌握勾股定理,进行分类讨论是解题的关键.
    20.(7分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC、AB于点D、E.
    (1)求证:△ABC为直角三角形.
    (2)求AE的长.

    【分析】(1)利用勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形;
    (2)根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE,设AE=x,则EC=4﹣x,根据勾股定理可得x2+32=(4﹣x)2,再解即可.
    【解答】(1)证明:∵△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,
    又∵42+32=52,
    即AB2+AC2=BC2,
    ∴△ABC是直角三角形;

    (2)证明:连接CE.
    ∵DE是BC的垂直平分线,
    ∴EC=EB,
    设AE=x,则EC=4﹣x.
    ∴x2+32=(4﹣x)2.
    解之得x=,即AE的长是.

    【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
    21.(8分)在等边△ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且AE=DB.
    (1)如图1,若点E为AB的中点,求证:ED=EC;
    (2)如图2,若点E为AB上任意一点.(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

    【分析】(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°即可解决问题;
    (2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,即可得出结论.
    【解答】(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,
    ∴∠ACB=60°,CE平分∠ACB,CE⊥AB,
    ∴∠BEC=90°,AE=BE,
    ∵AE=DB,
    ∴BD=BE,
    ∴∠D=∠ECB=30°,
    ∴ED=EC;
    (2)解:当点E为AB上任意一点时,如图2,ED=EC成立,
    证明:如图2,过E作EF∥BC交AC于F,

    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
    ∵EF∥BC,
    ∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
    ∴△AEF是等边三角形,
    ∴AE=EF=AF,
    ∵AE=DB,
    ∴EF=DB,
    ∵AB﹣AE=AC﹣AF,
    ∴BE=FC,
    在△DEB和△ECF中,

    ∴△DEB≌△ECF(SAS),
    ∴ED=EC.
    【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,解题关键是构造全等的三角形.
    22.(13分)实践与探索:在数学综合与实践课上,老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动.

    (1)将两个三角板较长的直角边靠在一起,拼成了如图1所示的三角形,则△ABC是三角形,理由是  有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ;
    (2)经过拼摆,发现小组认真观察图1,得到了一个结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30”,那么它所对的直角边等于斜边的一半,并给出了证明的一部分.请将证明过程补充完整.
    已知:如图2,△ABD是直角三角形,∠D=90°,∠A=30°.求证:BD=AB,
    证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.
    ∴BD=BC,∠ADC=90°.
    (3)实验小组受到了发现小组的启发,将图1中的△ACD以点D为旋转中心,按逆时针旋转α(α<90°),旋转后得到△A′C′D′,如图4所示,AB与A′C'相交于点O,连接OD.
    问题一:求证DO平分∠ADA';
    问题二:当点A恰好在A'D的垂直平分线上时,则∠AOD= 120 °.

    【分析】(1)由全等三角形的性质得AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,再由等边三角形的判定即可得出结论;
    (2)延长BD至点C,使CD=BD,连接AC.证△ABD≌△ACD(SAS),得AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,再证△ABC是等边三角形,得BC=AB,即可得出结论;
    (3)问题一:连接AA',证△ADO≌△A'DO(SAS),得∠ADO=∠A'DO,即可得出结论;
    问题二:连接AA',由旋转的性质得AD=A'D,再由线段垂直平分线的性质得AA'=AD,则AA'=AD=A'D,得∠ADA'=60°,由问题一可知,∠ADO=∠ADA'=30°,即可解决问题.
    【解答】(1)解:由题意得:△ABD≌△ACD,
    ∴AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,
    ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°,
    ∴△ABC是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形),
    故答案为:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,
    (2)证明:如图3,延长BD至点C,使CD=BD,连接AC,
    ∴BD=BC,∠ADC=90°,
    在△ABD和△ACD中,

    ∴△ABD≌△ACD(SAS),
    ∴AB=AC,∠BAD=∠CAD=30°,
    ∴∠BAC=60°,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴BC=AB,
    ∴BD=AB;
    (3)问题一:证明:如图4,连接AA',
    由旋转的性质得:∠OAD=∠OA'D,AD=A'D,
    ∴∠DAA'=∠DA'A,
    ∴∠OAA'=∠OA'A,
    ∴OA=OA',
    在△ADO和△A'DO中,

    ∴△ADO≌△A'DO(SAS),
    ∴∠ADO=∠A'DO,
    ∴DO平分∠ADA';
    问题二:解:如图5,连接AA',
    由旋转的性质得:AD=A'D,
    ∵点A恰好在AD的垂直平分线上,
    ∴AA'=AD,
    ∴AA'=AD=A'D,
    ∴△AA'D是等边三角形,
    ∴∠ADA'=60°,
    由问题一可知,OD平分∠ADA',
    ∴∠ADO=∠ADA'=30°,
    ∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣30°﹣30°=120°,
    故答案为:120.



    【点评】本题是几何变换综合题目,考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识,熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.

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