（3）函数——2022年中考数学真题专项汇编

（3）函数——2022年中考数学真题专项汇编

1.【2022年北京】下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是(   )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

2.【2022年天津】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(   )

A. B. C. D.

3.【2022年安徽】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是(   )

A. B. C. D.

4.【2022年陕西A】已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，.当，，时，，，三者之间的大小关系是(   )

A. B. C. D.

5.【2022年山东青岛】已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是(   )

A. B. C. D.

6.【2022年天津】已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：

①；

②当时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的个数是(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

7.【2022年安徽】如图，的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B.若，则_________.

8.【2022年北京】在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）

9.【2022年天津】在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2 km，超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min到阅览室；在阅览室停留70 min后，匀速步行了10 min到超市；在超市停留20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km与离开学生公寓的时间x min之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①阅览室到超市的距离为___________km；

②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________km/min；

③当小琪离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为___________min.

（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式.

10.【2022年北京】在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点A.

（1）求该函数的解析式及点A的坐标；

（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围.

11.【2022年山东青岛】如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，.

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知点满足，求a的值.

12.【2022年重庆A】已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，.

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；

（3）若点C是点关于y轴的对称点，连接AC，BC，求的面积.

13.【2022年天津】已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B.

（Ⅰ）若，，

①求点P的坐标；

②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标.

（Ⅱ）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标.

14.【2022年重庆A】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

15.【2022年安徽】如图（1），隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.是抛物线的顶点.

（1）求此抛物线对应的函数表达式.

（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图（2）、图（3）中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和，请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图（2），点，在抛物线AED上.设点的横坐标为m（），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值.

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图（3）所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）.

答案以及解析

1.答案：A

解析：①②中，y与x之间是一次函数关系，当时，，且y随x的增大而减小，故①②中y与x的函数关系可以用题图所示的图象表示；③中，设绳子的长度为a，则，故y与x之间的函数关系图象是抛物线的一部分.故选A.

2.答案：B

解析：方法一：反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故，即.

方法二：对于，，，，，，，.

3.答案：D

解析：由两个函数的解析式可知，当时，两个函数对应的y值都是，即直线与均过点，故可排除选项A和选项C.若，则一次函数与均满足y随x的增大而增大；若，则对于一次函数，y随x的增大而减小，且图象与y轴交于正半轴，对于一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴交于负半轴，故选项D符合.故选D.

4.答案：B

解析：抛物线的开口向上，对称轴为直线，则抛物线上的点到直线的距离越大，其纵坐标越大.已知，，，则，故.

5.答案：D

解析：选项A：抛物线开口向下，.对称轴为直线，...故选项A错误；选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为，则抛物线的对称轴可表示为，，解得，抛物线与x轴的两个交点为和.又抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴..故选项B错误.选项C：抛物线过点..故选项C错误；选项D：，且，.故选项D正确.故选：D.

6.答案：C

解析：抛物线经过点，，.，，，故结论①正确.，故抛物线开口向上，由①可知，，当时，y随x的增大而减小，故结论②错误.，，.对于关于x的方程，，故该方程有两个不相等的实数根，即结论③正确.故选C.

7.答案：3

解析：分别过点C，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E.，.由反比例函数中的几何意义可知.四边形OABC是平行四边形，，，，.又，，.方法一：连接OB，如图，则，.方法二：设，则，.

8.答案：>

解析：，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小.又，.

9.答案：（Ⅰ）0.8，1.2，2

（Ⅱ）①0.8

②0.25

③10或116

（Ⅲ）当时，；

当时，；

当时，.

解析：（Ⅱ）①0.8

②（km/min）

③当时，设y关于x的解析式为，
由可知.当时，.
当时，设y关于x的解析式为，
由，可知.当时，.
故他离开学生公寓的时间为10 min或116 min.

10.答案：（1），

（2）

解析：（1）把，分别代入，
得解得
该函数的解析式为.
对于，当时，，
.

（2）.

解法提示：函数的图象如图所示，易知当直线与y轴的交点与点A重合或在点A上方时符合题意，故.
 

11.答案：（1）

（2）或

解析：解：（1）点在反比例函数的图象上，

轴

，

点，在一次函数的图象上

解得

一次函数的表达式为.

（2）在中，由勾股定理得，

当点E在点C的左侧时，

当点E在点C的右侧时，

a的值为或.

12.答案：（1）一次函数的表达式是，一次函数的图象见解析

（2）或

（3）12

解析：（1）把，分别代入中，

得，，

解得，，

点，，

将，分别代入，
得解得

一次函数的表达式为.

一次函数的图象如图所示.

（2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，

不等式的解集为或；

（3）点C是点关于y轴的对称点，

点，
.
过点A作于点H，如图.

，
，
.

13.答案：（Ⅰ）①

②点M的坐标为，点G的坐标为

（Ⅱ），

解析：（Ⅰ）①抛物线与x轴相交于点，

.又，，得，

抛物线的解析式为.

，

点P的坐标为.

②当时，由，

解得，.

点B的坐标为.

设经过B，P两点的直线的解析式为，

有解得

直线BP的解析式为.

直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，

点M的坐标为，点G的坐标为，

，

当时，MG有最大值1.

此时，点M的坐标为，点G的坐标为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，

，.

抛物线的解析式为.

，

顶点P的坐标为.

直线与抛物线相交于点N，

点N的坐标为.

作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，

得点的坐标为，点的坐标为.

当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，

此时，.

延长与直线相交于点H，则.

在中，，，

，

解得，（舍），

点的坐标为，点的坐标为.

可得直线的解析式为，

点和点即为所求.

14.答案：（1）

（2）取得最大值是，此时点P的坐标为

（3），，

解析：（1）把，分别代入中，
得解得
故该抛物线的函数表达式为.

（2）如图，记PD交直线AB于点H.

易得是等腰直角三角形，即，
.
，，
直线AB的函数表达式为.
设，则，，
.
，
当时，取得最大值，最大值是，此时点P的坐标为.
（3）满足条件的点N的坐标有，，.
由题意，得平移后的抛物线的函数表达式为，，
平移后的抛物线的对称轴为直线，.
设.
①若四边形是以MF为对角线，则当EN与MF互相平分时，四边形MNFE为平行四边形，
，
，
.
②若四边形是以ME为对角线，则当FN与ME互相平分时，四边形MFEN为平行四边形，
，
，
.

③若四边形是以EF为对角线，则当MN与EF互相平分时，四边形MFNE为平行四边形，
，
，
.

15.答案：（1）

（2）（ⅰ）栅栏总长l与m之间的函数表达式为，l的最大值为26

（ⅱ）见解析

解析：（1）由题意可知.
设，将，分别代入，
得解得
故此抛物线对应的函数表达式为.

（2）（ⅰ）由题意得，
将代入，得，
，
，，
，，
，
，，
当时，l的值最大，最大值为26.
综上，栅栏总长l与m之间的函数表达式为，l的最大值为26.

（ⅱ）方案一：设，
则，
.
，
当时，的值最大，最大值为27.
将代入，
解得，，
横坐标的最小值为，横坐标的最大值为.
当时，，
横坐标的最小值为，
横坐标的取值范围为.
方案二：设，则，
.
，
当时，的值最大，最大值为，
此时.
把代入，解得，，
横坐标的最小值为，横坐标的最大值为.
当时，，
当的横坐标为时，的横坐标取最小值，为，
的横坐标的取值范围是.