专题11四点共圆模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版+解析）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题11四点共圆模型

模型1：定点定长共圆模型

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．

模型2：对角互补共圆模型

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

模型3：定弦定角共圆模型

若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【例1】．（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：

(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?

(2)如图2，在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．

【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，的顶点O重合，且，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）

（2）连接，若分别是四边形的四个内角的平分线.

①如图②，如果，那么的度数为_______；（直接写出结果）

②如图③，若，与平行吗？为什么？

【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；

迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．

①求证：；

②请直接写出线段之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．

①证明是等边三角形；

②若，求的长．

【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形．

（1）求美角的度数；

（2）如图1，若的半径为5，求的长；

（3）如图2，若平分，求证：．

一、解答题

1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H．

(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；

(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；

(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，，，请直接写出HG的长．

2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．

(1)求证：；

(2)联结，如果，求的正切值；

(3)联结，如果，求的值．

3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．

（1）如图1，当、、三点共线时，连接，若，求的长；

（2）如图2，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、交于点．若，请直接写出的值．

4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．

5．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．

（1）求证：BE＝CD；

（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明）

（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．

6．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；

【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；

【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．

7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．

（1）用等式表示线段与的数量关系：______；

（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．

①在图2中，依据题意补全图形；

②用等式表示线段与的数量关系并证明．

8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．

（1）如图1，正方形中，，且，求证：；

（2）如图2，正方形中，，延长交的延长线于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连结，求证：．

9．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点．

（1）如图，当点在边上时，联结．

①求证：；

②若，求的长；

（2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长．

10．（2022·全国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．

①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；

②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．

（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．

11．（2022·全国·九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；

（3）若点，，三点共线，且，求的长．

12．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．

（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；

（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；

（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．

13．（2021·重庆一中九年级阶段练习）如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．

（1）如图1，若，，求的长；

（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；

（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．

14．（2021·福建省福州外国语学校三模）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P．

（1）如图1，当时，连接．

①求的面积；

②求的值；

（2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线．

15．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．

（1）如图1，求点A的横坐标；

（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

16．（2021·全国·九年级课时练习）在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．

（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？

（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；

（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．

17．（2021·江苏苏州·二模）如图（1），已知矩形中，，点E为对角线上的动点．连接，过E作的垂线交于点F．

（1）探索与的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），过F作垂线交于点G，交于点H，连接．若点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，设E的运动时间为．

①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

②t为何值时，是等腰三角形；

③当时，求的面积．

18．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．

（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；

（2）分别求△ABC和△ABD的面积；

（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．

19．（2021·江苏南京·二模）如图①，是外一点，与相切于点，的延长线交于点，过点作，交于点，连接，并延长交于点，连接．已知，的半径为3．

（1）求证：是的切线；

（2）求的长；

（3）如图②，若点是上一点，且，过作，交弧于点，连接，交于点，连接，则的长度是______．

20．（2020·浙江温州·九年级期中）如图，在中，，过点B作于点E，过B，D，E三点的圆分别交边，，于点F，M，N，连结，，连结交于点P．

（1）求证：．

（2）当是等腰三角形时，求的长．

（3）连结，，当平分时，求与面积的比值．

21．（2020·湖南·郴州市第九中学九年级阶段练习）如图，边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，与交于点，其延长线与（或延长线）交于点．

（1）连接，证明：；

（2）设，，试写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）试问当点运动到何处时，的值最小，并求出此时的长．（画出图形，直接写出答案即可）

22．（2021·全国·九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．

（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；

（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．

23．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过上一点作两条弦、，且，（、都不经过）过作的垂线，交于，直线，交于点，直线，交于点.

（1）请在图1中，按要求补全图形；

（2）在图2中探索线段和的数量关系，并证明你的结论；

（3）探索线段、、的数量关系，并直接写出你的结论________.

24．（2020·湖北·武汉二中广雅中学二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．

（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；

（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．

①若AP＝2，求△APC的面积；

②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．