压轴题02反比例函数大题提升训练（八大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题02反比例函数大题提升训练（八大类型）

类型一、反比例函数的性质
例1．（2023•黔江区一模）设函数y1=kx，y2=-kx（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？





类型二、反比例函数的图象问题
例2．（2023春•北湖区校级月考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数y=6|x|-|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　，b＝　 　．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．

（2）探究函数性质
①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而 　 　；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于 　 　对称；
（3）运用函数图象及性质
①点A（﹣7，y1），B（-52，y2），C（72，y3）在函数图象上，请比较y1，y2，y3的大小（ 　 　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
②点D（x1，52），E（x2，6）在函数图象上，请比较x1，x2的大小（ 　 　）
A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不确定
③写出方程6|x|-|x|=5的解 　 　；
④写出不等式6|x|-|x|≤1的解集 　 　．
类型三、反比例函数与一次函数
例3．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y=k1x和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x＞k2x的解集．








类型四、反比例函数的面积问题
例4．（2023•立山区校级一模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC
⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）当E的坐标为（﹣2，0）时，求点B的坐标；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．



类型五、反比例函数的应用
例5．（2023•乳山市模拟）为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．



类型六、反比例函数与几何问题
例6．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n-3x的图象相交于A、P两点．
（1）求m、n的值；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．

类型七、反比例函数与压轴问题
例7．（2023春•吴江区期中）如图，四边形AOBC是菱形，点B在x的正半轴上，直线AB交y轴于点D轴交y轴于点E，反比例函数y=-12x(x＜0)的图象经过点A（m，4）．

（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当PO最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A﹣C﹣B运动，到达B点时停止，设点
N的运动时间为t秒，△NDC的面积为S，求S与t的函数关系式．






类型八、反比例函数与存在性问题
例8．（2023•香洲区校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=-12x（x＞0）经过点A（a，﹣3），反比例函数y=kx（k＞0，x＜0）经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
（1）求直线BC的表达式；
（2）连接OD，求△AOD的面积；
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=-12x（x＞0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．




一．解答题（共24小题）
1．（2021•温州模拟）如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M（3，0），△AOM的面积为3，BC∥AM交OA于点C，连结OB．
（1）求出k的值和直线OA的函数解析式．
（2）当点B的横坐标为2时，求△OBC的面积．





2．（2023•龙港市一模）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．










3．（2023•瑞安市模拟）如图，直线y＝2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）若点P在反比例函数图象上，且在直线AB的下方（不与点A，B重合），求点P横坐标的取值范围．

4．（2023•南明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝2x+b与反比例函数y2=mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．

5．（2023•花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点A（a，4），与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，且位于点A的右侧．从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标．
条件①：PA＝PD；
条件②：△ABD面积是△PBD面积的2倍．
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．


6．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接分别写出当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数y＝k1x+b和反比例函数y=k2x的取值范围；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A'BC面积．





7．（2023•浚县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数y=kx(k＞0)的函数图象上？说明理由．








8．（2023•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形ABOC的面积为1003时，求此时点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2023•张家口二模）如图，在一段长为660km的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为60km/h，最高为110km/h．
（1）直接填空：
①当行驶速度为100km/h，需要 　 　h走完这段路；
②行驶完这段路恰好用了8.8h，行驶速度是 　 　km/h．
（2）请根据以上背景，自己设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把“660km”这个数据用上，并写出自变量取值范围．
（3）自己先提出一个问题，然后自己再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．




10．（2023•金牛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
（3）将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF（其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．




11．（2023•崂山区一模）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数y=kx(k≠0) 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．








12．（2023•城关区一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（1，3），B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝x+b的表达式；
（2）若点P（t，0）是x轴负半轴上一点，过点P作PQ⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点Q，连接CP，OQ．当S四边形COQP=52时，求点P的坐标．



13．（2023•拱墅区模拟）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(a，b，k是常数，a≠0，k≠0）的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）直接写出当y2＞y1时x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？





14．（2023•寻乌县一模）如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求一次函数和双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∽△CQH时，求点Q的坐标．

15．（2023•京口区模拟）平面直角坐标系中，反比例函数y=3kx（k≠0）的图象与一次函数y＝kx﹣2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当k＝2时，过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝kx﹣2k、反比例函数y=3kx的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函数y＝kx﹣2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．



16．（2023•镇平县模拟）如图，点A在反比例函数y=kx(x＜0) 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠OAB的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长AB到D，使AD＝AO，连接DC并延长交y轴于点E．求证：DE⊥OA．


17．（2023•香洲区校级一模）如图，点A（m，3）为函数y=9x(x＞0)图象上一点，连接OA，点B在线段OA上，且OA：OB＝3，C是x轴的正半轴上一点，连接AC，S△ABC＝6．
（1）求点B的坐标；
（2）若M是线段AC上一点，且∠AOM＝15°，求△OCM的面积．

18．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y=2x，x≥12|x|，x＜1的图象与性质．
列表：
x
…
﹣1
-12
0
12
1
32
2
…
y
…
2
1
0
1
2
43
1
…
描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：
（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，则y1　 　y2，x1　 　
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为 　 　；
（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；

（4）当方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三个不同的解时，则b的取值范围为 　 　．
19．（2021•樊城区一模）小云同学根据函数的学习经验，对函数y=ax(x≤-1)-13x+b(x＞-1)进行探究，已知函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
　 　
　 　
3
1
…
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：　 　；
①当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝﹣1轴对称；
④当x＝﹣1时，函数值y取得最大值．
（4）过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y有两个交点，则m的取值范围是 　 　．



20．（2023•越秀区一模）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．
条件①四边形OCED的面积为2；
条件②BE＝2AE．








21．（2023•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x＞0)经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②点N是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点N的坐标．
​

22．（2023•信阳模拟）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2=mx（x＞0）的图象交于A（6，-12），B（12，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为4，则t的值为 　 　．




23．（2023•大庆一模）设函数y1=k1x，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）如图①，若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函数表达式；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（2）如图②，若点C（1，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，点P在y轴上，求△PCD周长的最小值．




24．（2023•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．

（1）点B的坐标（ 　 　）；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．