专题1共顶点模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版+解析）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题1共顶点模型 

模型1：等腰三角形共顶点

模型2：等腰直角三角形共顶点

模型3：等边三角形共顶点

模型4：相似三角形共顶点

【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；

(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；

(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．

【例2】（2022·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：

如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________；

（2）拓展探究：

如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由．

（3）解决问题：

如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示）

【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；

（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．

①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；

②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

【例4】（2021·福建·闽江学院附中九年级期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．

（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为      ；

（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；

（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．

一、解答题

1．（2022·四川自贡·九年级专题练习）问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？

探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：

应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：

2．（2022·全国·九年级专题练习）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．

【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．

（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）

3．（2022·全国·八年级课时练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．

(1)请证明图1的结论成立；

(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；

(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

4．（2022·重庆开州·八年级期末）在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取，连接BE，过点A作于点F，延长AF交BC于点M．

(1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若，求的面积；

(2)如图2，过点A作于点A，交CD的延长线于点P，求证：．

5．（2022·福建省福州延安中学模拟预测）如图，在Rt△ABC中，，AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．

(1)求证：；

(2)用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；

(3)若CF＝，CD＝，求的值．

6．（2022·浙江湖州·中考真题）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，．记△ABC的面积为S．

(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为，正方形BGFC的面积为．

①若，，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：．

(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为，等边三角形CBE的面积为．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索与S之间的等量关系，并说明理由．

7．（2022·贵州遵义·三模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，∠MAN=∠BAC，连接．求证：．

(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求的面积．

8．（2022·重庆一中七年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．

(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；

(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；

(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．

9．（2022·重庆巴蜀中学一模）在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．

(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若，求AF的长；

(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；

(3)如图（3），，，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将沿着BP翻折得到，连接QC．当的周长最小时，直接写出的面积．

10．（2022·江苏·八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．

(1)问题发现：

如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．

①求证：△ACD≌△BCE；

②求∠AEB的度数．

(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．

(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．

11．（2022·浙江·诸暨市浣江初级中学一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．

【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；

【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　   　．

12．（2022·河南周口·九年级期末）观察猜想

(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．

(2)类比探究

如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．

(3)拓展延伸

如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．

13．（2021·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．

(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；

(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；

(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．

14．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

(1)如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC，若AC = AB，则cos∠ABC=___________， sin∠CAD=__________．

(2)如图2，凸四边形中，AD = BD，AD⊥BD，当2CD2 + CB2 = CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC = 90° + ∠ABC．设 = u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________ ．

15．（2022·陕西咸阳·八年级期末）和如图所示，其中．

(1)如图①，连接，求证：；

(2)如图②，连接，若，，，，求的长．

16．（2022·河北保定·八年级期末）如图1，，，MN是过点A的直线，过点D作于点B，连接CB；过点C作，与MN交于点E．

(1)连接AD，AD是AC的______倍；

(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是______，与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论；

(3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若，，则AB的长为______（直接写结果）；

(4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______．

17．（2021·江苏苏州·八年级期中）【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，

当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．

(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．

(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．

(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．

18．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．

(1)求证：BD=CE．

(2)求证：AP平分∠BPE．

(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．

19．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．

（1）如图1，当时，则_______°；

（2）当时，

①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；

②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．

20．（2021·安徽合肥·八年级阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．

（1）求证：BD＝CE．

（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．

（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．

21．（2021·福建省福州延安中学九年级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．

（1）求证：∠BDF＝30°

（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；

（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．

22．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．

（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 　   　，位置关系是 　   　．

（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．

23．（2021·福建莆田·九年级期中）如图1，在等边中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是            ，            ；

（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最大值

24．（2021·四川·成都七中八年级期中）已知，在△ABC中，AB=AC，

（1）如图1，若，且点D在CA的延长线上时，求证：；

（2）如图2，若，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由

（3）如图3，若BD=5，求CD的长．

25．（2021·河南南阳·八年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形

经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：

①_______，

②∠EDF＝___

（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．

26．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．

（1）如图1，求证AE⊥BF；

（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；

（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长