专题6截长补短模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版+解析）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题6截长补短模型 

模型：截长补短

    如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.

    截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.

常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .

【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是     ；（不需要证明）

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【例2】（2022·安徽合肥·一模）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE

(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；

(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：

①已知AD=2，求CE的值；

②证明：DC-DE=AD；

【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．

(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．

(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？

答：　   　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．

(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．   

【例4】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．

(1)如图1，若，且，，求的度数；

(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

一、解答题

1．（2022·福建三明·九年级期末）在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．

(1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；

(2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG．

2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．

(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．

(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．

3．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．

(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；

(2)求证：AB＝DG+FC．

4．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．

方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．

（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．

5．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下面材料：

【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．

【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．

【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；

（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．

6．（2021·北京·清华附中九年级阶段练习）已知，A为射线上一定点，B为射线上动点（不与点O重合）连接，取的中点C，连接．在射线上取一点D，使得．

（1）若，

①如图1，当时，在图1中补全图形，并写出的值；

②如图2，当时，猜想的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由；

（2）如图3，若，直接写出的值．

7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°

（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；

（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；

（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．

8．（2022·全国·八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．

（1）求证：；

（2）已知．

①如图1，若，，求CE的长；

②如图2，若，求的大小．

9．（2022·江苏·八年级课时练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．

（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．

（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．

（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．

（1）求证：AC＝AE；

（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

11．（2021·重庆一中八年级阶段练习）如图，在中，．

（1）如图1，若，，求的面积；

（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．

（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．

12．（2022·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．

（1）如图1，若．

①直接写出的大小；

②求证：．

（2）若图2，若，求证：．

13．（2022·全国·八年级课时练习）等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．

（1）如图1，求的度数；

图1

（2）连接，若，求的值；

（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

图2

14．（2021·山东德州·八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．

在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？　　（填“是”或“否”）；

（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．

15．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．

（1）求∠BFD的度数；

（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；

（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．

16．（2021·广东深圳·八年级期末）在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．

（1）如图1，若，求、的长；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．

17．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．

（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．

18．（2021·山东济南·七年级期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．

（1）如图1，在四边形中，，，连接．

①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．

②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．

（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．

19．（2021·广东茂名·九年级阶段练习）在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）

（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；

（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．

20．（2021·四川成都·二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；

（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．

21．（2021·重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．

（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；

（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；

（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．

22．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，求的度数；

（3）如图3，若，求证：．

23．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明 ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

24．（2022·江苏·八年级课时练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC

（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．

（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC

（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．