初中数学中考复习 专题32三角形压轴综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题32三角形压轴综合问题

一、解答题

1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

       图1

(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

       图2

2．（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．

独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：

（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”

问题解决：

（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．”

3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．

例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用，分别表示和的面积．

则，

∵

∴．

【性质应用】

(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；

(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；

(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．

4．（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

①求的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

5．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．

(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．

6．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．

请你证明：．

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

7．（2022·辽宁锦州·中考真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．

(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．

(2)如图2．若，完成以下问题：

①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；

②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．

8．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得

(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；

(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

9．（2022·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC．

(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．

10．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．

①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．

②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（从①②两题中选择一题加以证明）

(2)猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3)探究：用数学的语言表达

如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

11．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．

（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：

（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

12．（2022·湖北武汉·中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．

(1)填空：当，，时，

①如图1，若，，则_____________，_____________；

②如图2，若，，则_____________，_____________；

(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．

13．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．

(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

14．（2022·陕西·中考真题）问题提出

(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．

问题探究

(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．

问题解决

(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；

②作的垂直平分线l，与于点E；

③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．

15．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．

16．（2022·湖北十堰·中考真题）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．

(1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________；

(2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．

17．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．

(1)特例体验：

如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；

(2)规律探究：

①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；

②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：

在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．

18．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．

(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；

①点在线段的延长线上且；

②点在线段上且．

(2)若．

①当时，求的长；

②直接写出运动过程中线段长度的最小值．

19．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

(1)求证：△PQM≌△CHD；

(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．

①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；

③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

20．（2022·山西·中考真题）综合与实践

问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

21．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；

(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．

22．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．

(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________；

(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N．

①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；

②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；

(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），

（参考数据：）

23．（2022·重庆·中考真题）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，．

(1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；

(2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证： ；

(3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．

24．（2022·浙江宁波·中考真题）

(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．

(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．

(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．