江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题及答案

这是一份江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则的元素个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数 （   ）
A． B． C． D．
3．若a，b都是实数，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
5．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（   ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
6．设双曲线 的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式 的解集是
A． B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1）

二、多选题
9．是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（    ）

A．这10天中日均值的众数为33
B．这10天中日均值的中位数是32
C．这10天中日均值的中位数大于平均数
D．这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图像关于点中心对称
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
11．已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（    ）
A．的最小值为 B．最大值为45°
C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为
12．已知点 为正方体的棱的中点，过的平面截正方体，，下列说法正确的是（    ）
A．若与地面所成角的正切值为，则截面为正六边形或正三角形
B．与地面所成角为则截面不可能为六边形
C．若截面为正三角形 时，三棱锥的外接球的半径为
D．若截面为四边形，则截面与平面所成角的余弦值的最小值为

三、填空题
13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.
14．已知，则的值为__.
15．已知，则_____________.

四、双空题
16．定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数）.令函数，如．则__；___

五、解答题
17．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.

（1）若△CDE的面积为，求DE的长；
（2）若CF＝4DF，求sin∠DFC.
18．已知公差大于0的等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前21项和．
19．如图，是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是的中心，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且平面ABC．

(1)证明：；
(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．
20．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
22．设函数， 为实数， 若有最大值为
(1)求的值；
(2)若，求实数的最小整数值.

参考答案：
1．B
【分析】先化简集合,求出即得解.
【详解】解：
所以，所以的元素个数为2.
故选：B.
2．C
【分析】根据复数的几何意义及对称性，得出复数，再利用复数的除法法则即可求解.
【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点，
因为复数，在复平面内对应的点关于轴对称，
所以复数在复平面对应的点为，即，则
，
故选：C．
3．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：，都是实数，那么“” “”，
反之不成立，例如：，，满足，但是无意义，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
4．C
【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果.
【详解】由得：，，
，又，.
故选：C.
5．B
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
6．C
【分析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．
【详解】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，
则，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2为等腰直角三角形，
设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，
两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2a，
在直角三角形HF1F2中可得
4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，
化为c2＝3a2，
即e．
故选C．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
7．B
【分析】先判断出由组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有
个，即可求出波动数的概率.
【详解】由组成的没有重复数字的五位数一共有种.
而构成波动数，需满足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.
所以波动数的概率为.
故选：B.
8．D
【分析】构造函数，求导，结合，可得在上单调递增，则不等式，可变为，则，结合单调性即可求解．
【详解】构造函数，则，由，所以，即在上单调递增．因为，则不等式，可变为，则，所以，所以，故选D
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查学生发散思维和计算能力，属中档题．解题的关键在于根据给出的条件，构造新函数，求导可应用题中条件，得到新函数的单调性，把问题转化为根据单调性解不等式问题，进而得到答案．
9．ABD
【解析】对折线图信息进行分析，逐一判断检验即可.
【详解】由折线图得，这10天中日均值的众数为33，中位数为，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了折线图，考查了学生的识图能力与数据分析能力.解题的关键是正确理解众数，中位数，平均数，方差的概念.
10．AB
【分析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】由图象得函数最小值为，故，
，故，，
故函数，
又函数过点，故，解得，
又，即，故，
对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；
对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；
的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；
函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；
故选：AB.
11．ACD
【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值.
【详解】对于A, 的最小值为的最小值,
因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确；
对于B，设是圆的切线，切点为，则,

所以
因为，所以，
所以，所以，所以最大值为，
故B错误；
对于C，设，，

所以
，
当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确；
对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点,
取得最大值，

不妨设在第一象限，则点在第四象限，
设直线代入整理得，
所以，则，因为，所以.
所以，解得，所以，即,
此时
当与圆相切于点时，,
,
所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确.
故选:ACD.
12．AD
【分析】取的中点，做底面，取的中点，连接、交于点，连接，在正方体中可判断平面与底面所成的角为，再分别取的中点，连接，可判断截面为正六边形；取的中点，连接，则为等边三角形，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角可判断A；当时，，可判断四边形为等腰梯形，必与有交点，则截面为六边形可判断B；若截面为正三角形 时，则为的中点，所以三棱锥为正三棱锥，设正三角形的外接圆的圆心为，外接球的球心为，利用求出半径可判断C；若截面为四边形，则截面与底面棱的交点必在上，且截面为时与平面所成角的最大，此时的余弦值最小，求出余弦值可判断D.
【详解】取的中点，做底面，则为的四等分点，
且，分别取的中点，连接、交于点，则点为的四等分点，连接，在正方体中，，，此时平面，
即平面与底面所成的角为，且，
因为平面平面，所以平面与底面所成的角的正切值为，
再分别取的中点，连接，即过的平面截正方体的截面为正六边形；取的中点，连接，则为等边三角形，，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角， 且，，，
所以平面与平面所成的二面角的平面角的正切值为，此时为等边三角形，故A正确；

当时，，所以，所以，
由于，所以为等腰直角三角形，，
由于，所以四边形为等腰梯形，必与有交点，
则截面为六边形，故B错误；

若截面为正三角形 时，则为的中点，
所以三棱锥为正三棱锥，且，，
设正三角形的外接圆的圆心为，外接球的球心为，连接，
则，， 因为，
所以，在中，
因为，所以，解得，故C错误； ，

若截面为四边形，则截面与底面棱的交点必在上，且截面为时与平面所成角的最大，此时的余弦值最小，连接，取的中点，连接，，则，，四边形为等腰梯形，，
则即为截面为时与平面所成平面角，，
，，在中，
由余弦定理得，故D正确.

故选：AD.
13．
【分析】由圆台的表面积公式计算．
【详解】由题意该圆台的表面积为．
故答案为：．
14．1
【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得，然后根据降幂公式可得，进而即得.
【详解】由，得，
再由，得，可得，
．
故答案为：1.
15．30
【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.
【详解】因为，所以是含项的系数，
若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；
若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；
若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；
综上：含的项为，则含项的系数为，即.
故答案为：.
16．     3    
【分析】根据相邻整数进行分类讨论，对应求出，分组求和即可得解.
【详解】当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
依此类推，
将分组为，，，，，，，，，，，，，，第组有个数，且每组中所有数之和为，
则；
设在第组中，
则，
解得，
当时，则，
即在第45组中，且第45组有个，
则，
故答案为：3；．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）由△CDE的面积求得，再由余弦定理可得；
（2）结合已知由正弦定理可得，再由诱导公式与两角和的正弦公式可得结论．
【详解】（1）依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，
所以，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝＝＝.
（2）依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，
所以cosθ＝，
所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式与两角和的正弦公式，属于中档题．
18．(1)；
(2).

【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；
（2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.
【详解】（1）根据题意，当时，，即①，
当时，，所以②，
设等差数列的公差为，
由①②得，解得，
所以；
（2）因为，则，
所以，
所以,
所以，又，
故.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，依题意可得，再由线面垂直得到，从而得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】（1）证明：连接，由为等边三角形，为的中点，所以，
由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：依题意，，在中，，
以为坐标原点，以为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，由（1）可知，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，所以
所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为；

20．(1)；
(2)；
(3)品牌商选择方案二更好.

【分析】（1）根据给定条件，求出3人都没通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
（2）求出甲、乙、丙都通过决赛的概率，再借助对立事件的概率公式计算作答.
（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的分布列，求出其期望，比较大小作答.
【详解】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
（2）设事件B表示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件C表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，事件D表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，
则，，3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事件为，
所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率．
（3）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为900，1600，2300，3000，
，，
，，
所以Z的分布列为：
Z
900
1600
2300
3000
P





则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
21．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点，利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得，则，再整体代换得定值.
（2），，，结合（1）中向量式得，
再代入有，联立解得，再结合的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围.
【详解】（1）由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理.
联立，得
.
，从而（定值）
（2）
结合图象，不妨设，，，，
由得
代入，有，则，
解得
，，
设，则，设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
且，则，则.
【点睛】方法点睛：对于解析几何中共线向量系数和定值问题，我们常用设线法，与圆锥曲线联立得到韦达定理式，将比例和用韦达定理的式子表示出来再整体代入计算，也可以通过构造关于和的一元二次方程，利用两根之和直接得到答案.
结论点睛： 定比分点坐标公式：若点,则点的坐标为

22．(1)
(2)1

【分析】（1）求定义域，求导，得到在处取得极大值，也是最大值，进而列出方程，求出；（2）参变分离后，利用隐零点得到在处取得极大值，也是最大值，令，，求出最大值的范围，确定实数的最小整数值.
【详解】（1），定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，解得：；
（2），即,
，令，定义域为，
，
令，
则，
可以看出在单调递减，
又，，
由零点存在性定理可知：，使得，即，
当时，，当时，，
在处取得极大值，也是最大值，
，
，，
，
故存在，，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上大于0，在上小于0，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
所以在处取得极大值，也是最大值，其中，
，
令，
，当时，，
故，
所以实数的最小整数值为1.
【点睛】对于函数隐零点问题，要结合零点存在性定理得到隐零点的大致范围，然后对函数值进行变形，最后确定函数值的取值范围，确定参数的取值范围.