2022-2023学年江苏省南京市雨花台中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市雨花台中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解出集合中的不等式，然后可得答案.

【详解】因为，

所以

故选：B

2．已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m＝（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】由题意可得4＝2，解得，再求解f（16）即可．

【详解】由已知幂函数f（x）＝的图象经过点（4，2），则有4＝2，解得，则f（x）＝，

故f（16）＝，即m＝4.

故选：C

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

3．已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用偶函数将的情况转化为的情形，代入解析式即可.

【详解】当时，，则  ①

又因为是定义在上的偶函数，

所以 ②

所以由①②得：当时，.

故选：A.

4．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集.

【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减，

可得在上是减函数；

又，

不等式，等价为或，

所以时，即有，解得；

时，即有，解得；

综上可得的解集为.

故选：C.

5．已知函数在上的最大值为，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数图象，结合图象可以观察所得.

【详解】的图象如下图：

对称轴为，

令，得.

因为，

所以数形结合可得或.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.

6．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（    ），（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.

【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，

所以，所以，可得，，

故选：C.

7．函数的图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围

【详解】函数的定义域为，

由图可知，则，

由图可知，所以，

由，得，，

由图可知，得，所以，

综上，，，，

故选：D

8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在(0，＋∞)上是增函数，不等式对于恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据偶函数的定义得出为偶函数，由偶函数的性质结合单调性得出，化简得出，结合反比例函数的单调性得出的取值范围.

【详解】，为定义在上的偶函数，即

即对于恒成立

又在(0，＋∞)上是增函数，，即

对于恒成立，在上恒成立，

又，所以

，即的取值范围为：.

故选：D.

二、多选题

9．下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（    ）

A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝

C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝

【答案】BD

【解析】分别求出每个选项中的两个函数的定义域和对解析式进行化简可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足；

对于B，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，故不满足；

对于D，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数

故选：BD

10．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．的最小值为2

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】结合基本不等式、函数的单调性、差比较法判断出正确选项.

【详解】因，，当且仅当时取等号，故A正确；

令，任取，

，

由于，所以，

所以在区间上递增，

设，则，函数在区间上单调递增，

所以，故的最小值为，B错误；

若，，所以，故C正确；

若，，所以，故D正确，

故选：ACD

11．下列命题中正确的是（    ）

A．函数在上是增函数

B．函数在上是减函数

C．函数的单调减区间是

D．已知在上是增函数，若，则有

【答案】AD

【分析】根据二次函数的性质以及单调区间的定义，即可判断A、C项；根据反比例函数向左平移一个单位可得，结合性质以及特殊值可判断B项；由，可得，结合单调性，可得，同理可推出，即可得到结论.

【详解】对于A：函数在上单调递增，所以函数在上是增函数，A正确；

对于B：函数在，上单调递减，将其向左平移一个单位得到在，上均单调递减，但在上不是减函数，如，但，B错误；

对于C：函数的定义域为，函数对称轴为，函数的单调减区间是，C错误；

对于D：若，则，又在上是增函数，所以，同理，，所以，D正确，

故选：AD.

12．对于任意实数，均能写成的整数部分与小数部分的和，其中称为的整数部分函数，称为的小数部分函数，即. 比如，其中；，，则下列的结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．存在，使得.

【答案】ABD

【分析】A. 根据的含义判断；B.根据的含义判断；C. 由判断；D.由判断.

【详解】A. 因为称为的小数部分，所以，故正确；

B. 因为称为的小数部分，所以，故正确；

C. 当时， ，故，故错误；

D.当时，，故正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知，若则_______.

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，先求得，再由，从而可得出的值.

【详解】解：由题可知，，

，

，解得：.

故答案为：.

14．设函数，满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据，得到在定义域上单调递减，只需保证分段函数的每一段单调递减和在交界处单调递减即可.

【详解】由可知为定义域上的减函数，

所以，解得，

故答案为：

15．已知函数，关于的不等式的解集为，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】根据二次不等式解集与系数的关系可得，，，再根据，结合基本不等式求解即可.

【详解】的解集为，∴且1，2是的两根．

，即，，即，

．

故答案为：

四、双空题

16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．

【答案】     1    

【解析】把指数幂化为对数，根据对数的运算法则及性质，即可求解.

【详解】由题意知，可得，

所以，

所以，

又由，所以.

故答案为：，.

【点睛】对数运算的一般思路：

1、首先利用指数幂的运算把底数或真数进行变形，化为分数指数幂，使幂的底数最简，然后正用对数的运算法则和性质进行化简、合并；

2、睛对数式化为同底的对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数的真数的积、商、幂的运算.

五、解答题

17．（1）求值：，

（2）已知是一次函数，且满足，求函数的表达式.

【答案】（1）6；（2）

【分析】（1）由已知结合对数运算性质即可求解；（2）利用待定系数法即可求解函数解析式.

【详解】（1）

；

（2）设，

由得，

所以，

所以，，.

18．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.

(1)若，求集合A，B及；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或，，；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，结合函数的性质，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解.

（2）由已知条件，推得，再列出不等式，即可求解.

【详解】（1），解得或，

函数的定义域为集合或，

当时，，对称轴为，

，，

，，

，

（2）“”是“”的必要不充分条件，

，

，，

又或，，

或，解得或，

故的取值范围为.

19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】（1）；（2）90万箱.

【解析】（1）根据当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，分和两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型.

（2）当时，利用二次函数的性质求得最大值；当时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.

【详解】（1）当时，

；

当时，，

∴，

（2）当时，，

∴当时，取最大值，最大值为1600万元；

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元．

综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．

【点睛】本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求，的值：

(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；

(3)求使成立的实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)在上为增函数.证明见解析

(3)

【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值；

（2）在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；

（3）由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围.

【详解】（1）由题意，

在中，函数是奇函数，

且，可得即；

又，则，

∴，；经验证满足题意.

（2）由题意及（1）得，

在上为增函数.证明如下：

在中，

设，则，

∵，

∴，，

∴，即，

∴在上为增函数；

（3）由题意，（1）及（2）得，

在中，为奇函数，

∴

∴，即，

∴，

解得，

∴的取值范围是

21．设.

(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解

（2）由已知可得，，分、、、、共种情况讨论，分别求出不等式的解集.

【详解】（1）解：不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，即，解得；

综上可得.

（2）解：不等式等价于，

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，即，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或.

综上可得：当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为或，

当时，不等式的解集为或.

22．对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.

(1)求证：，是函数的一个“优美区间”；

(2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.

(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

(3)

【分析】（1）通过在区间，上单调递增，利用新定义判断即可.

（2）利用新定义，是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可.

（3）设，是已知函数定义域的子集，通过，是已知函数的“优美区间”，则，，说明､是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值.

【详解】（1）函数在，上单调递增，所以，（2），

即，，由题“优美区间”的定义可知，，是函数的一个“优美区间”.

（2）假设，是函数的一个“优美区间”，的定义域为，

所以，或，，又在，上单调递减，

所以，

又，即，不符，所以不存在“优美区间”.

（3）定义域为，假设，或，，

在，上单调递增，又，是函数的“优美区间”，

所以，，所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根.

所以，解得或，又，

所以，

所以当时，取得最大值为.