福建省莆田市城厢区城南中学2022-2023学年上学期第二次月考八年级数学测试题(含答案)

这是一份福建省莆田市城厢区城南中学2022-2023学年上学期第二次月考八年级数学测试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省莆田市城厢区城南中学2022-2023学年八年级数学上册第二次月考测试题（附答案）
一、选择题（共40分）
1．下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（2a）2＝4a2 D．3a2÷a2＝3a
3．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
4．平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）的对称轴是（　　）
A．x轴 B．y轴 C．直线y＝4 D．直线x＝﹣1
5．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A．BD＝CD B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC
6．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（　　）
A．x B．x C．2x D．4x
7．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户王老汉，第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得王老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
8．如图，点F，C在BE上，△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，AC，DF交于点M，则∠AMF等于（　　）

A．2∠B B．2∠ACB C．∠A+∠D D．∠B+∠ACB
9．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020的值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

10．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，a），B（b，12﹣b），C（2a﹣3，0），0＜a＜b＜12，若OB平分∠AOC，且AB＝BC，则a+b的值为（　　）
A．9或12 B．9或11 C．10或11 D．10或12
二、填空题（共24分）
11．四边形的内角和是　 　．
12．已知xm＝4，xn＝5，则xn﹣m的值为 　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是 　 　．

15．若m﹣n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 　．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④∠AOB＝60°，其中正确的结论个数是 　 　．

三、解答题（共86分）
17．化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．
18．如图，已知AD＝AB，AC＝AE，求证：∠B＝∠D．

19．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A（﹣3，﹣1）．点B（﹣2，﹣4），点C（﹣1，﹣2）．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

21．求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
22．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上取一点D，使得CD＝AB．作∠ABC的角平分线交AD于E，请先按要求继续完成图形：以A为直角顶点，在AE右侧以AE为腰作等腰直角△AEF，其中∠EAF＝90°．再解决以下问题：
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）连接CE，请问△ACE的面积和△ABF的面积有怎样的数量关系，并说明理由．

23．探究题
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请你用两种不同的代数式表示图2中阴影部分面积：
①　 　；②　 　．
（2）观察图2，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系：　 　．
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
若|a+b﹣8|+（ab﹣7）2＝0，求（a﹣b）2的值．





24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝　 　；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　 　；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝　 　．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．





25．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，∠ABO＝∠OBA＝45°，P（0，t）是y轴负半轴上一动点，CP⊥AP，BC⊥AB．
（1）求证：PC＝PA；
（2）若（a﹣4）2＝0，试用含t的式子表示点C的坐标 　 　；（直接填写结果）
（3）如图2，作BD⊥y轴交AC的延长线于D．求证：PD﹣BD＝a+t．


参考答案
一、选择题（共40分）
1．解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
2．解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
C．（2a）2＝4a2，故本选项符合题意；
D.3a2÷a2＝3，故本选项不合题意．
故选：C．
3．解：根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺，
故选：B．
4．解：∵点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）对称，
∴AB平行于y轴，所以对称轴是直线y＝（6+2）＝4．
故选：C．
5．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：A．
6．解：（x+）2＝x2+2x×+＝x2+x+，所以公式中的2ab是x．
故选：B．
7．解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
8．解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠AMF＝∠ACB+∠DFE，
∴∠AMF＝2∠ACB，
故选：B．
9．解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x3+2x2+2020
＝x3+x2+x2+2020
＝x（x2+x）+x2+2020
＝x+x2+2020
＝1+2020
＝2021．
即：x3+2x2+2020＝2021．
故选：B．
10．解：∵点A（0，a），B（b，12﹣b），C（2a﹣3，0），0＜a＜b＜12，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∵OB平分∠AOC，
∴b＝12﹣b
∴b＝6
过点B作BH⊥x轴，BG⊥y轴，则BH＝BG
∵AB＝BC，
∴Rt△ABG≌Rt△CBH（HL）
∴AG＝CH
∴|a﹣6|＝|2a﹣3﹣6|
∴a＝3或5
∴a+b＝9或11
故选：B．
二、填空题（共24分）
11．解：（4﹣2）×180°＝360°．
故四边形的内角和为360°．
故答案为：360°．
12．解：当xm＝4，xn＝5时，
xn﹣m
＝xn÷xm
＝5÷4
＝．
故答案为：．
13．解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝AB＝2．
故答案为：2．
14．解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
∴CP+EP的最小值是6．
故答案为：6．

15．解：∵m﹣n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝102+2×5＝100+10＝110．
故答案为：110．
16．解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°+∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠PAC＝∠QBC，
故①正确；
∵∠BCQ＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，AP＝BQ，
∴△PCQ是正三角形，
∴∠CPQ＝∠ACP＝60°，
∴PQ∥AE，
故②正确，③正确；
∵∠PAC＝∠QBC
∴∠AOB＝∠APB﹣∠QBC＝∠APB﹣∠PAC＝∠ACB＝60°，
故④正确，
故答案为：4．
三、解答题（共86分）
17．解：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣（x2﹣4x+x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣x2+4x﹣x+4
＝﹣3x+13．
18．证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D．
19．解：（1）如图所示，△A1B1C1，即为所求；B1（2，﹣1）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2（2，1）．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°

21．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE＝DF．
证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质），
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边相等）．

22．证明：（1）如图，

∵∠BAC＝90°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵AC＝CD，BE平分∠ABD，
∴∠CAE＝67.5°，∠ABE＝22.5°，
∴∠BAE＝22.5°，
∴∠AEB＝135°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF+∠AEB＝180°，
∴点B，点E，点F三点共线；
（2）△ACE的面积等于△ABF的面积，理由如下：
如图，在线段BA的延长线上截取AH＝AC，连接HF，
∵∠EAF＝∠CAH＝90°，
∴∠EAC＝∠FAH，
在△AEC和△AFH中，
，
∴△AEC≌△AFH（SAS），
∴S△AEC＝S△AFH，
∵AB＝AC＝AH，
∴S△ABF＝S△AFH，
∴S△AEC＝S△ABF．
23．解：（1）①图2中的阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
②图2中的阴影部分面积也可以看作边长为m+n的大正方形面积与4块长为m，宽为n的长方形的面积差，即（m+n）2﹣4mn，
故答案为：①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn；
（2）由（1）可得（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（3）∵|a+b﹣8|+（ab﹣7）2＝0，
∴a+b﹣8＝0，且ab﹣7＝0，
即a+b＝8，ab＝7，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣28＝36．
答：（a﹣b）2的值为36．
24．解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4…
∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝1﹣xn；
故答案为：1﹣xn；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）
＝1﹣27
＝1﹣128
＝﹣127；
故答案为：﹣127；
（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）
＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝x2023﹣1．
故答案为：x2023﹣1；
（3）1，理由如下：
2100+299+298+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+…+2100）
＝﹣（1﹣2101）
＝2101﹣1．
∵21的个位数是2，
22的个位数是4，
23的个位数是8，
24的个位数是6，
25的个位数是2，
…
∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，
∵101÷4＝25……1，
∴2101的个位数字是2，
∴2101﹣1的个位数是1．
25．（1）证明：过点C作CH⊥OB于H，在x轴的负半轴上截取OE＝OP，连接EP，

∵CP⊥AP，BC⊥AB，
∴∠APC＝∠ABC＝90°，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠CBH＝45°，
∵CH⊥OB，
∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∵OE＝OP，∠EOP＝90°，
∴∠EPO＝∠OEP＝45°，
∴∠CBH＝∠OEP，
∵∠CPB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠PAO＝90°，
∴∠CPB＝∠PAO，
∵OA＝OB，
∴OA+OE＝OB+OP，
∴AE＝BP，
∴△AEP≌△PBC（ASA），
∴PC＝PA；
（2）解：∵（a﹣4）2＝0，
∴a＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵△AEP≌△PBC，
∴PE＝CB，
∵△OPE和△HBC均为等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝OP＝﹣t，
∴OH＝OB﹣BH＝4﹣（﹣t）＝4+t，
∴C（t，4+t），
故答案为：（t，4+t）；
（3）证明：如图2，过点A作AE⊥AP交DB延长线于点E，作AF⊥AO交DB的延长线于点F，

∵BD⊥BO，∠AOB＝90°，AF⊥AO，
∴∠F＝∠OBA＝90°＝∠OAF，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠FBA＝45°＝∠FAB，
∴AF＝BF，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠FBA＝∠FAB，AB＝AB，
∴△AOB≌△AFB（ASA），
∴AO＝AF＝BO＝BF，
∵∠EAP＝∠FAO＝90°，
∴∠PAO＝∠EAF，
又∵∠AOP＝∠F＝90°，AO＝AF，
∴△AEF≌△APO（ASA），
∴AP＝AE，EF＝OP，
∵PC＝PA，∠APC＝90°，
∴∠PAC＝45°，
∴∠PAC＝∠CAE＝45°，
又∵AD＝AD，AE＝AP，
∴△APD≌△AED（SAS），
∴PD＝DE，
∴PD﹣BD＝DE﹣BD＝BE＝BF﹣EF＝BO﹣OF，
∴PD﹣BD＝a﹣（﹣t）＝a+t．