专题10 平行线中点模型与雨伞模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

专题10 平行线中点模型与雨伞模型

平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。

平行线中点模型：已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE ≌ ∆QOF

证明: ∵AB∥CD  ∴∠PEO =∠OFQ

∵点O为线段EF的中点   ∴EO=OF

      在∆POE和∆QOF中

      ∠PEO =∠OFQ

EO=OF

∠POE =∠QOF

∴∆POE ≌ ∆QOF（ASA）

雨伞模型：如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C,

则∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，BD=CD

证明：∵AP平分∠BAC  ∴∠BAD=∠CAD

∵BD⊥AP        ∴∠BDA=∠CDA

在∆ABD和∆ACD中

∠BAD=∠CAD

AD=AD

∠BDA=∠CDA

∴∆ABD ≌ ∆ACD（ASA）

      ∴AB=AC，BD=CD

【平行线中点模型过关练】

1．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

2．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．

3．如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为______．

4．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 _____．

5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________．

6．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为______．

7．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．

(1)求证：AG＝AD；

(2)求证：DF＝EF；

(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积．

8．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.

（2）【类比探究】

老师引导同学继续研究：

①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长.

②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)

9．在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．

(1)探究结论

在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．

(2)应用结论

在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_______．

(3)拓展延伸

在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．

10．【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中， AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：

(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是        ；

(2)【灵活运用】如图 2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．

11．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．

(1)求证：四边形EGFH为平行四边形；

(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；

①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积：

②如图2，延长FG交AB于点P，连接AG，记ΔAPG的面积为S1，ΔBPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值．

12．已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___，QE与QF的数量关系是___；

(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

13．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．

(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系是________；

(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．

(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

【雨伞模型模型过关练】

1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．

（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；

（2）判断BEG的形状，并说明理由．

2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．

3．已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.

4．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．

5．如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

6．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

7．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．

8．如图，在中，平分于点，点是的中点

（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：

（2）如图2，探究线段之间的数量关系并证明你的结论．

9．如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．

（1）求证：；

（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,

①若点在点的右侧，如图2，求证：；

②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．