专题10 平行线中点模型与雨伞模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版）

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专题10 平行线中点模型与雨伞模型
平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。
平行线中点模型：已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE ≌ ∆QOF
证明: ∵AB∥CD ∴∠PEO =∠OFQ
∵点O为线段EF的中点 ∴EO=OF
在∆POE和∆QOF中
∠PEO =∠OFQ
EO=OF
∠POE =∠QOF
∴∆POE ≌ ∆QOF（ASA）
雨伞模型：如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C,
则∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，BD=CD
证明：∵AP平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
∵BD⊥AP ∴∠BDA=∠CDA
在∆ABD和∆ACD中
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∠BDA=∠CDA
∴∆ABD ≌ ∆ACD（ASA）
∴AB=AC，BD=CD
【平行线中点模型过关练】
1．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长GH交AD延长线于M，证△AMH≌△FGH (ASA)，得MH = GH，AM=GF=3cm，则DM=1cm，再由勾股定理得GM，即可得出结论．
【详解】如图，延长GH交AD延长线于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD= CD = 2cm， AD//BC，∠GDM=∠ADC = 90°，
∵四边形CEFG是矩形，
∴ GF= CE= 3cm， CE//GF，
∴AD//GF，
∴∠GFH =∠MAH，
∵点H是AF的中点，
∴AH= FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH (ASA)，
∴MH=GH，AM=GF=3cm，
∴DM = AM- AD=3-2= 1 (cm)，
∵CG=5cm，
∴ GD= CG- CD=5-2= 3 (cm)，
在Rt△GDM中，由勾股定理得：
GM= cm，
cm，
故选： A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
2．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．

【答案】
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．
【详解】解：延长GH交AD于M点，如图所示：

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，
∴DG=CGCD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH=FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=31=2，
在Rt△MDG中，GM=，
∴GH=GM=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为______．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后证明△DCG和△EHG全等，可得DC＝EH，CG＝HG，求出BH＝3，证明△CBH是等边三角形，即可得到CG的长，然后利用勾股定理求出BG即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC＋CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，连接BG，

∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，
∴CG＝CH＝，
∴BG＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 _____．


【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，DC∥AB，
∵AD=3，AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
∴BF=BC+CF=5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF=BE=5，DG=EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG=∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC=EH，CG=HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=3，
∵∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG=CH=，
故答案为：．


【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________．

【答案】50°．
【详解】试题分析：如图，延长AD、EF相交于点H，

∵F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H=∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF=FH，
∵EG⊥AD，
∴GF=FH，
∴∠DGF=∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=CF，
在△CEF中，∠CEF=（180°﹣80°）=50°，
∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．
故答案是50°．
6．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为______．

【答案】2
【分析】过P作交于F，证明，再证明，得证，根据证明即可．
【详解】解：过P作交于F，如图所示：

∵，是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
7．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．

(1)求证：AG＝AD；
(2)求证：DF＝EF；
(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6

【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求证．
（2）根据平行线的性质可得及等边三角形的性质，利用AAS可证得△DHF≌△ECF，根据全等三角形的性质即可求证结论．
（3）根据等边三角形的性质可得AG＝GH，再根据全等三角形的性质可得HF＝CF，利用等量关系可得GF＝3AG，利用等高三角形面积之间的关系即可求解．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴．
(2)
∵，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF，
(3)
∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
8．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长.
②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)
    
【答案】（1）DE=1；(2) ①正确补全图形见解析，② ②.
【分析】（1）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可；
（2）①过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，由平行线的性质得出∠PFA=∠C．
再证明△APF为等边三角形，得到AP=PF．进一步得到AE=FE=．由SAS证明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=，根据线段的和差即可得到结论．
②如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，通过证明△APF是等边三角形，得到AP=PF．进而得到EF=AE=AF．再由线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．
∵AC=2，∴DE=1．

(2)①正确补全图形．

过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，∴∠PFA=∠C．
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠PFA=∠PAF=60°，∴△APF为等边三角形，∴AP=PF．
又∵PE⊥CA的延长线于点E，∴AE=FE=．
∵AP=CQ，∴PF=QC．
∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ，∴FD=CD=，∴DE=DF﹣EF=．
② 答案为②．理由如下：
如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，∴∠APF=∠ABC=60°．
∵∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF．
∵AP=CQ，∴PF=QC．
∵PF∥BC，∴∠F=∠DCQ，∠FPD=∠Q．
在△DPF和△DQC中，∵∠F=∠DCQ，PF=QC，∠FPD=∠Q，∴△DPF≌△DQC，∴CD=DF=CF．
∵△APF是等边三角形，PE⊥AF，∴EF=AE=AF．
∵ED=EF﹣DF，∴ED=AF﹣CF=（AF﹣CF）=AC．
∵AC的长度不变，∴DE的长度保持不变．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
9．在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．
(1)探究结论
在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．

(2)应用结论
在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_______．

(3)拓展延伸
在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．

【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)，理由见解析
【分析】(1)作，根据平行线的判定与性质可得出．
(2)分①当时，②当时，③当时三种情况讨论即可．
(3)延长交直线于F点，证明即可求解．
【详解】（1）作，如图1，

∵，
∴，
∴，(两直线平行，内错角相等)，
∵，
∴；
（2）∵PB平分，如图2，
∴,

设，
∵为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
①当时，,
∴,
∵由(1)知，且，
∴，
解得：；
∴；
②当时，，
∴,
无解，此情况舍去，
③当时，，
∴，
解得：，
∴．
综上可知：的度数为或．
（3）的关系为，
延长交直线于F点，如图3，

由(1)得，
∵，
∴，
，
∵点P是的中点，
∴，
∴,
∴,
∵,
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线构造平行线是解题关键．
10．【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中， AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：

(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 ；
(2)【灵活运用】如图 2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．
【答案】(1)3 (2)AD=AB+DC．理由见解析
(3)见解析

【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC=△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE （2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE=△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题．
（3）如图，延长AE交CF的延长线于点G，证明△DFG是等腰三角形，可得结论．
【详解】（1）解∶延长AD到点E，使AD=DE，连接BE，如图，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠EDB，DC=DB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=10，
在△ABE中，AB-BE 即16-10<2AD<16+10，
∴3 故答案为：3 （2）解∶ AD=AB+DC．理由如下：
如图，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠F，
∵点E为BC的中点，
∴CE=BE，
在△ABE和△FCE中，
∵∠AEB=∠FEC，∠BAE=∠F，BE=CE
∴△ABE=△FCE（AAS），
∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠F，
∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，
∴DC+AB=AD；
（3）证明：如图，延长AE交CF的延长线于点G

∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
∵∠BAE=∠G，∠AEB=∠GEC，BE=CE，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB=GC=10，∠BAE=∠G，
∵CF=4，
∴FG=CG-CF=6，
∵DF=6，
∴FD=FG，
∴∠EDF=∠G，
∴∠EDF=∠BAE．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．

(1)求证：四边形EGFH为平行四边形；
(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；
①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积：
②如图2，延长FG交AB于点P，连接AG，记ΔAPG的面积为S1，ΔBPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①当BG＝GF时，四边形EGFH的面积为；②的值为

【分析】（1）由，知四边形是平行四边形，从而得，再由、分别是、的中点得，结合即可得证；
（2）①连接，先证，由四边形为平行四边形知，过点作，则，由，知，，再证四边形为矩形，设，则，，，由得，根据可得答案；
②延长交的延长线于点，证得，设，则，，，，由得，根据与同高可得，从而得出答案．
（1）
解：如图1，

在平行四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
、分别是、的中点，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）
①连接，

、，
，
，，S△BGF=S△EGF，
，
，即，
由（1）知，四边形为平行四边形，
，
过点作，则，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
设，则，，，
∴，
解得：，
；
②延长交的延长线于点，
，，，
，
，
设，则，，，，
由得，
与同高，
．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
12．已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___，QE与QF的数量关系是___；
(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
【答案】（1）AE∥BF，QE=QF  （2）答案见解析
【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
【详解】(1)AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90∘，
在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，
∴QE=QF，
故答案为AE∥BF；QE=QF.
(2)QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，

∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．
13．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系是________；
(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．
(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

【答案】(1)AE∥BF，QE＝QF；(2) QE=QF，理由见解析.
【分析】(1)根据AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；
(2)延长EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
【详解】(1)如图1,

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF,
理由：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF；
(2)QE=QF证明：如图2，延长EQ交BF于D,

∵由(1)知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF ．
【点睛】本题主要考查的就是三角形全等的证明与应用，难度中等．在解决这个问题的时候，我们要学会利用添加辅助线构造三角形全等，对直角三角形性质(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)的应用也要非常的熟练．
【雨伞模型模型过关练】
1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．

【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．

【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝CD．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
3．已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.

【答案】见解析.
【分析】延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线定理进行证明即可.
【详解】如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=(AB-AC)．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE是三角形的中位线是解题的关键．
4．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．

【答案】
【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长．
【详解】解：延长CG交AB于点E．

AG平分，于，
，，
，
∵ ，为的中点，
．
故答案为.
【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．
5．如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)14

【分析】（1）延长，交于点E，通过证明≌，得到，，进而得到为的中位线，即可得证；
（2）利用勾股定理得到线段的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段的长度．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点E，

∵平分，
∴，
在与中，

∴≌，
∴，，
即点D为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
6．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析，（2）41
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=NB．
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
7．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB−AG）＝（AB−AC）；
(3) 根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，

，，
又∵平分，
∴∠GAE=∠CAE
在和中，，
，
，
∵点是边的中点，
∴
为的中位线，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
（3）如图：

∵BD=DC，EF∥BC
∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴
∵BF∥DE
设BDEF中BF边上的高为h，
则
=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2
=DE×h÷2
=6÷2
=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
8．如图，在中，平分于点，点是的中点
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：

（2）如图2，探究线段之间的数量关系并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）利用垂直的性质及角平分线的性质证得AB=AD，根据等腰三角形的三线合一得到BE=DE，再利用点F是BC的中点即可得到，由此得到结论；
（2）延长交的延长线于，同（1）的思路相同进行证明即可得到．
【详解】解：证明∶如图1，

∵
∴
∴，
∵平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴
结论∶．
理由∶如图2，延长交的延长线于．

∵，
∴，
∴，，
∵平分∠BAC，
∴∠BAE=∠PAE，
∴，
∴
∵，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴．
【点睛】此题考查叫平分线的性质，垂直的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线的性质，正确掌握各知识点是解题的关键．
9．如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,
①若点在点的右侧，如图2，求证：；
②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;
(2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;
②方法与①相同．
【详解】解：（1）∵MN∥PQ
∴∠NAB+∠ABQ=180°
∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ
∴
∴∠BAC+∠ABC==90°
在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°
∴BC⊥AC;
（2）①延长AC交PQ于点F
∵BC⊥AC
∴∠ACB=∠FCB=90°
∵BC平分∠ABF
∴∠ABC=∠FBC
∴BC=BC
∴△ABC≌△FBC
∴AC=CF，AB=BF
∵MN∥BQ
∴∠DAC=∠EFC
∵∠ACD=∠FCE
∴△ACD≌△FCE
∴AD=EF
∴AB=BF=BE+EF=BE+AD
即：AB=AD+BE


②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE
如图3，延长AC交PQ点F,
∵MN//PQ ．
∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC
∵AC平分∠NAB
∴∠BAF=∠FAN
∴∠BAF=∠AFB
∴AB=FB
∵BC⊥AC
∴C是AF的中点
∴AC=FC
在△ACD与△FCE中

∴
∴AD=EF
∵AB=FB=BE-EF
∴AD+AB=BE
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．