专题13 胖瘦模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

专题13 胖瘦模型

模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。

模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。

      根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。

结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ.

证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      ∵CQ=BP  ∴CQ+PQ=BP+PQ 则BQ=PC

      在∆ABQ和∆ACP中

      AB=AC

∠B=∠C   ∴∆ABQ≌∆ACP（SAS） ，∴AP=AQ

BQ=PC

文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APQ（等腰三角形）得到新∆ABQ（变胖了），通过证明∆ABQ≌∆ACP（SAS）

结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ.

证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      在∆ABP和∆ACQ中

      AB=AC

∠B=∠C   ∴∆ABP≌∆ACQ（SAS） ，∴AP=AQ

CQ=BP

文字简述：∆APC（胖子）减去∆APQ（等腰三角形）得到新∆ACQ（变瘦了），通过证明∆ABP≌∆ACQ（SAS）

结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM

证明：∵ ∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      ∵ AM⊥BC，∴BM=MC

      在∆ABM和∆ACM中

      AB=AC

AM=AM   ∴∆ABM≌∆ACM（SSS） ∴AP=AQ

BM=MC

文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APM（直角三角形）得到新∆ABM（变胖了），∆APC（胖子）减去∆APM（直角三角形）得到新∆ACM（变瘦了），通过证明∆ABM≌∆ACM（SSS）

方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。

【提高测试】

1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．（2022秋·山东日照·八年级期中）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，过边长为8的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，连接交边于，当时，的长为_____________．

4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

5．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．

6．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；

(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．

7．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．

8．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．

(1)如图 ，已知折痕与边交于点，连接，，．若与 的面积比为 ，求边的长．

(2)如图 ，在（）的条件下，擦去折痕 、线段 ，连接 ．动点 在线段上（点与点，A不重合），动点在线段的延长线上，且 ，连接 交 于点 ，作 于点 ．试问当点 ， 在移动过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律；若不变，求出线段的长度．

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，为的平分线，如图，若，求线段的长度．

10．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：

（1）AB＝BE；

（2）∠CAE＝∠ABC；

（3）AD＝CE；

（4）CD＋CE＝AB．