河南省郑州市二七区2023-2024学年九年级上学期期中数学仿真模拟试卷北师大版

这是一份河南省郑州市二七区2023-2024学年九年级上学期期中数学仿真模拟试卷北师大版，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共30分）
1．一元二次方程 (3x−1)2=5x 化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（ ）
A．1B．-1C．-11D．11
2．解下面方程：（1）（x-2）2=5，（2）x2-3x-2=0，（3）x2+x-6=0，较适当的方法分别为（ ）
A．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
3．如果 xy=23 ，那么 x+yx−y 的值是（ ）
A．5B．1C．﹣5D．﹣1
4．如图，在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，连接 DE、EF ，若 DE//BC，EF//AB ，则下列结论错误的是（ ）
A．AEEC=BFFCB．ADBF=ABBCC．EFAB=DEBCD．CECF=EABF
5．小兰和小潭分别用掷A、B两枚骰子的方法来确定 P(x，y) 的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=−2x+6 上的概率为 ( )
A．636B．118C．112D．19
6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，连接AE交BC的延长线于F点，P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，AP的长为（ ）
A．4B．174C．92D．5
7．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20B．40C．100D．120
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程kx2−4x+1=0有两个不相等实根，则k的取值范围k<4且k≠0
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴
D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP>PB），若AB=2，则AP=3−5
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE=AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G.若AB=6，EF：AG=2：3，则BG的长为（ ）.
A．4B．3C．2D．1
10．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足 BE =AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过点B作 BG⊥AE 于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH=DF ；②∠AEF=45° ；③S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH . 其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（每空3分，共15分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同. 小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的大约有 个.
13．如图，四边形 ABCD，CDFE，EFHG 是三个正方形、 ∠1+∠2+∠3=
14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若 CD=2BE ， ∠DAE=∠DEA ， EO=1 ，则线段AE的长为 ．
15．已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置，其顶点E，F，G，H，I都在矩形ABCD的边上，则矩形ABCD的面积为 .
三、解答题（共7题，共55分）
16．解方程：
（1）x2+4x−5=0
（2）x2−3x+1=0
17．如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F，H分别在边BC，AD上．
（1）当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．
18．我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率.
19．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
（1）求证：△BGC∽△DGF；
（2）求证：GD⋅AB=DF⋅BG；
（3）若点G是DC中点，求GFCE的值．
20．富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．
（1）求富强村人均收入的年平均增长率；
（2）如果该村人均收入的年平均增长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．
21．【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且BMMC=1m，连接BN，点P在BN上，连接PM并延长至点Q，使PMMQ=1m，连接CQ.
（1）【尝试初探】求证：CQ∥BN；
（2）【深入探究】若AN=BM=AB，m=2，点P为BN中点，连接NC，NQ，求证：NC=NQ；
（3）【拓展延伸】如图2，在正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，连接PC并延长至点Q，使PCQC=1n(n>1)，连接DQ，若n2BP2+DQ2=(n2+1)AB2，求BPBD的值（用含n的代数式表示）
22．已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y=−x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C(0，−4)．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1一个动点，是否存在以点P、C、A为顶点的三角形与△ABC相似，若存在请求出点P的坐标及此时△PAC的面积．
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： (3x−1)2=5x
9x2+1−6x−5x=0
9x2−11x+1=0 ，
一次项系数是-11．
故答案为：C．
【分析】先把所给的式子转换成一般式，再根据一次项系数的定义得到正确选项．
2．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）所给出的方程，符合用直接开平方法解的方程的结构特点，应用直接开平方法．
（2）所给出的方程，系数较小，是整数，且左边不能进行因式分解，因此应用公式法．
（3）给出的方程，左边可以进行因式分解，应用因式分解法．
【解答】根据所给方程的系数特点，（1）应用直接开平方法；（2）应用公式法；（3）应用因式分解法．
故选D．
【点评】本题考查了根据所给方程，选择适当的方法解方程，在选择方法时，应首选因式分解法，当用因式分解法不能解答时，再根据系数特点，选择配方法或公式法．
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 xy=23 ，得
x= 23 y．
x+yx−y = 23y+y23y−y =﹣5，
故选：C．
【分析】根据等式的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：A.∵EF∥AB，∴AEEC=BFFC ，故本选项正确；
B.∵DE∥BC，
∴ADAB=DEBC ，
∵EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴ADAB=BFBC ，
∴ADBF=ABBC ，故本选项正确；
C.∵EF∥AB，
∴EFAB=CFBC ，
∵CF和DE的大小关系不能确定，
∴EFAB≠DEBC ，故本选项错误；
D.∵EF∥AB，
∴CEEA=CFBF ，
∴CECF=EABF ，故本选项正确，
故答案为：C.
【分析】由已知EF∥AB，利用平行线分线段成比例定理，可对A作出判断；利用已知条件易证四边形BDEF是平行四边形，可得到DE＝BF，再利用平行线分线段成比例定理，可对B作出判断；同理可对C，D作出判断。
5．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】列表得：
∴ 一共有36种情况，她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=−2x+6 上的有 (1，4) ， (2，2) ，
∴ 她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=−2x+6 上的概率为 236=118 ，
故答案为：B.
【分析】列举出所有情况，看落在已知直线 y=−2x+6 上的情况占总情况的多少即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵∠PAE=∠DAE，
∴∠PAE=∠F，
∴PA=PF，
∴CF=AD=4，
设CP=x，PA=PF=x+4，BP=4﹣x，
在直角△ABP中，
22+（4﹣x）2=（x+4）2，
解得：x= 14 ，
∴AP的长为： 174 ．
故选：B．
【分析】根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故答案为：D．
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不符合题意；
B、∵关于x的方程kx2−4x+1=0有两个不相等实根
∴(−4)2−4k>0k≠0
解得：k<4且k≠0 ，符合题意；
C、正方形有4条对称轴，不符合题意；
D、∵点P是线段AB的一个黄金分割点（AP>PB）
∴APAB=5−12
∴AP=5−12AB=5−1，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定方法，根的判别式，对称轴，黄金分割点等对每个选项一一判断即可。
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠DAB=∠ABG=90°，
∴∠EAH+∠GAB=90°，
∵AG⊥EF，∴∠AHE=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠AEF=∠GAB，
∴Rt△EAF∽Rt△ABG，
∴AFBG=AEAB=EFAG=23，
∵AB=6，
∴AE6=23，解得：AE=4，
∴AF=DE=AD−AE=2，
∵AFBG=EFAG=23，
∴BG=3.
故答案为：B.
【分析】证明Rt△EAF∽Rt△ABG，可得AFBG=AEAB=EFAG=23，据此求出AE=4，从而求出AF=DE=AD-AE=2，利用AFBG=EFAG=23即可求出BG的长.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中
DE＝DE∠ADE＝∠CDE＝45°AD＝CD ，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中
∠BAH＝∠CDFAB＝CD∠ABH＝∠DCF ，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②符合题意；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG=EG，
∴S△AGH=S△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③不符合题意，
故答案为：B．
【分析】线判断出∠DAE=∠ABH，再判断出△ADE≌△CDE，得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF，从而得出①正确；根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正确；判断出S△EFH≠S△EFD，得出③错误。
11．【答案】0或 83
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，
△=16-4k>0，解得k<4
∴k的最大整数值是3，即k=3；
x2−4x+3=0 即 (x−1)(x−3)=0
解得，x=1或x=3；
① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，1+m-1=0，解得m=0；
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② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，9+3m-1=0，解得m=- 83
综合①②知，符合条件的的值为0或- 83
故答案为：0或- 83
【分析】由于关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，故其根的判别式应该大于0，从而列出关于k的不等式，求解得出其最大整数解，然后将k值代入方程，求解得出方程的两个根，然后分① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，与② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，两种情况，分别将x值代入方程，求解即可得出答案。
12．【答案】6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：袋中红球的个数为：20×0.3=6（个）.
故答案为：6.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，故从袋中摸出红色小球的概率为0.3，进而利用袋中小球的总数乘以能摸到红色小球的概率即可算出答案.
13．【答案】90º
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由已知得∠1=45°
设正方形的边长为a，
则AD= a2+a2=2a ，
∵ADDF=2aa=2 ， DHAD=2a2a=2 ，
∴ADDF=DHAD ，
∵∠ADF=∠ADH
∴△ADF∽△HDA，
∴∠3=∠DAF，
∵∠DAF+∠2=45°，
∴∠3+∠2=45°
∴∠1+∠2+∠3=90° ．
故答案为90º．
【分析】根据正方形的性质得∠1=45°，先求出线段AD、AF、AH的长度（用a表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ADF∽△HDA，问题即可解决．
14．【答案】22
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵菱形 ABCD ，
∴AB= AD=CD=2x，
∵∠DAE=∠DEA ，
∴DE=AD=2x ，
∴BD=3x，
∴OB=OD= 32x ，
∴OE=12x=1 ，
∴x=2，
∴AB=4，BE=2，
∴OA=AB2−OB2=7 ，
∴AE=OA2+OE2=7+1=22 ，
故答案为： 22 ．
【分析】设BE=x，根据菱形性质可得到AB= AD=CD=2x，进而得到 OE=12x=1 ，解得x值，根据勾股定理即可求得AE值．
15．【答案】28013
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：依题意，可得∠B=∠C=90°，
∵∠EFB+∠CFG=90°，∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠CFG=∠BEF，
在ΔBEF和ΔCFG中，
∠B=∠C∠BEF=∠CFGEF=FG，
∴ΔBEF≌ΔCFG，
设BF=x，CF=y，
则CG=x，BE=y，
同理可得ΔBEF∽ΔDGH∽ΔAIE，
则AEBF=EIEF=14，DGCF=HGGF=24=12，
则AE=x4，DG=y2，
∵AB=CD，
∴x4+y=x+y2，即3x=2y，x=23y，
在RtΔFCG中，FC2+CG2=FG2，
即y2+x2=42，y2+(23y)2=16，
∴y=1213，x=813，
∴AB=1413，BC=2013，
∴矩形ABCD的面积为28013，
故答案为：28013.
【分析】根据题意求出△BEF≌△CFG，设BF=x，CF=y，得出线段CG=x，BE=y，再证明△BEF∽△DGH∽△AIE根据相似三角形的性质，可得线段AE=x4，DG=y2，根据AB=CD列出关于x和y的方程，从而可得x和y之间的关系x=23y，在Rt△FCG中，利用勾股定理y2+x2=42，两式联立求出x和y的值，则可求出长方形的长和宽，即可求出面积.
16．【答案】（1）解: x2+4x−5=0
因式分解得： (x−1)(x+5)=0 ，
x−1=0 ， x+5=0 ，
∴x1=1 ， x2=−5 ；
（2）解: x2−3x+1=0
a=1 ， b=−3 ， c=1 ，
∴Δ=b2−4ac=9−4=5>0
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=3±52
∴x1=3+52 ， x2=3−52
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单；（2）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
17．【答案】（1）解：如图四边形EFGH就是所求作的图形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，
如图，四边形EFGH为正方形，
∴EF=GH，∠HEF=90° ，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠AHE，
∴△BEF≌△AHE，
.∴BF=AE，
∵AE=AB-BE=6-2=4，
∴BF=4，
在Rt△BEF中，
∴EF2=BE2+BF2=20 ，
∴四边形EFGH的面积为20．
【知识点】菱形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）以E为圆心，EF为半径作弧交AD于点H；以F为圆心，EF为半径作弧，以H为圆心，EF为半径作弧，两弧相较于点G，顺次连接即可；（2）证明△BEF≌△AHE，得到BF=AE=4，利用勾股定理求出EF2，即可解出四边形的面积。
18．【答案】（1）20；72；40
（2）解：等级B的人数为20−(3+8+4)=5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为46=23.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为420×360°=72°；
C等级所占的百分比为820×100%=40%，
所以m=40，
故答案为：20，72，40；
【分析】（1）用“A等级”的人数除以所占的比例即可求出本次参加比赛的学生的总人数；用360°× “D等级”的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中 “D等级”的扇形的圆心角 度数；用“C等级”的人数除以本次参赛的总人数再×100％即可求出扇形统计图中m的值；
（2）根据各组人数之和等于总人数可求出“B等级”的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，由表格可知共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，从而根据概率公式即可算出答案.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=∠ADC=90°
∵BF⊥DE
∴∠GFD=90°
∴∠BCD=∠GFD，
又∵∠BGC=∠DGF，
∴△BGC∽△DCF．
（2）证明：由（1）知△BGC∽△DGF，
∴BGDG=BCDF，
∴DG⋅BC=DF⋅BG
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC
∴DG⋅AB=DF⋅BG．
（3）解：由（1）知△BCC∽△DGF，
∴∠FDG=∠CBG，
在△BGC与△DEC中，{∠CBG=∠CDE，∠BCG=∠DCE，BC=CD，
∴△BGC≌△DEC（ASA）
∴CG=EC
∵G是CD中点
∴CG=DG
∴GF：CE=CF：DC
∵△BGC∽△DGF
∴GF：DG=CG：BG
在Rt△BGC中，设CG=x，则BC=2x，BC=5x
∴CGBG=55
∴GFCE=55
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得DG⋅BC=DF⋅BG，再结合AB=BC，可得DG⋅AB=DF⋅BG；
（3）先利用“ASA”证明△BGC≌△DEC，可得CG=EC，再结合GF：DG=CG：BG，设CG=x，则BC=2x，BC=5x，可得CGBG=55，所以GFCE=55。
20．【答案】（1）解：设富强村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得，
3.6(1+x)2=4.356
解得：x=−2110（舍去）或x=110=10%，
答：富强村人均收入的年平均增长率为10%；
（2）解：依题意，4.356×(1+10%)=4.7916万元
答：估计今年富强村的人均收入为4.7916万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元 ，列方程即可；
（2）根据该村人均收入的年平均增长率不变，求出4.356×(1+10%)=4.7916万元 即可作答。
21．【答案】证明：由题意可知在△CQM与△BPM中，∵∠CMQ=∠BMP，BMMC=1m=PMMQ，∴△CQM∼△BPM，∴∠CQM=∠BPM，∴CQ∥BN【深入探究】（2）若AN=BM=AB，m=2，点P为BN中点，连接NC，NQ，求证：NC=NQ；【答案】证明：如图：连接NC，BQ，NM，BQ，在矩形ABCD中，∠A=90°AN∥BM，∵AN=BM=AB，ABMN是正方形，∵P为BN中点，∴PM垂直平分BN，BN=2BP，∴BQ=NQ，由△CQM∼△BPM和m=2可知，∴BPCQ=PMCQ=12，∴CQ=2BP，∴CQ=BN，∵CQ∥BN，∴CQBN是平行四边形，∴BQ=CN，∴NC=NQ；【拓展延伸】（3）如图2，在正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，连接PC并延长至点Q，使PCQC=1n(n>1)，连接DQ，若n2BP2+DQ2=(n2+1)AB2，求BPBD的值（用含n的代数式表示）【答案】解：过Q作QM∥BD交BC的延长线于M，DG于N，连接DM，在正方形ABCD中，∵QM∥BD，∴△CBP∼△CMQ，∠DBC=∠CMQ=45°，∴BPQM=BCCM=PCCQ=1n，∴BP=1nQM，CM=nBC=nAB，∵DM2=CD2+CM2，∴DM2=AB2+(nAB)2=(1+n2)AB2，∴(QM)2+DQ2=(nBP)2+DQ2=n2BP2+DQ2，∵n2BP2+DQ2=(n2+1)AB2，∴QM2+DQ2=DM2，∴△DQM是直角三角形，∴∠DQM=90°，∵QM∥BD，∴∠DQM=∠BDQ=90°，∴∠BDC=∠NDQ=45°，∴∠DNC=45°，∴NC=BC，∴MN=nBC−BC=(n−1)BC，在Rt△MQN中，∠CMQ=45°，QM=nBP，∴QN=QM=22MN=2(n−1)2BC，BP=1nQM=1n·2(n−1)2BC，BPBD=1n·2(n−1)2BC2BC=n−12n，
（1）证明：由题意可知在△CQM与△BPM中，∵∠CMQ=∠BMP，
BMMC=1m=PMMQ，
∴△CQM∼△BPM，
∴∠CQM=∠BPM，
∴CQ∥BN
（2）证明：如图：连接NC，BQ，NM，BQ，
在矩形ABCD中，
∠A=90°AN∥BM，
∵AN=BM=AB，
ABMN是正方形，
∵P为BN中点，
∴PM垂直平分BN，BN=2BP，
∴BQ=NQ，
由△CQM∼△BPM和m=2可知，
∴BPCQ=PMCQ=12，
∴CQ=2BP，
∴CQ=BN，
∵CQ∥BN，
∴CQBN是平行四边形，
∴BQ=CN，
∴NC=NQ；
（3）解：过Q作QM∥BD交BC的延长线于M，DG于N，连接DM，
在正方形ABCD中，
∵QM∥BD，
∴△CBP∼△CMQ，∠DBC=∠CMQ=45°，
∴BPQM=BCCM=PCCQ=1n，
∴BP=1nQM，CM=nBC=nAB，
∵DM2=CD2+CM2，
∴DM2=AB2+(nAB)2=(1+n2)AB2，
∴(QM)2+DQ2=(nBP)2+DQ2=n2BP2+DQ2，
∵n2BP2+DQ2=(n2+1)AB2，
∴QM2+DQ2=DM2，
∴△DQM是直角三角形，
∴∠DQM=90°，
∵QM∥BD，
∴∠DQM=∠BDQ=90°，
∴∠BDC=∠NDQ=45°，
∴∠DNC=45°，
∴NC=BC，
∴MN=nBC−BC=(n−1)BC，
在Rt△MQN中，
∠CMQ=45°，QM=nBP，
∴QN=QM=22MN=2(n−1)2BC，
BP=1nQM=1n·2(n−1)2BC，
BPBD=1n·2(n−1)2BC2BC=n−12n，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据两组对对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△CQM∽△BPM，由相似三角形对应角相等得∠CQM=∠BPM，根据内错角相等，两直线平行，可得结论；
（2）连NC、BQ、MN、BQ，易得四边形ABMN是正方形，PM是BN的垂直平分线，得BQ=NQ，根据相似三角形对应边成比例及m=2，可得cq=bn，故四边形CQBN是平行四边形，得BQ=CN，从而即可得出结论；
（3） 过点Q作QM∥BD交BC的延长线于点M，DG于点N，连接DM，易得△CBP∽△CMQ，根据相似三角形的对应边成比例得 BP=1nQM，CM=nBC=nAB， △DCM中，结合勾股定理得 DM2=(1+n2)AB2，推出 (QM)2+DQ2=(nBP)2+DQ2=n2BP2+DQ2， QM2+DQ2=DM2， 由勾股定理逆定理得△DQM是直角三角形，由等腰直角三角形得 MN=(n−1)BC，在Rt△MQN，由等腰直角三角形性质得 QN=QM=2(n−1)2BC， BP=1nQM=1n·2(n−1)2BC， 从而即可得出答案.
22．【答案】（1）解：设直线l2的解析式y=kx+b，
∵直线l1：y=−x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A(2，0)，B(0，2)，
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C(0，−4)，
∴2k+b=0b=−4，
∴k=2b=−4
∴直线l2的解析式：y=2x−4
（2）解：设P(m，−m+2)
当x=0时，y=−0+2=2
∴B(0，2)
当y=0时，
−x+2=0
x=2
∴A(2，0)
∴AP2=(m−2)2+(−m+2−0)2=2m2−8m+8
即AP=2m2−8m+8
在Rt△AOB中，
AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=22
在Rt△AOC中，
AC2=OA2+OC2=22+42=20
∴AC=20=25
存在以点P、C、A为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵∠BAC=∠CAP
∴当ABAC=ACPA时，△ABC∽△ACP
2225=252m2−8m+8
m2−4m−21=0
解得：m1=7（舍），m2=−3
P点坐标(−3，5)
过点P作PD⊥y轴于点D，
S△PAC=S△BCP+S△BCA=12BC⋅PD+12BC⋅OA=12×6×3+12×6×2=15
若P与B重合，P(0，2)
此时三角形ABC的面积为6
综上所述存在点P(0，2)或(−3，5)，对应的面积为6或15；
（3）解：存在，点D的坐标为(2，0)或(−8，0)或(−2，−8)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：设D(xD，yD)
当△ABC沿x轴向左平移时
设AA1=CC1=t，则A1(2−t，0)，C1(−t，−4)，C(0，−4)
①当CC1=A1C1=25时
A1(2−25，0)，C1(−25，−4)，C(0，−4)，D(xD，yD)
∴2−25+0=−25+xD0+(−4)=−4+yD
即xD=2yD=0
∴D(2，0)
②当A1C=CC1时
(2−t)2+42=t2
t=5
∴A1(−3，0)，C1(−5，−4)，C(0，−4)，D(xD，yD)
∴−3+(−5)=0+xD0+(−4)=−4+yD
即xD=−8yD=0
∴D(−8，0)
③当A1C1=A1C时
(2−t)2+42=(25)2
t1=0（舍），t2=4
∴A1(−2，0)，C1(−4，−4)，C(0，−4)，D(xD，yD)
∴−4+0=−2+xD−4+(−4)=0+yD
即xD=−2yD=−8
∴D(−2，−8)；
当△ABC沿x轴向右平移时
设AA1=CC1=t，则A1(2+t，0)，C1(t，−4)，C(0，−4)
∵C1C=A1C1
∴t=25
∴A1(2+25，0)，C1(25，−4)，C(0，−4)，D(xD，yD)
∴2+25+0=25+xD0+(−4)=−4+yD
即xD=2yD=0
∴D(2，0)
综上所述：符合条件的点D的坐标为(2，0)或(−8，0)或(−2，−8)
【分析】（1）先求出 A(2，0)，B(0，2)， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
男
女1
女2
男

女1、男
女2、男
女1
男、女1

女2、女1
女2
男、女2
女1、女2