2022-2023学年河南省郑州市二七区第四十八中学九年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份2022-2023学年河南省郑州市二七区第四十八中学九年级上学期期中数学试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了 下列方程，是一元二次方程的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023 学年上学期九年级数学学科期中考试
一．选择题
1. 下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C. ，是二元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，当时是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 在四边形是菱形，其中，则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
四边形的周长，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四边相等．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程常数项移到右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：方程，
移项，得：，
两边同时加，得：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．正确理解和掌握配方法的步骤是解题的关键．
4. 下列说法正确的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分四边形是菱形
D. 四边相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查正方形、矩形和菱形的判定，注意菱形与正方形的区别和联系，正方形与长方形的区别和联系．
5. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 4cm，5cm，6cm，7cm B. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 5cm，15cm，3cm，9cm D. 8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．
【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
6. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法进行计算即可．
【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
















共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
7. 若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于k的不等式组，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
8. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，八月底是8.4元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月增长率为x，则该地92号汽油七月底的价格=该地92号汽油六月底的价格×(1+平均每月的增长率)，八月底的价格=该地92号汽油七月底的价格×(1+平均每月的增长率)，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．
【详解】解：∵∥，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵∥，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．
10. 如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )

A. B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
设点E运动的时间是．
根据题意可得，
解得， ，
∵，
∴两点运动了后停止运动．
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
二．填空题
11. 如果线段a、b满足，那么的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，再将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，将变形为是解决本题的关键．
12. 喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：、香山叶正红、建党伟业、建军大业．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果由4种，再由概率公式求解即可．
【详解】把写有、香山叶正红、建党伟业、建军大业的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有种，
甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=________°．
【答案】70
【解析】
【分析】根据相似四边形的对应角相等，得到，利用四边形内角和360°，求得的度数即可．
【详解】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴，
∵∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，
∴∠A=360°-90°-108°-92°=70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，正确运用性质是解题的关键．
14. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是______米．

【答案】18
【解析】
【详解】解：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，

∴△ABE∽△ACD，


解得：
故答案为18．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，同一时刻，物体的高度与影长的比相等是解题的关键．
15. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______．

【答案】
【解析】
【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解．
【详解】解：，
．
∴∠BEA=∠AFD，
又∵∠AFD＋∠EAG=90°，
∴∠BEA＋∠EAG=90°，
∴∠BGF=90°．
H为BF的中点，又为直角三角形，
．
∵DF=2，
∴CF=5-2=3．
∵为直角三角形．
∴BF===．
．
【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半．
三．解答题
16. 解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2），
（3），．
（4）
【解析】
【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可；
（2）先将方程化成一般式，然后再运用公式法解答即可；
（3）先将方程化成一般式，然后再运用公式法解答即可；
（4）先移项，然后再运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴ 或，
∴．
【小问2详解】
解：

∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：，
整理得：
∵
∴
∴，．
【小问4详解】
解：



或，
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．
17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当　　时，方程有一个负整数解为．
【答案】（1）且
（2）-2
【解析】
【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，知，解之即可；
（2）将代入方程求解即可．
【小问1详解】
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且；
【小问2详解】
是方程的解，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当＜0时，方程无实数根．
18. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）求证：．
（2）若，试证明四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；
（2）先证明AD=CD，根据已知可得AB=AD=CB=CD，利用四边相等即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC；
【小问2详解】
证明：∵，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
19. 如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．

（1）求AC的长；
（2）若，求证：△ADE∽△ABC．
【答案】（1）AC=；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；
（2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．
【小问1详解】
解：∵EF∥CD，
∴，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴，
解得：AC=；
【小问2详解】
证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20. 第 24 届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数， 最终行至“立春”，将中国人独有浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为？
（2）李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽 同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
∵共有24张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，
∴若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为；
【小问2详解】
把写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片分别记为 A、B、C、D，画树状图如下：

由树状图可知：共有 16 种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有4种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
【点睛】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键．
21. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为 　　个．
（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
【答案】（1）（680﹣10x）；
（2）当该这种书包销售单价为42元或56元时，销售利润是3120元
【解析】
【分析】（1）利用月均销量＝280﹣×20，即可用含x的代数式表示出月均销量；
（2）利用总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为280﹣×20＝（680﹣10x）个．
故答案为：（680﹣10x）．
【小问2详解】
解：依题意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，
整理得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x1＝42，x2＝56．
答：当该这种书包销售单价为42元或56元时，销售利润是3120元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月均销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 小军想出了一个测量建筑物高度方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．

【答案】33米
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出AB的长．
【详解】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
，
∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，
∴，
解得：AB＝33，
答：这座建筑物的高度为33m．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用．结合平面镜成像的特点证明两个三角形相似是解题的关键．
23. （1）正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与AC交于点G
①如图（i），若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系；
②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由
（2）如图（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的长度．

【答案】（1）①EF＝BE+DF；见解析；②，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立：EF＝BE+DF；见解析；（2）AM＝．
【解析】
【分析】（1）①结合题意由正方形ABCD性质得到△ABE≌△ADF，则∠AGE＝∠AGF＝90°，又因为AE平分∠BAC，得到EF＝BE+DF；
②作图延长CD到点H，截取DH＝BE，连接AH，根据已知条件求证△AEB≌△AHD，则AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，再证△EAF≌△HAF，则有EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF.
（2）根据矩形的性质，和相似△ABN∽△GCN，得到AP＝PM，再设设AP＝x，最终求得
AM．
【详解】（1）①如图（i），

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵∠EAF＝45°，AC平分∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°，
∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AC⊥EF，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EG，DF＝GF，
∴EF＝BE+DF；
②，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立：EF＝BE+DF；
如图（ⅱ），延长CD到点H，截取DH＝BE，连接AH，

在△AEB与△AHD中，
∵，
∴△AEB≌△AHD（SAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAF+∠DAH＝45°．即∠EAF＝∠HAF，
在△EAF与△HAF中，
∵，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF，
（2）如图（iii），延长AN，DC交于点G，过M作MP⊥AG于点P，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2，
∴BN＝2，CN＝8﹣2＝6，
∵AB∥CG，
∴△ABN∽△GCN，
∴，
∴NG＝6，
∵∠MAN＝45°，∠APM＝90°，
∴AP＝PM，
设AP＝x，则PM＝2x，PG＝2x，
∵AG＝2+6＝x+2x，
x＝，
∴AM＝x＝．
【点睛】本题综合考查了正方形的相似、三角形全等的判定及全等三角形的性质、相似三角形的性质和矩形的性质，试题难度较大.