上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题及答案

这是一份上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．设且，函数的图像经过的定点的坐标为__________.2．若函数是偶函数，则__________.3．函数的定义域为__________.4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________.5．已知，用表示__________.6．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是__________.7．设，若函数的值域为，则的取值范围是__________.8．某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润（单位：万元）与运营年数为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示：运营年数157总利润1010 则这批机器人运营年数为__________时，其运营的年平均利润最大.9．若函数的图像关于直线成轴对称，则该函数的最小值为__________.10．设函数满足：对任意正整数表示的小数点后的第位数码.已知，则__________.11．设，若函数有最小值，则的取值范围是__________.12．设，若存在唯一的使得关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 二、单选题13．已知，则化简的结果是（    ）A． B． C． D．14．已知､为实数，则“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．设，若奇函数在区间上是严格减函数，且有最小值2，则函数在区间上是（    ）A．严格减函数且有最大值2B．严格减函数且有最小值2C．严格增函数且有最大值2D．严格增函数且有最小值216．设，其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D． 三、解答题17．设，已知幂函数是偶函数.(1)求的值；(2)设，若函数的最小值为，求的值.18．某公司经过测算，计划投资两个项目. 若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为(万元)：若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为（万元）.(1)当投入两个项目的资金相同且项目比项目创造的利润高，求投入项目的资金(万元)的取值范围；(2)若该公司共有资金30万，全部用于投资两个项目，则该公司一年分别投入两个项目多少万元，创造的利润最大.19．设，已知函数是定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；(3)设实数满足：，且，用反证法证明：.20．设，已知函数的表达式为.(1)当时，求不等式的解集；(2)若关于的方程在区间上恰有一个解，求的取值范围；(3)设.若存在，使得函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围.
参考答案：1．【分析】因为函数经过点，将看做整体即可得解.【详解】因为函数经过点，令，所以函数图像经过，故答案为：.2．1【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，根据偶函数的即可求出.【详解】因为函数为偶函数且，所以，又数是偶函数，，所以，所以，所以对任意成立，所以，所以，故答案为：1.3．【分析】由解析式有意义列不等式求的范围即可.【详解】由有意义可得，解不等式组可得或，所以函数的定义域为.故答案为：.4．【分析】根据奇函数定义可得，结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.【详解】令，则，因为当时, ，所以，因为奇函数满足，所以，即，故答案为: 5．【分析】利用换底公式代入转化为关于的表达式即可求解.【详解】故答案为：.6．【分析】利用换元法与常数分离法，结合反比例函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以令，则，，所以，因为在区间上是严格增函数，所以在区间上是严格增函数，故，则，即.故答案为：.7．【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为，分析特殊点的横坐标，分类讨论即可得解.【详解】作出函数图像，根据题意，得，令，解得或，所以结合①若，则不合题意，舍去，②若，则，此时；③若，则，此时；④若，则，综上所述，，故答案为：8．5【分析】由表格中的数据求得二次函数解析式，再应用基本不等式求得年平均利润取得最大值时x的取值，即可得结果.【详解】由表格知，函数过点，，，设， 则 解得： ∴ ，∴年平均利润为 ，即：当且仅当时，取得最大值2.故答案为：5.9．2【分析】利用函数对称性的定义求得实数的值，再利用绝对值三角不等式可求得结果.【详解】设，则，所以，函数的图像关于直线对称，由题意可得，可得.所以，，由绝对值三角不等式可得.故函数的最小值为2.故答案为：2.10．【分析】由函数定义依次求出时的值即可.【详解】因为，所以，，，，，当，，所以，故答案为：11．【分析】先求函数在上的最小值，再讨论，求函数在上的值域，结合条件确定的范围.【详解】当时，，函数在上为增函数，所以函数在上取值范围为，当时，，若，因为，在上都为增函数，所以函数上为增函数，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，若时，因为在上都为增函数，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，当时，任取，且，则，因为，所以，因为，，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，当时，任取，且，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，同理可证函数在上单调递减，所以函数在上的函数值的取值范围为，当且仅当时，函数有最小值，化简得，所以函数有最小值时，的取值范围是，故答案为：.12．【分析】根据给定条件，确定m的最大值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，当时不等式组无解，求出a的范围作答.【详解】依题意不等式有解，所以，所以，而，因此，因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，所以，即，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是.故答案为：13．D【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可.【详解】因为，所以，所以，故选：D.14．A【分析】分别对充分性，必要性进行计算证明即可解决.【详解】当时，或，此时，所以充分性成立；当时，或，此时可能无意义，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件，故选：A15．D【分析】根据奇函数对称区间增减性一致，，与关于轴对称即可解决.【详解】由题知，奇函数在区间上是严格减函数，且有最小值2，所以在区间上是严格减函数，且有最大值，因为函数与关于轴对称，所以在区间上是严格增函数且有最小值2，故选：D16．B【分析】关于的方程有且仅有3个实数解等价于函数与的图象有三个不同的交点，数形结合即可.【详解】作的图象如图所示，令是过定点的直线，当有且仅有3个实数解时，如图，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；综上所述故选：B17．(1)(2)或. 【分析】（1）由已知结合幂函数的定义以及性质即可求解；（2）由已知结合二次函数的性质讨论，和，即可得出答案.【详解】（1）因为幂函数是偶函数，所以且为偶数，解得：或（舍），则，所以.（2）令的开口向上，对称轴，①当即，在上单调递增，所以，所以；②当即，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得：或，不满足题意舍去；③当即，在上单调递减，所以，解得：所以.综上：或.18．(1)(2)当 万元投入项目，万元投入项目时获得利润最大 【分析】（1）分和解不等式。再求并集即可求解（2）求出利润的函数关系，分段求最大值即可求解【详解】（1）当，解得；当，解得，综上（2）设对A项目投入资金万元，则对B项目投入资万元；所以，，当，当且仅当等号成立，且，故最大值为105当，，综上当 万元投入项目，万元投入项目时获得利润最大19．(1)的值为；(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】(1)由奇函数的性质列方程求；(2)判断函数的单调性，再利用定义证明；(3)先证明时，，当互不相等时，再利用反证法证明.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以恒成立，所以，所以，所以；（2）函数在区间上的单调递增，证明如下；任取任取，且，则，因为，所以，，，所以，所以函数在区间上的单调递增；（3）若中有两个数相等，由可得，所以，又，所以，因为函数在区间上的单调递增且为奇函数；所以，若互不相等，不妨设，若，由(2)函数在区间上的单调递增；所以，所以，与条件矛盾；若，由(2)函数在区间上的单调递增；所以，所以，与条件矛盾；所以，假设，则或，若，则，所以，又函数在区间上的单调递增；且为奇函数，所以，即，又，所以，与条件矛盾；若，则，所以，又函数在区间上的单调递增；且为奇函数，所以，即，又，所以，与条件矛盾；所以假设错误，即互不相等，若，则.综上，若实数满足：，且，则.20．(1)不等式的解集为；(2)的取值范围为；(3)的取值范围为. 【分析】(1)根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；(2)将问题转化为在区间上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；(3)根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【详解】（1）当时，，，即，，，与同解，得；所以不等式的解集为；（2）由题意：关于x的方程在区间上恰有一个实数解，，，在区间上恰有一个实数解，即，解得：，当时，，所以，即，综上所述：；所以的取值范围为；（3）因为，，所以当时，函数为减函数，所以函数在区间上单调递减，又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1，所以，所以即存在使成立，只需即可，考虑函数，，令，，设，其中，任取，且，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以函数在上单调递减，所以在单调递减，所以，，所以，所以的取值范围为.