2022-2023学年上海市曹杨中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市曹杨中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．与的等差中项是        .

【答案】-5

【分析】根据等差中项的定义计算即可.

【详解】设等差中项为，则，

故答案为：-5

2．某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有             种.

【答案】11

【分析】直接根据分类加法计数原理得答案.

【详解】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种.

故答案为：11.

3．已知数列（，）的通项公式是，则是该数列中的第        项.

【答案】9

【分析】利用通项公式的概念求解的值.

【详解】根据题意，得，

解得，所以是该数列中的第9项.

故答案为：9

4．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为        .

【答案】-2

【分析】由等比数列的定义及性质计算即可.

【详解】设的公比为，由题意可知，则由得.

故答案为：-2

5．设函数，则        .

【答案】

【分析】根据常用函数的导函数计算即可.

【详解】由，

故答案为：

6．等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为    ．

【答案】﹣2或1

【详解】试题分析：当公比q=1时，等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍；当公比q≠1时，．由此能求出该等比数列的公比．

解：∵等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，

∴当公比q=1时，等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，成立；

当公比q≠1时，，解得q=﹣2．

∴该等比数列的公比为﹣2或1．

故答案为﹣2或1．

【解析】等比数列的通项公式．

7．若，则符合条件的二次函数的解析式有      个．

【答案】294

【分析】由分步乘法原理求解

【详解】是二次函数，故．

由集合元素的互异性知互不相同，故符合条件的函数解析式有个．

故答案为：294

8．设曲线在点处的切线与直线垂直，则       ．

【答案】2

【分析】y′＝aeax，y′|x＝0＝a.由题意知，a×＝－1，∴a＝2

9．已知双曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线方程为        .

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的右焦点坐标，进而可求出的值，由此可得出该双曲线的方程.

【详解】抛物线的焦点坐标为，

所以，双曲线的右焦点坐标为，则，得.

因此，该双曲线的方程为.

故答案为.

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了抛物线焦点坐标的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

10．记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为        ．

【答案】

【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为 ，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.

【详解】因为，，

所以当时，，

当时，，所以两式相减得：，

则，所以，又因为 ，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

所以当时，.

所以数列的通项公式为：

故答案为：.

11．将数列（，）分组为：（1），，，，……，则第（，）组中的第一个数是        .

【答案】

【分析】根据等差数列的求和公式计算第组中的第一个数位于数列的第几项即可.

【详解】由条件可知第组即有项，则第组的第一个数是数列的第项，

计算，

即为第组中的第一个数.

故答案为：

12．已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是          .

【答案】

【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围.

【详解】当时，，则，

所以，函数在上为增函数；

当时，由可得，即，

作出函数的图象如下图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为

，设切点为，

所以，切线方程为，

将原点坐标代入切线方程可得，

即，构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，且，

由，解得，所以，，

而函数的渐近线方程为，

设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，

则，

结合图形可知，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.

二、单选题

13．已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差数列及等比数列的定义与性质计算即可.

【详解】设，，，四个实数所成等差数列的公差为，

则由题意可得，

又为正实数，故.

故选：A

14．“”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件

A．既不充分也不必要 B．充分不必要

C．必要不充分 D．充要

【答案】A

【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可

【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件

故选：A

15．函数，则（    ）

A． B．

C． D．，大小关系不能确定

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，明确函数的单调性，即可作出判断.

【详解】∵，

∴，

∴在上单调递减，

又，

∴，

故选：C.

16．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ）

A．函数在和上单调递增 B．函数在和上单调递减

C．函数仅有两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值

【答案】C

【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】根据的图象可知，

函数在和上单调递增，A选项正确.

函数在和上单调递减，B选项正确.

所以的极小值点为，极大值点为，C选项错误.

由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确.

故选：C

【点睛】利用导函数研究函数的单调性、极值点或最值，关键点在于根据导函数的图象判断出函数的单调性，然后根据单调性判断出极值点，而最值在区间的端点或极值点处取得.

三、解答题

17．已知等差数列的前三项依次为前n项和为，且.

（1）求a及k的值；

（2）设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

【答案】（1）a＝2，k＝10；（2）证明见解析，Tn＝.

【分析】（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；

（2）由（1）得到Sn＝＝n(n＋1)，进而得到bn＝，再利用等差数列的定义证明.

【详解】（1）设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

（2）证明：由（1）得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，

所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

18．已知双曲线：.

（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程.

（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于，两点.当时，求实数的值.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)先求双曲线的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线的标准方程

(2)设，构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的表达式求出结果

【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，，

设双曲线的标准方程为，

则解得

∴双曲线的标准方程为.

（2）双曲线的渐近线方程为，.

设，.

由，消去化简得，

由，

得.∵，

，

∴，即.

【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法

19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米．

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【答案】(1) 17.5 L. (2) 当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.

【详解】本试题主要考查了导数在物理中的运用．

解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,

要耗油(.

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.

(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=()·,

(x)= 其中0＜x≤120

令(x)=0，得x=80.

当x∈(0,80)时，(x)＜0,h(x)是减函数;

当x∈(80,120)时，(x)＞0,h(x)是增函数.

∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.

因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，

最少为11.25升.

20．设函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的极大值和极小值；

(3)当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

【答案】(1)

(2)极大值为，极小值为

(3)证明详见解析

【分析】（1）利用导数，根据切点和斜率求得切线方程.

（2）利用导数求得的单调区间，进而求得的极大值和极小值.

（3）结合（2）化简恒成立的不等式，结合二次函数、一元二次不等式等知识证得结论成立.

【详解】（1）当时，，，

，所以曲线在点处的切线方程为，

整理得.

（2），

，

当时，在区间上单调递减；

在区间上单调递增，

所以的极小值为，极大值为.

（3）由得，当时，.

由（2）知，在上是减函数，

要使，只要，

即，

，

由于，所以，

所以，

解得或，

所以在区间上存在，

使得不等式对任意的恒成立．

【点睛】利用导数求曲线的切线方程，首先判断是已知点在曲线上还是曲线外，然后把握两个关键点，一个关键点是切点坐标，另一个关键点是切线的斜率.切线的斜率可以导数求得，也可以利用切线上两点的坐标求得.切点既在曲线上，也在切线上.

21．设数列的首项为常数，且.

(1)证明：是等比数列；

(2)若，求数列的通项及前项的和；

(3)若是严格增数列，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)，

(3)

【分析】（1）由条件的递推公式构造数列，利用等比数列定义证明即可；

（2）由（1）的结论及等比数列求和公式计算即可；

（3）利用数列与函数的单调性，分类讨论计算即可.

【详解】（1）由可得：，即是常数，

又，即，故是以为首项，-2为公比的等比数列；

（2）结合（1）可得：，

记为前项的和，

则

；

（3）由上可得：，

若为严格增数列，则，

对任意自然数恒成立，化简得，

若为偶数，则，令，显然在定义域上单调递减，即，

若为奇数，则，令，显然在定义域上单调递增，即，

综上