重庆市涪陵第七中学校2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题 (含答案)

这是一份重庆市涪陵第七中学校2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题 (含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市涪陵第七中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题：（共48分）
1．﹣5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）
A．正方体 B．四棱锥
C．圆柱 D．球
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a6 B．a2+a5＝a7 C．a2•a4＝a8 D．a9÷a3＝a3
4．在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（　　）
A．抽取乙校初二年级学生进行调查 B．在丙校随机抽取600名学生进行调查
C．随机抽取150名老师进行调查 D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调查
5．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
6．如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（　　）

A．26° B．27° C．28° D．32°
7．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：5 C．： D．4：9
8．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）

A．1.4米 B．3.9米 C．4.0米 D．16.6米


10．甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（　　）

A．80km/h B．90km/h C．100km/h D．110km/h
11．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（　　）

A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
二、填空题：（共24分）
13．某冠状病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表示为 　 　．
14．计算：＝　 　．
15．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为 　 　．

16．有4张正面分别标有数字﹣3、1、2、3的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是 　 　．
17．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为　 　．

18．每年3﹣6月都是草莓、樱桃、枇杷销售的旺季，水果批发商都会大量采购，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地囤货．4月份某水果批发商统计前半个月销量后发现，草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，随着气温升高，后半个月水果总销量将在前半个月基础上有所增加，后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，但草莓由于已过销售旺季，后半个月与前半个月相比，销量有所减少，后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，则樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为 　 　．
三、解答题：（共78分）
19．计算：
（1）（a+b）2﹣a（a﹣2b）；
（2）÷（﹣a﹣1）．

20．如图，已知△ABC满足AB＜BC＜AC．
（1）用尺规作图在边AC上确定一点P，使得PB＝PC（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝AP，∠ABC﹣∠A＝37°，求∠C的大小．

21．近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会．为了宣传近视防控知识，某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：

【三】两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
73
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数．
22．某数学学习小组根据以往学习函数的经验，研究函数y＝的图象和性质．列表如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…

1

m
4
3
n
1

…
（1）直接写出m、n的值：m＝　 　．n＝　 　；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：　 　．
（3）已知函数y＝|x+1|的图象如图所示，请结合图象，直接写出方程|x+1|＝的解（精确到0.1，误差不超过0.2）　 　．

23．火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
24．对于一个三位自然数m，如果m满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的百位数字与十位数字之和等于个位数字的两倍，那么称这个数m为“巧数”．对于一个“巧数”m，将m的百位与十位数字对调得到新数n，记F（m）＝．例如：m＝153，因为1+5＝2×3，所以153是一个“巧数”，那么n＝513，所以F（153）＝＝6．
（1）写出最小和最大的“巧数”m，并求出对应的F（m）的值；
（2）若s是“巧数”，且s＝100x+10y+z（1≤x＜y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数），规定Q（s）＝，当F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数时，求Q（s）最小值．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P（点P不与B、C两点重合），过点P作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

26．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．

（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．

参考答案
一、选择题：（共48分）
1．解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
2．解：四棱锥的主视图与俯视图不同．
故选：B．
3．解：A．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
B．a2与a5不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a2•a4＝a6，故本选项不合题意；
D．a9÷a3＝a6，故本选项不合题意；
故选：A．
4．解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调查最具有具体性和代表性，
故选：D．
5．解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题．
故选：C．
6．解：∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠ADC＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠ACB＝∠D，
∴∠ACB+26°+∠D＝90°，
∴∠ACB＝32°，
∴∠ABC＝∠ACB＝32°，
故选：D．
7．解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，
∴它们的面积比为4：9，
故选：D．
8．解：设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意得：，
故选：D．
9．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．

∴则四边形EFAG是矩形，
∴AG＝EF，AF＝EG，
Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，
∵DE＝6.5米，
∴EF＝2.5米，DF＝6米，
∵AD＝12米，
∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，
在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，
∴CG＝EG＝18米，
Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，
∴AB＝AD•tan54°≈12×1.38＝16.56（米），
∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，
即宣传牌BC的高度为3.9米．
故选：B．
10．解：由图象可知：AC之间的距离为80千米，
两车的速度差为：80÷2＝40（千米/小时），
设乙车原速度为x千米/小时，则乙车后来速度为2x千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，由题意得：
3（x+40）﹣80+4x＝460，
解得：x＝60，
即：乙车原速度为60千米/小时，则乙车后来速度为120千米/小时，甲的速度为100千米/小时．
故选：C．
11．解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜，
∵不等式组有解且至多3个整数解，
∴﹣1＜≤2，
∴﹣3＜m≤6，
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），
∴x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠5，
∵方程有整数解，
∴m﹣2＝±1，±3，
解得：m＝3，1，5，﹣1，
∵m≠5，﹣3＜m≤6，
∴m＝3，1，﹣1，
故选：C．
12．解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OA＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AOE+∠OEA＝90°，
∴∠OEA＝∠COF，
在△OAE和△COF中，
，
∴△OAE≌△COF（AAS），
∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，
∴A（﹣b，a），
∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，
∴D是AC的中点，
∴D（），
∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝，即a2﹣b2＝4ab，
∵B点的纵坐标为4，
∴D点纵坐标为，即a+b＝4，
联立方程组，
解得，，或（舍去），
∴k＝ab＝2﹣2．
故选：C．
二、填空题：（共24分）
13．解：0.00000012＝1.2×10﹣7，
故答案是：1.2×10﹣7．
14．解：
＝9﹣1+2﹣
＝10﹣．
故答案为：10﹣．
15．解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，

∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝+，
故答案为：+．
16．解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有6种，
∴抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为＝，
故答案为：．
17．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．

18．解：∵前半个月草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，
∴设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为（1+）x＝x，
∵后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，
∴设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月枇杷的销量2y，
设后半个月草莓销量为z，
∵4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，
∴＝，变形化简得y＝x，
∵后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，
∴＝，变形化简得z＝x﹣y，
∴z＝x﹣×x＝x，
∴樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为＝＝，
故答案为：．
三、解答题：（共70分）
19．解：（1）原式＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab
＝4ab+b2．
（2）原式＝÷
＝•
＝
＝
＝．
20．解：（1）如图，点P为所作；

（2）设∠C＝α，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠C＝α，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，
∵AB＝AP，
∴∠ABP＝∠APB＝2α，
∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝3α，
∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，
而∠ABC﹣∠A＝37°，
∴2∠ABC+∠C＝180°+37°，
即6α+α＝217°，解得α＝31°，
即∠C＝31°．
21．解：（1）由题干数据可知a＝（74+74）÷2＝74，
（1﹣32%﹣32%﹣4%）÷2＝16%，
∴m＝16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人），
补全条形统计图如图：

答：a＝74，m＝16；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）1800×+1700×2×16%
＝792+544
＝1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
22．解：（1）将x＝﹣2代入y＝，
解得y＝3，
∴m＝3，
将x＝1代入y＝，
解得y＝，
∴n＝，
故答案为：3，．
（2）如图，

曲线y＝关于直线x＝﹣1对称．
（3）由图象可得x＝0.9或x＝﹣2.9满足题意．
故答案为：x＝0.9或x＝﹣2.9．
23．解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
24．解：（1）设“巧数”m＝（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c是互不相等的整数），
则a+b＝2c，
∴c＝（a+b），
∴a+b必是偶数，
当m最小时，a＝1，b＝3，c＝2，
即最小的“巧数”m＝132，
∴F（m）＝F（132）＝＝4，
当m最大时，a＝9，b＝7，c＝8，
即最大的“巧数”m＝978，
∴F（m）＝F（978）＝＝16；
（2）∵s是“巧数”，且s＝100x+10y+z，
∴x+y＝2z，
∴F（s）＝
＝＝＝2z，
当1≤z≤4时，
F（s）与s的个位数字之和为2z+z＝3z，
∵F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数，
∴3z是完全平方数，
∴3z＝3或12，
∵z均为整数，
∴z＝1或3，
∵1≤x＜y≤9，且x+y＝2z，
∴3≤z＜4，
∴z＝3，
∴x+y＝6，
∴Q（s）＝＝
＝
＝90+，
∵x+y＝6，1≤x＜y≤9，
∴x最大＝2，
Q（s）最小＝90+＝121.5，

当5≤z≤9时，
F（s）与s的个位数字之和为2z﹣10+z＝3z﹣10，
∵F（s）与s的个位数字之和是一个完全平方数，
∴3z﹣10是完全平方数，
∵5≤3z﹣10≤17，
∴3z﹣10＝9或16，
∴z＝或，
∵z均为整数，
∴都不符合题意，
即Q（s）最小＝90+＝121.5．
25．解：（1）设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入点C（0，﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作GF⊥PE于点F．

又OC＝OB＝3，则∠OCB＝∠GEP＝45°．
∵AC∥PG
∴∠ACB＝∠CGP．
即∠ACO+∠OCB＝∠GEP+∠GPE，
∴∠ACO＝∠GPE．
∴tan∠GPE＝tan∠ACO＝，
∴，
∴PF＝3GF．
又∠GEF＝45°，
∴EF＝GF．
∴PE＝PF+EF＝4GF．
又在Rt△GFP中，由勾股定理得：PG＝．
∴PG＝．
设点P（t，t2﹣2t﹣3）
∵B（3，0），C（0，﹣3）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
∴点E坐标为（t，t﹣3）
∴PE＝yE﹣yP＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴PG＝（﹣t2+3t）＝，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，PG有最大值，
此时点P（）．
（3）依题意，抛物线沿射线BC平移个单位即抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位．
平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣3，对称轴为直线x＝2．
故设点M（2，m），又A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
∴AC＝，
AM＝，
CM＝．
由题意知，以AC为腰的等腰三角形△ACM有两种情况：
①如图2，当AC＝AM时

，
m1＝1，m2＝﹣1．
M1（2，1），M2（2，﹣1）．
由平行四边形对角线互相平分可知：

∴N1（3，﹣2），N2（3，﹣4）
②如图3，当CA＝CM

，
m3＝，m4＝﹣3﹣．
M3（2，﹣3+），M4（2，﹣3﹣）．
∴N3（1，），N4（1，﹣），
综上：使以AC为边的菱形的N点有：N1（3，﹣2），N2（3，﹣4），N3（1，），N4（1，﹣）．
26．解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：

∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
∴在直角△BDG中有DG＝＝2，＝，
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG+CG＝，
∴AC＝BC＝；
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：

∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°
∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，
∴∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，FG＝BE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
在Rt△ABD中，AD＝，BD＝BE＝，
∴FG＝BE，
∴FG＝，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
∴MG＝MB＝，
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴MF＝MG，
∴MF＝，
∴BF＝BM+MF＝，
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
∴FH＝＝a，
∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝，
又∵CD＝＝，
∴＝，
∴HG＝；
（3）设AB＝a，则BC＝，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，

由旋转可知A′B＝AB＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴，
又∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴＝，
∴A'N＝A'C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，

∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''FAD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
∵又A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，
∴42＝22+（4﹣x）2，
解得x＝．
∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．