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重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题
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这是一份重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题，文件包含重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题解析版docx、重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
月考模拟（2）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题
1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照实数的大小比较法则进行比较即可找到最小的数．
【详解】∵，
∴最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，掌握这些法则是关键．
2. 如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，是一个标准“L”型，从而可确定答案．
【详解】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，故是C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由小正方体组成的几何图形的三视图，一定的空间想象力是解决问题的关键．
3. 一天，张阿姨从家匀速步行去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来时的速度匀速回到了家．则张阿姨离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】解：图象应分三个阶段，
第一阶段：匀速步行去超市，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在超市停留了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D项不合题意；
第三阶段：用快于来时的速度匀速回到了家，即最终距离为0，即B项不符合题意，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则此时的这段直线更陡峭，则A项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的直线的倾斜度判断运动的速度是解决本题的关键．
4. 如图，在平行四边形中，为线段一点，连接，若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合，可得，再用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是解题关键．
5. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再估算，求和判断即可．
【详解】因为，，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估算，熟练掌握二次根式的化简和估算是解题的关键．
6. 受世界经济下滑的影响，某服装厂今年9月的月产值为万元，月下降到万元，若设这两个月平均每月减少产值的百分率为，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据：9月的产值减少的百分率11月的产值，列出方程即可．
【详解】由题意得：；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率或降低率问题上的应用，根据题意找到等量关系列方程是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点为位似中心，其位似比为1∶2，若点，则其对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标．
【详解】由题意得：
故选：D．
【点睛】本题考查了两个图形的位似知识，当位似的两个图形在原点的同侧时，位似比为正；否则为负，掌握此点是关键．
8. 如图，为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，则由勾股定理可求得的长，由三角函数知识可求得，由圆的基本性质可求得，由等腰三角形的性质可得．
【详解】连接，如图．
∵为切线，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题就要考查了切线的性质，特殊角的三角函数，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，灵活运用它们是关键．
9. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有11个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A. 27 B. 31 C. 33 D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】把图形分成上下两层，分别确定各层中黑色三角形数目的变化规律，求和计算即可．
【详解】把图形分成上下两层，
上层黑色三角形数目的变化规律是：1，3，5，…，下层黑色三角形数目的变化规律是：2，4，6，…，
所以整个图形中黑色三角形数目的变化规律是： ，
所以第n个图形中有个黑色三角形，
当；
故选B．
【点睛】本题考查了图形中数字的规律，找到正确的规律探解方法是解题的关键．
10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、，交于点．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中点及中位线定理可求得、，由勾股定理求得菱形的边长，由及相似三角形的性质可求得，利用面积关系可求得结果．
【详解】∵点、分别是、的中点，
∴,，，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
设H到的距离为d，
则，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，等积关系，利用相似是关键．
11. 若关于一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和．
【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为，
解得，
因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根，
所以且，
解得且，
所以且，
因为非正整数解，
所以a的值为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键．
12. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：
①；
②若，则，；
③的解集为或；
④函数与直线（为常数）有3个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据新定义，分类计算判断即可．
【详解】因为，且，
所以，
故①正确；
当时，，
解得，，符合题意；
当即时，，
所以，此时即，显然不成立，
所以②正确；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是或；
所以③不正确；
当即时，此时
因为，
图像为抛物线上的一部分；
当即时，此时或，
因为，
图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下：
故当时，函数与直线（为常数）有3个交点．
所以④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算和二次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键．
二、填空题
13. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】由立方根的概念、零指数幂的意义即可完成．
【详解】；
故答案为：3．
【点睛】本题是实数的运算，考查了立方根的计算，零指数幂的意义，掌握这两个知识点是关键．
14. 在一个不透明的口袋里装有除标号外其余完全相同的四个小球，小球上分别标有2，，3，0这四个数字，从袋中随机摸出一个小球，其标号记为，再从袋中剩余的小球随机摸出一个，其标号记为，则的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用树状图或列表法，求得所有可能的结果数及的结果数，用概率公式计算即可．
【详解】列出树状图如下：
所有可能结果数为种，其中的结果数有10种，所以的概率是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求事件的概率，关键是画出树状图，求得所有可能的结果数及的结果数．
15. 如图，四边形是正方形，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，，代入计算即可．
【详解】因为，四边形是正方形，
所以，
因为，
所以
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，分割法计算阴影的面积，熟练掌握扇形面积公式，科学分割是解题的关键．
16. 月某花店从花农处进货了甲、乙、丙三种鲜花，数量分别为、、，甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，由于近期销售火爆，月花农对这三种鲜花的价格进行了调整，该花店也相应调整了进货量，相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，月采购甲与乙的总费用之比为，月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，则为______．
【答案】
【解析】
【分析】由甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，设甲鲜花的单价为，则乙丙两种鲜花的单价分别为、，由月所购数量可得它们在本月的费用；由月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，则可得月采购乙的总费用；由月采购甲与乙的总费用之比为，可得月采购甲的总费用，则得月采购增加的费用；再由相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，可求得采购三种鲜花的总费用，进而得到采购丙鲜花的费用，最后由采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，得到、、的关系，进而求得结果．
【详解】∵甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，设甲鲜花的单价为，
∴乙丙两种鲜花的单价分别为、，
∴月所购甲、乙、丙三种鲜花数量在本月的费用分别为、、；
∵月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，
∴月采购乙的总费用为；
∵月采购甲与乙的总费用之比为，
∴月采购甲的总费用为，
∴月采购增加的费用为；
∵相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，
∴月采购三种鲜花的总费用为，
∴采购丙鲜花的费用为；
∴乙、丙月采购鲜花增加的费用分别为：、
∵采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，
∴，
由，得；由，得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，解方程组等知识，题目较难，找准入手是关键，注意引入参量也是关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用单项式乘多项式及完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）先计算括号里的加法，再计算除法即可，最后约分化成最简分式．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是关键．
18. 如图，在矩形中，是上一点，连接．
（1）用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．
（2）证明：
∵四边形为矩形
∴，， ①
∵
∴ ②
∴，
∴ ③
即 ④
又∵
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可；
（2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明：∵四边形为矩形
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴
即
又∵
∴四边形是平行四边形．
故答案为：，，，
【点睛】本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键．
19. 《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，通过演播室比赛的形式，重温经典诗词，继承和发扬中华优秀传统文化，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣．现已成功播出7季，深受观众的喜欢和热捧．《中国诗词大会》第8季正在各地火热选拔．某校为了选择优秀同学参加《中国诗词大会》第8季选拔，在七、八年级所有同学中进行了初赛．现从七、八年级中各随机抽取20名初赛成绩的数据（单位：分）进行整理和分析，共分为四个分数段（表示初赛成绩，取整数）：．；．；．；．，初赛成绩不低于90分进入下一轮复赛，下面给出部分信息：
七年级抽取20名同学初赛成绩数据为：45，48，50，55，56，60，60，60，63，64，72，75，77，77，78，81，83，88，92，96．
八年级抽取20名同学初赛成绩在分数段的所有数据为：71，71，72，74，76．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
69
68
八年级
69
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为______度，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，初赛成绩哪个年级更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级有人，八年级有人，估计七、八年级能进入复赛的同学共有多少人？
【答案】（1），，，见解析
（2）八年级，理由见解析
（3）人
【解析】
【分析】（1）由七年级的成绩中出现次数最多的即可求得a的值；由八年级成绩统计图即可求得b的值；七年级C分数段的人数与总人数的比乘即可；求得八年级中C分数段的人数，即可补全统计图；
（2）根据中位数八年级的高于七年级的即可说明；
（3）分别计算出两个年级抽取的学生中进入复赛的百分比，即可求得全年级进入复赛的人数，进而求得两个年级进入复赛的总人数．
【小问1详解】
解：七年级抽取20名同学初赛成绩数据中，分出现的次数最多，则；由八年级抽取20名同学初赛成绩统计图知，A分数段的人数有8人，则位于最中间的两个数分别是，其平均数为，故；七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为；（人），即八年级中位于C分数段的学生有4人，补充的统计图如下：
【小问2详解】
解：八年级成绩更好；八年级学生的中位数高于七年级．
【小问3详解】
七八两个年级抽取的学生中进入复赛的百分比分别为：，，七八两个年级抽取的学生中进入复赛的人数分别为：（人），（人），估计七、八年级能进入复赛的同学共有(人)．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及统计表，画条形统计图，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本的百分数估计总体的数量等知识，读懂统计图与统计表，掌握相关知识是关键．
20. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点，反比例函数的部分图象如图所示．
（1）求出一次函数的解析式，并在网格中画出该一次函数的图象及补全反比例函数的图象；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集；
（3）将一次函数向下平移后交轴于点，若，求出点的坐标．
【答案】（1），图象见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求得的值，即求得反比例函数解析式；把点B的坐标代入，可求得n的值，从而得点B的坐标，把A、B两点坐标代入一次函数解析式中，即可求得一次函数解析式；根据所求的两个函数解析式，可画出一次函数的图象，补全反比例函数图象；
（2）找到反比例函数图象位于一次函数图象下方或相交时变量的取值，即可求得不等式的解集；
（3）设直线交y轴于点D，则可求得其坐标；设，则可得的长，设、的边上的高分别为、，由A、B的坐标可得，，由
，可得关于c的方程，解方程即可求得c，从而求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：把点A坐标代入反比例函数中，得：，则，
∴反比例函数解析式为；
把点B的坐标代入中，，
∴，
∴点B的坐标，
把A、B两点坐标代入中，得，
解得：，
即一次函数的解析式为；
画出的一次函数图象与补全的反比例函数图象如下：
【小问2详解】
解：由图象知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象的下方或相交，则的解集为：或；
小问3详解】
解：设直线交y轴于点D，如图，
在中，令，得，即点，
设，其中，则，
设、的边上的高分别为、，则，，
由题意，
即，
解得：，
所以点C的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求不等式的解集等知识，注意数形结合．
21. 2022年卡塔尔世界杯吉祥物la’eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的1．5倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多5个．
（1）求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶500个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定䧄价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为75000元，求的值．
【答案】（1）80元，120元
（2）10
【解析】
【分析】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，根据题意，得，解分式方程即可．
（2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，根据题意，得，解方程即可．
【小问1详解】
设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
所以，
答：小拉伊卜玩偶售价为80元，大拉伊卜玩偶售价是120元．
【小问2详解】
根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，
根据题意，得，
解得（舍去）．
故a的值为10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握两种的方程的应用是解题的关键．
22. 如图，某火车站位于东西方向火车轨道上，小区在火车站的西北方向400米处，小区在火车站的北偏东15°方向上，小区在小区的北偏东60°方向上．
（1）求火车站与小区之间的距离（精确到1米）；
（2）火车在行驶过程中，周围300米内都能听到它发出的噪声，深夜更加明显，一列火车从火车站向西行驶，火车发出的噪声会影响小区的住户吗？如果受到影响，需要在轨道旁安装降噪装置，请求出需安装降噪装置的轨道长度；如果不受影响，请说明理由（参考数据：，）．
【答案】（1）546米
（2）受影响，安装降噪装置的轨道长度200米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得过点B作于点D，得到根据米，求得米，米，结合计算即可．
（2）过点B作于点M，得到，根据米，求得米，小于300米，判定受到影响，以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，得到米 ．
小问1详解】
如图，根据题意，得
所以
过点B作于点D，
所以
所以，
因为米，
所以米，米，
所以（米）．
【小问2详解】
受到影响，理由如下：
过点B作于点M，
所以，
因为米，
所以米，小于300米，
所以小区B受到影响，
以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，
所以米 ．
【点睛】本题考查了解斜三角形，解直角三角形的应用，判定是否受影响，熟练掌握化斜为直的基本辅助线，正确判定是否受到影响是解题的关键．
23. 阅读下列材料．
对于一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和的三倍，则称这个数是“3倍和数”，例如：，，是“3倍和数”；又如：，，不是“3倍和数”．
（1）判断，是否是“3倍和数”，并说明理由；
（2）若是一个“3倍和数”，满足既能被5整除又能被2整除，且满足为7的倍数，求出所有满足条件的．
【答案】（1）是“3倍和数”，不是“3倍和数”，理由见解析
（2），，，，
【解析】
【分析】（1）根据题中“3倍和数”的定义验证即可；
（2）由满足既能被5整除又能被2整除，则个位数字为0，即；由是一个“3倍和数”，则；由为7的倍数，即为7的倍数，由此出发，对c的取值一一讨论即可．
【小问1详解】
是“3倍和数”，不是“3倍和数”
∵，
∴是“3倍和数”；
∵，
∴不是“3倍和数”；
故是“3倍和数”，不是“3倍和数”；
【小问2详解】
∵满足既能被5整除又能被2整除，
∴个位数字为0，即；
∵是一个“3倍和数”，
∴；
∵为7的倍数，
∴为7的倍数，
而
，
∴为7的倍数，
M
1
3
8
2
6
(不合)
不存在
3
2
3
4
5
11（不合）
不存在
5
1
-2（不合）
不存在
6
4
6
7
7的倍数
为负数或大于9（不合）
不存在
8
3
1
9
6
9
由表格知，所有满足条件的M为，，，，．
【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式，关键是掌握整数的有关性质，理解新定义，注意分类讨论．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，点为直线上方抛物线上（不与、重合）的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，过点作，垂足为点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线绕线段的中点旋转180°得到新抛物线，点为新抛物线上一点，在轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可．
（2）连接，确定点A的坐标，判定是直角三角形，结合，
，得到，得到，确定直线的解析式为，设，则，，构造二次函数计算即可．
（3）确定变化后的抛物线解析式，利用平移思想计算即可．
【小问1详解】
因为抛物线过，点，
所以，
解得，
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
连接，
因为的对称轴为直线，，
所以点，
所以是直角三角形，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线的解析式为，
因为点为直线上方抛物线上，
设，则，，
所以，，
所以
=，
所以当时，的最大值为，此时，
所以．
【小问3详解】
因为将原抛物线绕线段的中点旋转180°得到新抛物线，
所以点B，点C仍在抛物线，
因为，
所以，
因为，
所以其对称点，
设，
所以，
解得，
所以抛物线，
因为，且为平行四边形一边，
当从点平移到得到时，其平移规律是向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
因为点M在x轴上，且，
根据平行四边形的性质，得到，
所以点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点N
所以，
因为在抛物线上，
所以，
解得，
所以或；
当从点平移到得到时，其平移规律是向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
因为点M在x轴上，且，
根据平行四边形的性质，得到，
所以点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点N
所以，
因为在抛物线上，
所以，
解得，
所以或；
综上所述点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，锐角三角函数，构造二次函数求面积的最值，平移思想确定平行四边形的顶点坐标，熟练掌握解析式的确定方法，准确构造二次函数，活用平移思想是解题的关键．
25. 如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．
（1）如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．
（2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．
（3）如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）结合，，得到，继而得到，结合，证明，得出，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，进而证明，，得出是等腰直角三角形，，即可得证；
（3）根据已知条件设，则，，得出，则，延长至，延长交于点，得出，在上截取，过点作于点，连接，构造，依题意当三点共线时，取得最小值进而求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，是的角平分线，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，延长至，使得，连接
∵点为线段的中点，
∴，
在与中
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∵当线段与线段存在交点且时，
∴，
∴，
如图，延长至，延长交于点，
由（2）可知是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，在上截取，过点作于点，连接
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，
此时，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，求正切，构造相似三角形与全等三角形是解题的关键．
月考模拟（2）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题
1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照实数的大小比较法则进行比较即可找到最小的数．
【详解】∵，
∴最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，掌握这些法则是关键．
2. 如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，是一个标准“L”型，从而可确定答案．
【详解】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，故是C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由小正方体组成的几何图形的三视图，一定的空间想象力是解决问题的关键．
3. 一天，张阿姨从家匀速步行去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来时的速度匀速回到了家．则张阿姨离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】解：图象应分三个阶段，
第一阶段：匀速步行去超市，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在超市停留了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D项不合题意；
第三阶段：用快于来时的速度匀速回到了家，即最终距离为0，即B项不符合题意，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则此时的这段直线更陡峭，则A项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的直线的倾斜度判断运动的速度是解决本题的关键．
4. 如图，在平行四边形中，为线段一点，连接，若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合，可得，再用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是解题关键．
5. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再估算，求和判断即可．
【详解】因为，，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估算，熟练掌握二次根式的化简和估算是解题的关键．
6. 受世界经济下滑的影响，某服装厂今年9月的月产值为万元，月下降到万元，若设这两个月平均每月减少产值的百分率为，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据：9月的产值减少的百分率11月的产值，列出方程即可．
【详解】由题意得：；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率或降低率问题上的应用，根据题意找到等量关系列方程是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点为位似中心，其位似比为1∶2，若点，则其对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标．
【详解】由题意得：
故选：D．
【点睛】本题考查了两个图形的位似知识，当位似的两个图形在原点的同侧时，位似比为正；否则为负，掌握此点是关键．
8. 如图，为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，则由勾股定理可求得的长，由三角函数知识可求得，由圆的基本性质可求得，由等腰三角形的性质可得．
【详解】连接，如图．
∵为切线，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题就要考查了切线的性质，特殊角的三角函数，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，灵活运用它们是关键．
9. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有11个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A. 27 B. 31 C. 33 D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】把图形分成上下两层，分别确定各层中黑色三角形数目的变化规律，求和计算即可．
【详解】把图形分成上下两层，
上层黑色三角形数目的变化规律是：1，3，5，…，下层黑色三角形数目的变化规律是：2，4，6，…，
所以整个图形中黑色三角形数目的变化规律是： ，
所以第n个图形中有个黑色三角形，
当；
故选B．
【点睛】本题考查了图形中数字的规律，找到正确的规律探解方法是解题的关键．
10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、，交于点．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中点及中位线定理可求得、，由勾股定理求得菱形的边长，由及相似三角形的性质可求得，利用面积关系可求得结果．
【详解】∵点、分别是、的中点，
∴,，，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
设H到的距离为d，
则，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，等积关系，利用相似是关键．
11. 若关于一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和．
【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为，
解得，
因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根，
所以且，
解得且，
所以且，
因为非正整数解，
所以a的值为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键．
12. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：
①；
②若，则，；
③的解集为或；
④函数与直线（为常数）有3个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据新定义，分类计算判断即可．
【详解】因为，且，
所以，
故①正确；
当时，，
解得，，符合题意；
当即时，，
所以，此时即，显然不成立，
所以②正确；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是或；
所以③不正确；
当即时，此时
因为，
图像为抛物线上的一部分；
当即时，此时或，
因为，
图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下：
故当时，函数与直线（为常数）有3个交点．
所以④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算和二次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键．
二、填空题
13. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】由立方根的概念、零指数幂的意义即可完成．
【详解】；
故答案为：3．
【点睛】本题是实数的运算，考查了立方根的计算，零指数幂的意义，掌握这两个知识点是关键．
14. 在一个不透明的口袋里装有除标号外其余完全相同的四个小球，小球上分别标有2，，3，0这四个数字，从袋中随机摸出一个小球，其标号记为，再从袋中剩余的小球随机摸出一个，其标号记为，则的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用树状图或列表法，求得所有可能的结果数及的结果数，用概率公式计算即可．
【详解】列出树状图如下：
所有可能结果数为种，其中的结果数有10种，所以的概率是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求事件的概率，关键是画出树状图，求得所有可能的结果数及的结果数．
15. 如图，四边形是正方形，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，，代入计算即可．
【详解】因为，四边形是正方形，
所以，
因为，
所以
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，分割法计算阴影的面积，熟练掌握扇形面积公式，科学分割是解题的关键．
16. 月某花店从花农处进货了甲、乙、丙三种鲜花，数量分别为、、，甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，由于近期销售火爆，月花农对这三种鲜花的价格进行了调整，该花店也相应调整了进货量，相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，月采购甲与乙的总费用之比为，月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，则为______．
【答案】
【解析】
【分析】由甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，设甲鲜花的单价为，则乙丙两种鲜花的单价分别为、，由月所购数量可得它们在本月的费用；由月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，则可得月采购乙的总费用；由月采购甲与乙的总费用之比为，可得月采购甲的总费用，则得月采购增加的费用；再由相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，可求得采购三种鲜花的总费用，进而得到采购丙鲜花的费用，最后由采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，得到、、的关系，进而求得结果．
【详解】∵甲、乙、丙三种鲜花单价之比为，设甲鲜花的单价为，
∴乙丙两种鲜花的单价分别为、，
∴月所购甲、乙、丙三种鲜花数量在本月的费用分别为、、；
∵月采购乙的总费用与月采购乙的总费用之比为，
∴月采购乙的总费用为；
∵月采购甲与乙的总费用之比为，
∴月采购甲的总费用为，
∴月采购增加的费用为；
∵相较于月，花店采购甲增加的费用占月所有鲜花采购费用的，
∴月采购三种鲜花的总费用为，
∴采购丙鲜花的费用为；
∴乙、丙月采购鲜花增加的费用分别为：、
∵采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为，
∴，
由，得；由，得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，解方程组等知识，题目较难，找准入手是关键，注意引入参量也是关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用单项式乘多项式及完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）先计算括号里的加法，再计算除法即可，最后约分化成最简分式．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是关键．
18. 如图，在矩形中，是上一点，连接．
（1）用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．
（2）证明：
∵四边形为矩形
∴，， ①
∵
∴ ②
∴，
∴ ③
即 ④
又∵
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可；
（2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明：∵四边形为矩形
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴
即
又∵
∴四边形是平行四边形．
故答案为：，，，
【点睛】本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键．
19. 《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，通过演播室比赛的形式，重温经典诗词，继承和发扬中华优秀传统文化，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣．现已成功播出7季，深受观众的喜欢和热捧．《中国诗词大会》第8季正在各地火热选拔．某校为了选择优秀同学参加《中国诗词大会》第8季选拔，在七、八年级所有同学中进行了初赛．现从七、八年级中各随机抽取20名初赛成绩的数据（单位：分）进行整理和分析，共分为四个分数段（表示初赛成绩，取整数）：．；．；．；．，初赛成绩不低于90分进入下一轮复赛，下面给出部分信息：
七年级抽取20名同学初赛成绩数据为：45，48，50，55，56，60，60，60，63，64，72，75，77，77，78，81，83，88，92，96．
八年级抽取20名同学初赛成绩在分数段的所有数据为：71，71，72，74，76．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
69
68
八年级
69
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为______度，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，初赛成绩哪个年级更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级有人，八年级有人，估计七、八年级能进入复赛的同学共有多少人？
【答案】（1），，，见解析
（2）八年级，理由见解析
（3）人
【解析】
【分析】（1）由七年级的成绩中出现次数最多的即可求得a的值；由八年级成绩统计图即可求得b的值；七年级C分数段的人数与总人数的比乘即可；求得八年级中C分数段的人数，即可补全统计图；
（2）根据中位数八年级的高于七年级的即可说明；
（3）分别计算出两个年级抽取的学生中进入复赛的百分比，即可求得全年级进入复赛的人数，进而求得两个年级进入复赛的总人数．
【小问1详解】
解：七年级抽取20名同学初赛成绩数据中，分出现的次数最多，则；由八年级抽取20名同学初赛成绩统计图知，A分数段的人数有8人，则位于最中间的两个数分别是，其平均数为，故；七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为；（人），即八年级中位于C分数段的学生有4人，补充的统计图如下：
【小问2详解】
解：八年级成绩更好；八年级学生的中位数高于七年级．
【小问3详解】
七八两个年级抽取的学生中进入复赛的百分比分别为：，，七八两个年级抽取的学生中进入复赛的人数分别为：（人），（人），估计七、八年级能进入复赛的同学共有(人)．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及统计表，画条形统计图，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本的百分数估计总体的数量等知识，读懂统计图与统计表，掌握相关知识是关键．
20. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点，反比例函数的部分图象如图所示．
（1）求出一次函数的解析式，并在网格中画出该一次函数的图象及补全反比例函数的图象；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集；
（3）将一次函数向下平移后交轴于点，若，求出点的坐标．
【答案】（1），图象见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求得的值，即求得反比例函数解析式；把点B的坐标代入，可求得n的值，从而得点B的坐标，把A、B两点坐标代入一次函数解析式中，即可求得一次函数解析式；根据所求的两个函数解析式，可画出一次函数的图象，补全反比例函数图象；
（2）找到反比例函数图象位于一次函数图象下方或相交时变量的取值，即可求得不等式的解集；
（3）设直线交y轴于点D，则可求得其坐标；设，则可得的长，设、的边上的高分别为、，由A、B的坐标可得，，由
，可得关于c的方程，解方程即可求得c，从而求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：把点A坐标代入反比例函数中，得：，则，
∴反比例函数解析式为；
把点B的坐标代入中，，
∴，
∴点B的坐标，
把A、B两点坐标代入中，得，
解得：，
即一次函数的解析式为；
画出的一次函数图象与补全的反比例函数图象如下：
【小问2详解】
解：由图象知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象的下方或相交，则的解集为：或；
小问3详解】
解：设直线交y轴于点D，如图，
在中，令，得，即点，
设，其中，则，
设、的边上的高分别为、，则，，
由题意，
即，
解得：，
所以点C的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求不等式的解集等知识，注意数形结合．
21. 2022年卡塔尔世界杯吉祥物la’eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的1．5倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多5个．
（1）求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶500个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定䧄价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为75000元，求的值．
【答案】（1）80元，120元
（2）10
【解析】
【分析】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，根据题意，得，解分式方程即可．
（2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，根据题意，得，解方程即可．
【小问1详解】
设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
所以，
答：小拉伊卜玩偶售价为80元，大拉伊卜玩偶售价是120元．
【小问2详解】
根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，
根据题意，得，
解得（舍去）．
故a的值为10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握两种的方程的应用是解题的关键．
22. 如图，某火车站位于东西方向火车轨道上，小区在火车站的西北方向400米处，小区在火车站的北偏东15°方向上，小区在小区的北偏东60°方向上．
（1）求火车站与小区之间的距离（精确到1米）；
（2）火车在行驶过程中，周围300米内都能听到它发出的噪声，深夜更加明显，一列火车从火车站向西行驶，火车发出的噪声会影响小区的住户吗？如果受到影响，需要在轨道旁安装降噪装置，请求出需安装降噪装置的轨道长度；如果不受影响，请说明理由（参考数据：，）．
【答案】（1）546米
（2）受影响，安装降噪装置的轨道长度200米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得过点B作于点D，得到根据米，求得米，米，结合计算即可．
（2）过点B作于点M，得到，根据米，求得米，小于300米，判定受到影响，以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，得到米 ．
小问1详解】
如图，根据题意，得
所以
过点B作于点D，
所以
所以，
因为米，
所以米，米，
所以（米）．
【小问2详解】
受到影响，理由如下：
过点B作于点M，
所以，
因为米，
所以米，小于300米，
所以小区B受到影响，
以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，
所以米 ．
【点睛】本题考查了解斜三角形，解直角三角形的应用，判定是否受影响，熟练掌握化斜为直的基本辅助线，正确判定是否受到影响是解题的关键．
23. 阅读下列材料．
对于一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和的三倍，则称这个数是“3倍和数”，例如：，，是“3倍和数”；又如：，，不是“3倍和数”．
（1）判断，是否是“3倍和数”，并说明理由；
（2）若是一个“3倍和数”，满足既能被5整除又能被2整除，且满足为7的倍数，求出所有满足条件的．
【答案】（1）是“3倍和数”，不是“3倍和数”，理由见解析
（2），，，，
【解析】
【分析】（1）根据题中“3倍和数”的定义验证即可；
（2）由满足既能被5整除又能被2整除，则个位数字为0，即；由是一个“3倍和数”，则；由为7的倍数，即为7的倍数，由此出发，对c的取值一一讨论即可．
【小问1详解】
是“3倍和数”，不是“3倍和数”
∵，
∴是“3倍和数”；
∵，
∴不是“3倍和数”；
故是“3倍和数”，不是“3倍和数”；
【小问2详解】
∵满足既能被5整除又能被2整除，
∴个位数字为0，即；
∵是一个“3倍和数”，
∴；
∵为7的倍数，
∴为7的倍数，
而
，
∴为7的倍数，
M
1
3
8
2
6
(不合)
不存在
3
2
3
4
5
11（不合）
不存在
5
1
-2（不合）
不存在
6
4
6
7
7的倍数
为负数或大于9（不合）
不存在
8
3
1
9
6
9
由表格知，所有满足条件的M为，，，，．
【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式，关键是掌握整数的有关性质，理解新定义，注意分类讨论．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，点为直线上方抛物线上（不与、重合）的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，过点作，垂足为点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线绕线段的中点旋转180°得到新抛物线，点为新抛物线上一点，在轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可．
（2）连接，确定点A的坐标，判定是直角三角形，结合，
，得到，得到，确定直线的解析式为，设，则，，构造二次函数计算即可．
（3）确定变化后的抛物线解析式，利用平移思想计算即可．
【小问1详解】
因为抛物线过，点，
所以，
解得，
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
连接，
因为的对称轴为直线，，
所以点，
所以是直角三角形，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线的解析式为，
因为点为直线上方抛物线上，
设，则，，
所以，，
所以
=，
所以当时，的最大值为，此时，
所以．
【小问3详解】
因为将原抛物线绕线段的中点旋转180°得到新抛物线，
所以点B，点C仍在抛物线，
因为，
所以，
因为，
所以其对称点，
设，
所以，
解得，
所以抛物线，
因为，且为平行四边形一边，
当从点平移到得到时，其平移规律是向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
因为点M在x轴上，且，
根据平行四边形的性质，得到，
所以点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点N
所以，
因为在抛物线上，
所以，
解得，
所以或；
当从点平移到得到时，其平移规律是向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
因为点M在x轴上，且，
根据平行四边形的性质，得到，
所以点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点N
所以，
因为在抛物线上，
所以，
解得，
所以或；
综上所述点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，锐角三角函数，构造二次函数求面积的最值，平移思想确定平行四边形的顶点坐标，熟练掌握解析式的确定方法，准确构造二次函数，活用平移思想是解题的关键．
25. 如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．
（1）如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．
（2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．
（3）如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）结合，，得到，继而得到，结合，证明，得出，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，进而证明，，得出是等腰直角三角形，，即可得证；
（3）根据已知条件设，则，，得出，则，延长至，延长交于点，得出，在上截取，过点作于点，连接，构造，依题意当三点共线时，取得最小值进而求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，是的角平分线，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，延长至，使得，连接
∵点为线段的中点，
∴，
在与中
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∵当线段与线段存在交点且时，
∴，
∴，
如图，延长至，延长交于点，
由（2）可知是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，在上截取，过点作于点，连接
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，
此时，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，求正切，构造相似三角形与全等三角形是解题的关键．
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