湖北省黄石市大冶市城北中学2022-2023学年 九年级数学上学期第三次月考测试题(含答案)

这是一份湖北省黄石市大冶市城北中学2022-2023学年 九年级数学上学期第三次月考测试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄石市大冶市城北中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．将一元二次方程3x2﹣1＝﹣4x化成一般形式后，常数项为1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3、﹣4 B．﹣3、﹣4 C．3、4 D．﹣3、4
2．下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．圆的直径是13cm，如果圆心到直线的距离是7cm，那么该直线和圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
4．下列说法中正确的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数是5次
B．“任意画出一个等腰三角形，它是轴对称图形”是必然事件
C．“概率为0.00001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是随机事件
5．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（　　）
A． B． C． D．

7．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
8．已知m，n是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2n的值为（　　）
A．1011 B．2022 C．2024 D．2026
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，系列结论：（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y2）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，D是（靠近C）弧CB的三等分点，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
二、填空题（共18分）
11．关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为2，则它的另一个根为　 　．
12．小张、小王和小李三人相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动，现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们三人恰好进入同一社区的概率是 　 　．
13．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知共传染400人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了 　 　个人．
14．一个正多边形的边长为6，它的内角和是外角和的2倍，则它的边心距是　 　．
15．已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝144°，则∠BIC的大小是 　 　．
16．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P，则点P到AB所在直线的距离的最大值为 　 　．

三、解答题（共72分）
17．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．

19．为答谢全国人民的真情关爱，从8月8日开始，湖北举办“与爱同行惠游湖北”活动，湖北近400家A级旅游景区对全国游客免门票开放．已知A、B、C三个景点实行免门票活动，甲、乙都有去旅游的打算．
（1）若甲随机选择一个景点游玩，则甲选择A景点的概率为　 　．
（2）利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．


20．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；
（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；
（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．

21．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP．
（1）如图1，AB交OP于点C，D为PB的中点，求证：CD∥PA；
（2）如图2，OP交⊙O于点E，EF⊥PB于点F，若PA＝4，⊙O的半径为2，求EF的长．

22．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．

23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点．

（1）线段FD与线段FC的数量关系　 　，位置关系　 　；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：∵3x2﹣1＝﹣4x，
∴﹣3x2﹣4x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是﹣3和﹣4，
故选：B．
2．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：C．
3．解：∵⊙O的直径为13cm，
∴⊙O的半径为6.5cm，
∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞6.5cm，
∴直线和圆相离．
故选：A．
4．解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数可能是5次，也可能是4次，故原命题错误，不符合题意；
B、“任意画出一个等腰三角形，它是轴对称图形”是必然事件，正确，符合题意；
C、概率为0.00001的事件”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
D、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
5．解：由题意可知：Δ＝4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥﹣3，
∵k+2≠0，
∴k≥﹣3且k≠﹣2，
故选：D．
6．解：∵y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；
A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论矛盾，A选项不符合题意；
C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论一致，C选项符合题意；
故选：C．
7．解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，
∴＝2，
即：R＝4，
故选：C．
8．解：∵m方程x2﹣2x﹣2022＝0的实数根，
∴m2﹣2m﹣2022＝0，
∴m2＝2m+2022，
∴m2+2n＝2m+2022+2n
＝2（m+n）+2022，
∵m，n是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，
∴m2+2n＝2×2+2022＝2026．
故选：D．
9．解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故（1）正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）错误；
∵图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即c＝﹣a+b＝﹣a﹣4a＝﹣5a，
∴5a+3c＝5a﹣15a＝﹣10a，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
则5a+3c＝﹣10a＞0，故（3）正确；
由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x＝2，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
∵当x＝2时函数取得最大值，且m≠2，
∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；
故选：A．
10．解：如图，连接AD，PA，OD，DB．

∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣2，
所以t＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．解：根据题意画图如下：

共有27种等可能的情况数，其中他们三人恰好进入同一社区的有3种，
则他们三人恰好进入同一社区的概率是＝．
故答案为：．
13．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得（1+x）2＝400，
解得x＝19或x＝﹣21（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染了19个人．
故答案为：19．
14．解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6．
∴这个正多边形是正六边形，
∴它的边心距＝6×＝3，
故答案为：3．
15．解：∵O是△ABC的外心，
∴∠BAC＝∠BOC＝×144°＝72°（如图1）
或∠BAC＝180°﹣72°＝108°，（如图2）
∵I是△ABC的内心，
∴∠BIC＝90°+∠BAC，
当∠BAC＝72°时，∠BIC＝90°+×72°＝126°；
当∠BAC＝110°时，∠BIC＝90°+×108°＝144°；
即∠BIC的度数为126°或144°．
故答案为：126°或144°．

16．解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1＝＝＝2，
故∠ABP＝30°，
则PB＝2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG＝1+，
故答案为：1+．

三、解答题（共72分）
17．解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝．

19．解：（1）若甲随机选择一个景点游玩，则甲选择A景点的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择的两个景点不同的结果有6个，
∴甲、乙两人选择的两个景点不同的概率＝＝．
20．解：（1）如图1中，线段CF即为所求作．
（2）如图2中，线段AE即为所求作．

（3）如图3中，射线AF即为所求作．
（4）如图4中，线段AD即为所求作．

21．（1）证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
∴PC⊥AB，
在Rt△PCB中，D为PB的中点，
∴CD＝PB＝PD，
∴∠DCP＝∠BPO，
∴∠APO＝∠DCP，
∴CD∥PA；
（2）解：连接OB，
∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，PB＝PA＝4，
∴OP＝＝＝10，
∵EF⊥PB，OB⊥PB，
∴EF∥OB，
∴△PEF∽△POB，
∴＝，即＝，
解得：EF＝2﹣2．

22．解：（1）由题意，可得y＝﹣50x+800
（2）∵﹣50x+800≥250
∴x≤11
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800
∵﹣50＜0，
∴当x≤12时，w随x的增大而增大，
∴当x＝11时，w最大值＝750
答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元．
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，
∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a
∵当x≤13时，S随x的增大而增大，
∴≥13
∴a≥2
∴2≤a≤2.5
即a的取值范围为2≤a≤2.5
23．解：（1）如图1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC，
故答案为：DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3

如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．

综上所述，≤BF≤3．
24．解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，

由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，

则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．