2023年湖北省黄石市大冶市城北中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省黄石市大冶市城北中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列对数描述正确的是(    )

A. 不是实数 B. 的倒数是
C. 的相反数是 D. 的绝对值是本身

2.  下列银行标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列由个大小相同的正方体搭成的几何体，左视图与其它几何体的左视图不同的为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的名女生成绩如下：单位：次分：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，直线，直线与，分别交于，两点，过点作，垂足为，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线的图象与轴交于，两点与轴交于点，对称轴为，则下列四个结论：；；时，；其中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  因式分解：        ．

13.  年月日，由中国一东盟博览会组委会主办、广西壮族自治区人民政府承办的第届中国一东盟博览会签约仪式在南宁举行，共签订投资合作项目个，总投资亿元，比上届增长，签约金额创历届新高．将数据亿用科学记数法表示为______．

14.  如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点若，，则的半径是          ．
 

15.  若式子有意义，则的取值范围是______．

16.  如图，测角仪竖直放在距建筑物底部的位置，在处测得建筑物顶端的仰角为若测角仪的高度是，则建筑物的高度约为______ 结果精确到个位，参考数据：，，
 

17.  如图，点为反比例函数图象上一点，点为反比例函数图象上一点，直线过原点，且，则，则的值为______ ．

18.  如图，在中，，，是边上的一点，连接，将绕点逆时针方向旋转至的位置，连接，交于点，过点作若平分，，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

19.  解不等式组，并写出它的非负整数解．
先化简，再求值：，并从，，，四个数中选一个合适的数代入求值．

四、解答题（本大题共6小题，共18.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，在中，，为上一点，且，，求的度数．

21.  本小题分
某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查根据随机调查获得的部分居民月均用水量的数据，绘制了如下频数分布表和频数分布直方图如下图，请根据信息解答下列问题：

填空： ______ ； ______ ；
请补全频数分布直方图；
为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按倍价格收费若要使六成的家庭水费支出不受影响，试确定每个家庭月均用水量的标准，并说明理由．

22.  本小题分
求下列各式中的取值：
．
．

23.  本小题分
春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要排队很长时间等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，售票时售票厅每分钟新增购票人数人，每分钟每个售票窗口出售票数张．某一天售票厅开始用四个窗口售票，过了分钟售票厅大约还有人排队等候规定每人只购一张票．
求的值；
若要在开始售票后半小时内让所有排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，则分钟后至少还需要增加几个售票窗口？

24.  本小题分
如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于过点作于点，交于，连接，．
求证：；
求证：是的切线；
若，求的长．

25.  本小题分
如图，对称轴的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
求抛物线的函数表达式；
若点是直线下方的抛物线上的动点，求的面积的最大值；
若点在抛物线对称轴的左侧运动，过点作轴于点，交直线于点，且，求点的坐标；
在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是实数，故此选项错误；
B、的倒数是：，故此选项错误；
C、的相反数是，故此选项错误；
D、的绝对值是本身，故此选项正确；
故选：．
直接利用相反数、绝对值、倒数、实数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数、绝对值、倒数、实数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、的左视图均为底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，而选项C的左视图底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】
解：，，
．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，解得，
故选：．
根据分式有意义，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据中，出现次数最多，
所以众数是，
将这组数据从小到大排列：，，，，，，，，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题考查众数、中位数，理解众数和中位数的定义是解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补
 

8.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，
时，最小，，
，为线段的中点，
，
设，则，，
由勾股定理可得，
，
解得，
即，
线段的最小值为．
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，，则点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，得出当时，最小，，由勾股定理可求出答案．
此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
先推出为等边三角形，求出，，再求出，即可求得正六边形的面积．
【解答】
解：六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
正六边形的面积为，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
则，
即正确，
该二次函数的对称轴为：，
整理得：，
即正确，
抛物线对称轴为，点的坐标为：，
则点的坐标为：，
由图象可知：当时，，
即正确，
由图象可知，当时，函数值为，
把代入得：，
，
，
，

即正确，
故选：．
开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断判断；根据对称轴为，即，判断；根据函数图象可以判断；时，由，得到，由于，得出可以判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
首先计算乘方、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【解答】
解：


故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，然后利用完全平方公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
是的中点，
，，
，即，
解得，，
故答案为：．
连接，根据垂径定理求出的长，由勾股定理可得出的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据分式有意义的条件可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．二次根式中的被开方数是非负数．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于点，
由题意可得，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意，作辅助线，然后根据锐角三角函数可以得到的长，从而可以求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
点为反比例函数图象上一点，
．
轴，轴，
．
，
∽．
，，
，
，
，
．
故答案为．
过点作轴于点，过点作轴于点，由反比例函数系数的几何意义可得出，再由相似三角形的判定定理得出∽，由相似三角形的性质可得出的面积，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

将绕点逆时针方向旋转至的位置，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
连接，利用证明≌，得，，从而说明，根据角平分线的性质得，再利用，得∽，从而解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，利用全等证明是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为：，
非负整数解为：，．
原式
，
，，
且，
或，
当时，原式，
当时，原式． 

【解析】分别解出两个不等式的解集，求出不等式的解集，再写出非负整数解；
用完全平方和公式和分式的运算法则化简，再使分母有意义找到可取的的值，代入求解．
第题考查了学生解一元一次不等式组的能力，在解题中要注意开口方向的变化与否；
第题考查了用完全平方和公式和分式的运算法则化简分式和分式有意义的条件．取值计算时要注意使得化简过程中所有的分母均不能为．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：个，，
故答案为：，；

个，
补全频数分布直方图如图所示：


家庭月均用水量应该定为吨，因为月平均用水量不超过吨的有户，．
从频数分布表，利用频率求出调查人数，进而求出的值；
根据“用水量在吨”的频数即可补全频数分布直方图；
由于，所以为了鼓励节约用水，要使的家庭收费不受影响，即要使户的家庭收费不受影响，而，故家庭月均用水量应该定为吨．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
，． 

【解析】根据平方根的定义，即可解答；
先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出的值．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
 

23.【答案】解：由题意，得
解得；

设分钟后还需要增加个售票窗口，
由题意，得 ，
解得，
因为为正整数，
所以的最小值为．
故分钟后至少还需要增加个售票窗口． 

【解析】根据题意：原人数分钟增加的人数个窗口售票的人数，列方程，解方程求解即可；
设分钟后还需同时开放个售票窗口．由题意可知：分后，增加了个窗口，列方程，解方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式一元一次方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：为的直径，
，
即：，
又，

证明：连接，

，，
，
，
，
在与中
，
≌，
，
为的切线，
，
，
是的切线；

解：，
，

在中，，
，
，，
∽，
，
． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角得出，结合已知条件即可得证；
证明≌则，结合已知条件即可得证；
根据题意得出，在中，，得出，证明∽，根据相似三角形的性质即可求
本题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：对称轴的抛物线与轴交于，两点，
．
设抛物线解析式是：．
把代入，得．
解得．
故该抛物线解析式是：或；

设直线的解析式为，
把，代入得
，解得，
直线的解析式为；
作轴交于，如图，设，则，

则，
，
当时，面积有最大值，最大值为，此时点坐标为；

设，
轴，
，，
，
，
或，
，舍去或，舍去
或；

点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小，此时的周长最小．

直线的解析式为抛物线的对称轴为直线．
当时，．
抛物线对称轴上存在点符合题意，
此时周长的最小值为． 

【解析】由抛物线的对称性质推知，点设抛物线解析式是：把点的坐标代入，列出方程求得的值即可；
根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
设，表示出点和点坐标，由条件得出关于的方程，解出的值即可得解；
点是点关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点，要使的值最小，则点就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点的坐标；
此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．