【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.05：找规律 技巧提升

专题2.05  找规律技巧提升（原卷版）

学习目标                                                                       

清楚规律题中的基础知识点及处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。

考点整合                                                                        

【考点1】   数列的规律                【考点4】 算式的规律

【考点2】   数表的规律                【考点5】 程序运算的规律

【考点3】   图形的规律                【考点6】 新定义

触类旁通                                                                         

自我解读：①常见的数列规律：

 ⑴ 1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．

 ⑵ 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．

 ⑶ 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．

 ⑷ 2，5，10，17，26，…，（为正整数）．

 ⑸0,  3,  8,  15， 24，…， （为正整数）．

 ⑹ 2， 6， 12， 20，…，  （为正整数）．

 ⑺，，，，，，…，（为正整数）．

 ⑻，，，，，，…，（为正整数）．

             ⑼特殊数列：

             ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.

 ②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.

②常用技能：

（1）写成彼此联系的形式，如：3,7,11.....将7写成3+4；11写成3+4+4的形式，规律一看便知；

（2）写成形式统一的形式，如：1,2,4....将1写成20；2写成21；4写成22，规律一看便知.

【考点1】    数列的规律  

【例1】（2022·广东·佛山市第十四中学七年级期中）观察下列算式： ， ， ， ， ， ， ， …仔细观察，用你发现的规律写出 的末位数字是（　　）

A．2 B．4 C．8 D．6

【自我解读】①通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第2023个算式的个位数字即可．

【解题过程】

解：∵，

，…

∴底数为2的幂的末位数字依次是2，4，8，6，四个数一循环，

∵ ，

∴的末位数字与的末位数字相同，

∴的末位数字是8．

故选：C．

【变式1-1】（2022·山东烟台·期中）根据规律写出下一个数．，，，，___________．

【变式1-2】（2022·全国·七年级阶段练习）己知，，，，，，，，……，，，的值为（    ）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2022·江苏扬州·七年级期末）按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2021次如上操作后得到了第2022位上的数字，则第2022位上的数字是（　　）

A．1 B．3 C．7 D．9

【考点2】   数表的规律

【例2】（2022·天津二十中七年级期中）一个正整数表如下：（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）

则第4行中的最后一个数是________，第n行中共有________个数，第n行的第n个数是________．

【自我解读】①先根据题意找出规律，再作答即可．

【解题过程】

解：第一行有1个数，最后一个是1，即，第一个数是1，即，

第二行有2个数，最后一个是5，即，第二个数是5，即，

第三行有4个数，最后一个是13，即，第三个数是11，即，

…，

故第n行共有个数，最后一个数是，第n个数是．

故第4行中的最后一个数是．

故答案为：29，，．

【变式2-1】（2022·江苏连云港·七年级期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：

【初步感知】

(1)根据表中信息可知：___________；___________．

【归纳规律】

(2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：___________；

(3)观察表格，下列说法错误的有___________（填序号）；

①当时，；

②当时，；

③当时，；

④当时，．

【应用迁移】

(4)若已知的值总是大于的值，请直接写出x的取值范围．

【变式2-2】（2022·福建省尤溪县梅仙中学七年级期中）个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和．即；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最小的奇数是______________．

【变式2-3】（2022·江苏·南京市第一中学七年级阶段练习）观察下面一组等式：

，；

，；

，；

……

解决下列问题：

(1)化简的结果是______，化简的结果是______．

(2)求的值．

【考点3】   图形的规律 

【例3】（2022·江苏淮安·七年级期末）有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（  ）

A．5 B．3 C．4 D．2

【自我解读】①观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．

【解题过程】

解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，

，

滚动第2022次后与第2次相同，

朝下的数字是4的对面3，

故选：B．

【变式3-1】（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期末）通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（　　）

A．8 B．﹣8 C．﹣12 D．12

【变式3-2】（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）如图，小正方形是按一定规律摆放的，则适合填补图中空白处的是（　　）

A． B．

C． D．

【变式3-3】（2022·江苏南京·七年级期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积和周长分别为（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【考点4】   算式的规律

【例4】（2022·重庆市巴南区全善学校七年级期中）观察下列等式：，，，，…根据该规律计算：_______．

【自我解读】①根据所给等式规律进行求解即可．

【解题过程】

解：由题意可知，

∴

，

故答案为：．

【变式4-1】（2022·山东济南·七年级期中）阅读材料，并根据材料解答下列问题：

材料一：；

材料二：；

(1)________； ________(请结合材料回答)；

(2)结合材料一，化简：＋＋＋…＋；

(3)结合材料二，化简：1＋＋＋…＋．

【变式4-2】（2022·北京八中八年级期中）探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：

，

，

，

……

(1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______；

(2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：

，，，……

①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______；

②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）；

③利用发现的规律计算： ______；

④请用所学知识证明②中的规律．

【变式4-3】（2022·广东·深圳市福田区外国语学校七年级期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么__________，_________；

②为了求的值，可以这么做；

令，

则，

因此，所以，即．

仿照以上推理：

（2）计算的值．

（3）计算．

【考点5】 程序运算的规律

【例5】（2022·山东·日照市新营中学七年级期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2020次输出的结果是（　　）

A． B． C． D．

【自我解读】计算出前八次的输出结果可知从第二次输入开始，每六次输入为一个循环，据此求解即可．

【解题过程】

解：第一次输入2，输出的结果为1，

第二次输入1，输出的结果为，

第三次输入，输出的结果为，

第四次输入，输出的结果为，

第五次输入，输出的结果为，

第六次输入，输出的结果为，

第七次输入，输出的结果为，

第八次输入，输出的结果为，

…

∴从第二次输入开始，每六次输入为一个循环，

∵，

∴第2020次输入的结果是

故选A．

【变式5-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（　　）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式5-2】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级期中）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2024次输出的结果为______．

【变式5-3】（2021·辽宁·鞍山市第二中学七年级期中）如图，这是一种数值转换机的运算程序，若第一次输入的数为7，则第2018次输出的数是 ___．

【考点6】 新定义

【例6】（2022·北京八中七年级期中）是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（    ）

A．3 B． C． D．

【自我解读】①易得，，，，由此可得该组数是4个一循环，进而问题可求解．

【解题过程】

解：∵，

∴，，，，

∴该组数是按照3，，，四个数字一循环，

∵，

∴；

故选：D．

【变式6-1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学七年级期中）有一列数，记为，我们记其前n项和为=，定义为这列数的“新海和”，现如果有2020个数，其“新海和”为2021，则2，这2021个数的“新海和”为（　　　）．

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【变式6-2】（2020秋•费县期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，运算结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则

若n＝898，则第2021次“F运算”的结果是（　　）

A．488 B．1 C．4 D．8

【变式6-3】（2020春•泉州月考）对于正整数n，定义f（n），例如：f（1），f（2），f（3），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）+f（2020）的值为　　．

综合巩固                                                                       

1．（2022·安徽·宋集中学七年级阶段练习）将一列有理数，，，，，，按如图所示有序排列：

根据图中的排列规律可知，应排在“峰”（　　）的位置

A．， B．， C．， D．，

2．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）如图，一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是0，第二行的数是6，第三行的数是21，…，第六行的数是（　　）

A．78 B．120 C．145 D．

3．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）我国古代典籍《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半…，则第n次截取后，此木杆剩下的长度为_____________尺．（n为大于1的正整数）

4．（2022·江苏盐城·七年级期末）按照下面的流程计算时，若开始输入的x为正数，最后输出的结果是67，请你写出所有符合条件的x的值________．

5.（2021·江苏·东台市头灶镇六灶学校七年级期末）观察等式：；；…，已知按一定规律排列的一组数：．若，用含m的式子表示这组数的和是__________．

6．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学七年级期中）按上面数表的规律．得下面的三角形数表：

（1）上表中，第九行有______________个算式，第九行最中间的算式是____________．

（2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是______________________，

7.（2022·河南南阳·七年级期中）把正整数1，2…排列成如下一个数表：

(1)32在第　 　行第　 　列；

(2)第n行第2列的数是　 　；

(3)团团和圆圆玩游戏，团团说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为团团说的有道理吗？请说明理由．

8．（2022·广东·惠州一中七年级期中）观察下面算式，解答问题：

；

；

……

(1)的结果为______________；

(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________；

(3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）．

9．（2022·浙江·掌起初级中学七年级期中）观察按下列规则排成的一列数； ．．．

(1)容易发现，从左起第22个数是， 则它前面的那个数是多少， 后面的那个数是多少？

(2)从左起第个数记为 ，例如， 则表示的数是多少？ 表示的数是多少？

(3)当时， 求值是多少？ 并求出这个数的积．

10．（2022·广东·广州市第二中学七年级期中）在传输信息时，需要采用密码．有一种密码的明文（真实文）是按计算机键盘字母排列，如Q，W，E，…，N，M这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26．

加密的过程是这样的：①将明文字母对应的数字设为x，②将加密后的密文字母设为．③当x被3整除时， ；当x被3除余1时，；当x被3除余2时，．如：字母A对应为11，经过加密，12对应字母S．也就是说，按照上述方式加密1次，明文A对应的密文为S．以上加密方式可以重复进行．

(1)按照上述方式加密1次，直接写出明文YUAN对应的密文；

(2)按照上述方式加密100次，直接写出明文A对应的密文．

(3)是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身？如果存在，请找出所有这样的字母；如果不存在，请说明理由．