【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题1.01：有理数章节 必练考点

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 专题1.01 有理数章节必过考点（解析版）
学习目标
清楚章节所含基础知识点，并且有自己的理解，能够了然于心！

考点整合
【考点1】 正数负数 【考点6】 去绝对值
【考点2】 有理数 【考点 7】 有理数混合运算
【考点3】 数轴 【考点 8】 科学计数法
【考点4】 相反数 【考点 9】 近似数与精确度
【考点5】 绝对值

触类旁通
【考点1】 正数负数
概念：①正数：比0大的数（+通常省略不写）
②负数：在正数前加上符号“—”（负）的数
③0既不是正数也不是负数，0为最小的自然数
④正数与负数在实际生活中表示相反意义的量
自我解读：①涉及正与负的问题时，切记0为非正非负。
②明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解。
【例1】（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量
B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米
C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃
D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，依次判断各可．
【详解】A.“向东10米”与“向西10米”是相反意义的量，故本选项错误；
B.如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降15米，故本选项错误；
C.如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是气温上升8℃，故本选项错误；
D.若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米，故本选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

【变式1-1】（2022·广东·惠州市凌田外国语学校七年级阶段练习）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下，其中正数表示进库的吨数：
+31，-32，-16，+35，-38，-20．
（1）经过这6天，仓库里的货品是_________（填“增多了”或“减少了”）．
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【答案】(1)减少了；(2) 6天前仓库里有货品500吨；(3)这6天要付860元装卸费.
【分析】(1)将6天进出仓库的吨数相加求和即可，结果为正则表示增多了，结果为负则表示减少了；
(2)结合上问答案即可解答；
(3)计算出所有数据的绝对值之和，然后根据进出的装卸费都是每吨5元进行计算.
【详解】（1）+31-32-16+35-38-20=-40（吨）,
∵-40＜0，
∴仓库里的货品减少了.
答：减少了.
（2）+31-32-16+35-38-20=-40（吨），即经过这6天仓库里的货品减少了40吨.
所以6天前仓库里有货品，460+40=500（吨）．
答：6天前仓库里有货品500吨.
（3）｜+31｜+｜-32｜+｜-16｜+｜+35｜+｜-38｜+｜-20｜=172（吨），172×5=860（元）．
答：这6天要付860元装卸费.
【点睛】本题考查了正数和负数表达相反意义量的意义.

【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知有A，B，C三个数的“家族”：
A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}．
(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．

(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.
(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．
【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析.
【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得.
【详解】解：(1)如图所示．

(2)－1，－4，－4.2，
(3)有，是2.1.
故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1.
【点睛】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系.

【变式1-3】（2021·广西北海·七年级期中）蜗牛从某点开始沿一条东西方向的直线爬行,规定以出发点为原点,向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数，则蜗牛爬过的各段路程依次为：+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10(单位:厘米）.
(1)请判断蜗牛最后是否回到出发点?
(2)在爬行过程中，若蜗牛每爬1厘米就奖励一拉芝麻，问蜗牛一共得到多少粒芝麻?
【答案】(1) 蜗牛最后能回到出发点；(2)54
【分析】（1）把爬过的路程记录相加，即可得解；
（2）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，然后解答即可．
【详解】解：（1）5-3+10-8-6+12-10=27-27=0，
所以，蜗牛最后能回到出发点；
（2）|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|，
=5+3+10+8+6+12+10，
=54厘米，
∵每爬1厘米奖励一粒芝麻，
∴蜗牛一共得到54粒芝麻．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．


【考点2 】 有理数
概念：①整数和分数统称为有理数
②有理数按定义分类： ③有理数按性质分类：

自我解读：①分数按正负分时没有0
【例2】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的是________．
（1）整数就是正整数和负整数；
（2）分数就是正分数和负分数；
（3）一个数不是正有理数就是负有理数；
（4）非负数就是正数；
（5）若一个数是整数，则它一定是有理数；
（6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数；
（7）存在最大的非正数；
（8）零是最大的非正整数．
【答案】（2）、（5）、（6）、（7）、（8）
【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可．
【详解】解：整数包括正整数、0和负整数；故（1）错误；
分数包括正分数和负分数；故（2）正确；
一个数不是正有理数就是0和负有理数；故（3）错误；
非负数包括正数和0，故（4）错误；
有理数包括整数和分数；故（5）、（6）正确；
最大的非正数是0，0也是最大的非正整数；故(7)、(8)正确
故答案为：（2）、（5）、（6）、（7）、（8）
【点睛】本题考查了有理数．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

【变式2-1】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
【答案】
【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可．
【详解】解：，0.23，，0，，，，，
正整数有：，，，即，
非负数有：中0.23，，0，，，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．

【变式2-2】（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填入相应的集合里．
1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．
非正数集合：{                     …}；
非负数集合：{                       }；
非正整数集合：{                   …}；
非负整数集合：{                     }；
非正有理数集合：{                 …}；
非负有理数集合：{                   }．
【答案】-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0， 0.618；－0.20，，－789，0，－23.13，0.618，－2004；1，－0.20，，325， 0，－23.13，0.618，；-0.20，-789，0，-23.13，-2004；，325，0，0.618
【分析】根据有理数的分类分别进行填写即可．
【详解】解：非正数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}；
非负数集合：{1，，325，0， 0.618，…}；
非正整数集合：{－0.20，，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}；
非负整数集合：{1，－0.20，，325， 0，－23.13，0.618，…}；
非正有理数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}；
非负有理数集合：{，325，0， 0.618，…}．
故答案为：-0.20，-789，0，-23.13，-2004；1，，325，0， 0.618；－0.20，，－789，0，－23.13，0.618，－2004；1，－0.20，，325， 0，－23.13，0.618，；-0.20，-789，0，-23.13，-2004；，325，0，0.618
【点睛】此题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

【变式2-3】（2022·全国·七年级课时练习）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？
(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
【答案】(1)正数
(2)B和D的位置
(3)负数，D的位置．

【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．
（1）
A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
（2）
观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，
所以，B和D的位置是负数；
（3）
∵2023÷4=505......3，
∴第2023个数排在D的位置，是负数．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．


【考点3 】 数轴
概念：①规定了原点、正方向、单位长度的直线。
自我解读：①数轴中三要素缺一不可。
【例3】（2022·福建泉州·七年级阶段练习）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴三要素直接分析即可．
【详解】解：由数轴三要素：单位长度、正方向和原点可知，
A．正方向错误，故不符合题意；
B．单位长度不统一，错误，故不符合题意；
C．没有正方向，错误，故不符合题意；
D．符合数轴三要素，正确，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，能够正确理解数轴三要素是解答本题的关键．

【变式3-1】（2022·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学七年级阶段练习）数a、b在数轴上的对应位置如图所示，有以下结论：

①；②；③；④；
其中正确的有___________（填写序号）．
【答案】③④
【分析】根据数轴得到，再对各个选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：③④．
【点睛】本题考查有理数比较大小，解题的关键是根据数轴得到有理数的范围．


【变式3-2】（2022·江苏·宜兴市桃溪中学七年级阶段练习）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ）

A．m B．n C．p D．q
【答案】A
【分析】从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环，通过循环即可找出表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母．
【详解】解：由题可知，从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环

∴表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是m
故选：A．
【点睛】本题考查了数字循环问题，找出是每4个一循环是解题关键．易错点：0到-2014共2015个数，容易漏掉0．

【变式3-3】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）如图，数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题．

(1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ．
(2)将点B向右移动5个单位长度到点D，D点表示的数是 ．
(3)在数轴上找点E，使点E到B，C两点距离相等，E点表示的数是 ，
(4)将点E移动2个单位长度后到F，点F表示的数是 ，
【答案】(1)；；；
(2)0
(3)
(4)或

【分析】（1）根据A、B、C在数轴上的位置即可得到答案；
（2）根据数轴上的点左移减，右移加进行求解即可；
（3）根据题意可知E为BC的中点，据此求解即可；
（4）分左移和右移两种情况讨论求解即可．
（1）
解：由题意得，A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是3，
故答案为：；；；
（2）
解：∵B点表示的数是，将点B向右移动5个单位长度到点D，
∴D点表示的数是，
故答案为：0；
（3）
解：∵点E到B、C两点的距离相等，
∴点E是BC的中点，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
（4）
解：∵将点E移动2个单位长度后到F，
∴当向右移时，点F表示的数是，
当向左移时，点F表示的数是，
故答案为：或-．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，正确理解题意熟知数轴的相关知识是解题的关键．


【考点 4】 相反数
概念：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
自我解读：①寻找一个数的相反数，只需要在这个数前面加一个负号。
②0也有相反数。
③相反数可以给到一条等量关系，相反数和为0.
【例4】（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列说法中正确的有（   ）
①是相反数；②任何有理数的绝对值都是正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④正数与负数互为相反数；⑤相反数等于本身的数只有0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的定义及性质进行判断即可．
【详解】①是5的相反数，故原说法错误；
②任何有理数的绝对值都是非负数，故原说法错误；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，故原说法错误；
④只有符号不同的两个数互为相反数，故原说法错误；
⑤相反数等于本身的数只有0，说法正确；
所以，说法正确的有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

【变式4-1】（2022·陕西·西安高新第三中学七年级阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为_______．

【答案】
【分析】根据，则A、B表示的数互为相反数，根据数轴上两点间的距离公式即靠近右边的数减去其左边的数，列式即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴，即点A表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，正确理解性质，熟练运用公式是解题的关键．

【变式4-2】（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）如图，数轴上有三个点A，B，C，它们表示的数均为整数，且B，C之间的距离为1个单位长度．若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是______．

【答案】3
【分析】根据给出的条件可求得点A和点B的位置，然后求C表示的数即可．
【详解】解：∵点A，B表示的数互为相反数，且B，C之间的距离为1，
∴点A表示的数是-2，点B表示的数是2，
∴点C表示的数3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是相反数在数轴上的位置，解题的关键就是互为相反数的两个数的中点就是原点．

【变式4-3】（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

(1)折叠纸面，使表示的点1与-1重合，则-2表示的点与_______表示的点重合；
(2)折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数_______表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______、点B表示的数是_______．
(3)已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动2022个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
【答案】(1)2
(2)①-3；②-3.5，5.5
(3)

【分析】（1）由题可知沿原点折叠，即可得到答案．
（2）①由题可知沿1折叠，即可得到答案；②由A、B两点之间的距离，可知A、B两点与1的距离相等，均为4.5，再利用点平移即可得到答案．
（3）利用点平移表示出A点表示的数，再根据A点表示的数和a互为相反数列方程，解方程即可得到答案．
（1）
解：∵1与-1重合
∴沿原点折叠
∴-2表示的点与2重合
故答案为：2．
（2）
解：①∵-1表示的点与3表示的点重合
∴沿1折叠
所以5表示的点与数-3表示的点重合
故答案为：5．
②∵A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合
且沿1折叠
∴点A表示的数是-3.5，点B表示的数是5.5
故答案为：-3.5，5.5．
（3）
解：∵点A表示的数是a，点A移动2022个单位
∴A表示的数为
∴或
解得
∴a的值为．
【点睛】本题考查了数轴上点的平移．方法总结：在数轴，上点往左平移，数变小，做减法；点往右平移，数变大，做加法．


【考点 5】 绝对值
概念：①数轴上表示a的数与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 |a|。
自我解读：①绝对值定义描述的是一个点到原点的距离，可延伸为俩个点之间的距离为俩点对应的数作差后加个绝对值即为俩点间距离。如A与B的距离就是|a-b|。
②|a+2|是点A到-2的距离，绝不是A到2的距离。（谁减谁即为谁到谁的距离）

【例5】（2022··七年级阶段练习）给出下面说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④ 若，则，其中正确的有（    ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据相反数的性质，绝对值的意义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①互为相反数的两个数绝对值相等，故①正确，符合题意；
②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数，故②正确，符合题意；
③若，则，故③正确，符合题意；
④ 若，，则，若，，则，故④不正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和相反数的意义．注意非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数．


【变式5-1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）绝对值大于 1 且不大于 4 的所有整数有（　　）个
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】绝对值大于1且不大于4的所有整数的绝对值是2、3、4，据此求出绝对值大于1且不大于4的所有整数有多少个即可．
【详解】解：∵绝对值大于1且不大于4的所有整数的绝对值是2、3、4，
∴绝对值大于1且不大于4的所有整数有6个：−2、2、−3、3、−4、4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是求出绝对值大于1且不大于4的所有整数的绝对值是多少．
【变式5-2】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）如果，那么的关系（    ）
A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．互为相反数或相等
【答案】D
【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关系．
【详解】解：∵，
∴或，即互为相反数或相等，
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．

【变式5-3】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和5的两点的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示15和的两点之间的距离是_______．
(2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离可以表示为______（用绝对值符号表示）．如果，那么x是_______．
(3)若式子，则___________
(4)式子的最小值是______．
【答案】(1)3；15；45；
(2)；1或；
(3)或3；
(4)3

【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值计算即可；
（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可；
（3）分三种情况：；；，分别根据绝对值的性质化简，进而求解即可；
（4）根据代数式表示在数轴上到和2两点的距离的和，可知当x在和2之间时代数式取最小值，其最小值为与2的距离．
（1）
解：数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示15和的两点之间的距离是，
故答案为：3；15；45；
（2）
解：数轴上表示x和的两点A，B之间的距离可以表示为，
∵，
∴，
∴或，
故答案为：；1或；
（3）
解：当时，，
解得，
当时，，无解，
当时，，
解得，
∴或3，
故答案为：或3；
（4）
解：代数式表示在数轴上到和2两点的距离的和，
∴当x在和2之间时，代数式取得最小值，最小值是和2之间的距离3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了解绝对值方程、数轴等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义．




【考点 6】 去绝对值
概念：①大于等于0，则直接去绝对值符号；小于0，则去绝对值符号后在数字前面加负号。即正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。
自我解读：①去绝对值时，只有负数需要加负号，其他的直接拿掉。
② |a-b| ，当a-b小于0时，去绝对值只需要写成b-a即可，即 |a-b|= b-a。
③绝对值本身具有非负性。

【例6】（2022·河北·东光县第二中学七年级阶段练习）若a是有理数，则下列叙述正确的是（    ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．一定是负数
【答案】C
【分析】根据绝对值非负数举例对各选项验证即可得解．
【详解】解：A、a=0时，|a|=0，不是正数，故本选项错误，不符合题意；
B、a=0时，|-a|=0，不是正数，故本选项错误，不符合题意；
C、a=0时，-|-a|=0，可能是0，故本选项正确，符合题意；
D、a=0时，-|-a|=0，不是负数，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，举例验证更简便．

【变式6-1】（2022·江苏·文林中学七年级阶段练习）若，则a是______________．
【答案】非正数
【分析】根据绝对值的性质求解即可．
【详解】∵负数和0的绝对值是其相反数，
∴a是非正数．
故答案为：非正数．
【点睛】本题考查绝对值的性质及其化简，熟练运用绝对值的性质是解题关键．

【变式6-2】（2022·河南·东方二中七年级阶段练习）a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，下列说法正确的个数有（    ）．
①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义逐项判断即可．
【详解】根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且，
①∵，且，
∴，，
∴，．
又∵，
∴，
因此①错误；
②根据绝对值和相反数的意义可得，；
因此②正确；
③∵，且，
∴，
因此③正确；
④∵，而，
∴，
因此④错误；
故正确的有：②③，共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键．

【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．

(1)A与两点之间的“直角距离”______；
(2)点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
(3)若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析

【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据定义可得，再分段讨论即可求得
(3) ，则，根据定义，计算出即可．
（1）
解：根据题意得：，
故答案为：6；
（2）
解：根据题意得：



当时，，，
，
故此时不存在最小值，
当时，，，
，
故此时的最小值为6，
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；
故答案为：；
（3）
设点P(x，y)
∵点P在第二象限，
∴x<0，y>0



=
①当0
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+1=-4（不符合题意）
若-3 ∵
∴，即2x+2≥0，解得：x≥-1
当0
②当1
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+3-2y=-2-2y（不符合题意）
若-3 ∵
∴，
即2x-2y+4≥0，
整理得：y≤x+2
当1 如图

③当y>2时

=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）
若-3 ∵x<0，
∴2x<0，（不符合题意）
综上：点P的运动范围如图所示．

【点睛】本题考查了新定义运算，理解题目中新定义运算的概念是解题的关键，在去掉绝对值符号时，注意分清楚绝对值符号里面的正负，若不知道正负，则应该分类讨论．



【考点 7】 有理数混合运算
概念：①含有有理数的加减乘除乘方五种基本运算中的多种运算。
自我解读：先乘方，在乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行。原则为能先算的先算，简化算式即为根本。
【例7】（2022·江苏·南通市崇川初级中学七年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)3

【分析】（1）根据加法交换律和结合律计算即可；
（2）根据乘法交换律和结合律计算即可；
（3）将原式整理之后提出，利用乘法分配律计算即可．
（1）





（2）




（3）





【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【变式7-1】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)-11

【分析】（1）除法变乘法，从左到右依次计算即可；
（2）先算乘法再算减法．
（1）
原式，
；
（2）
原式，
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，严格按照运算顺序计算是解题的关键．


【变式7-2】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-1
(2)-494

【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
（1）
解：


；
（2）
解：



．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和分配律是解答关键．

【变式7-3】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）简便计算
(1)
(2)
【答案】(1)6
(2)

【分析】（1）逆用乘法分配律变形为，再进一步计算即可；
（2）原式变形为，再进一步计算即可．
（1）
解：


=6；
（2）
解：



．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及运算律．



【考点 8】 科学计数法
概念：①把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
自我解读：科学计数法的整数部分必须为1到9的九个数字中的一个，不能为0和其他数字。
【例8】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）用科学计数法表示：1120000＝______________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1120000=1.12×106，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8-1】（2022·广东·东莞市东莞中学九年级阶段练习）2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈山重要一步．将470000000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．

【变式8-2】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法：①若＝－1，则a，b互为相反数；②9596960用四舍五入法精确到万位，表示为9.60×106；③在有理数的加法中，两数的和一定比加数大；④较大的数减去较小的数，差一定是正数；⑤两数之差一定小于被减数；其中一定正确的是____（填序号）．
【答案】①②④
【分析】根据相反数的概念，科学计数法，有理数加法和减法法则进行判断即可．
【详解】解：①若＝－1，则a，b互为相反数，此说法正确；
②9596960用四舍五入法精确到万位，表示为9.60×106，此说法正确；
③在有理数的加法中，两个正数的和一定比加数大，原说法错误；
④较大的数减去较小的数，差一定是正数，此说法正确；
⑤两数之差不一定小于被减数，原说法错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相反数的概念，科学计数法的表示，有理数的加法和减法，理解和熟练相关的概念和运算法则是解题的关键．


【变式8-3】（2022·江苏·徐州市东苑中学（徐州市第三中学初中部）七年级阶段练习）“十·一”期间，沭阳虞姬生态公园在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．若9月30日的游客人数为1万人
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数变化单位：万人
+1.6
+0.8
+0.4
−0.4
−0.8
+0.2
−1.2

(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？请说明理由．
(2)建生态公园的目的一般有两个，一方面是给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面是拉动内需，促进消费．如果进园的人每人平均消费10元，问“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是多少元？
【答案】(1)7天内游客人数最多的是10月3日
(2)“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是元

【分析】（1）求出10月1到7日的人数，即可做出判断；
（2）求出7天的人数之和，乘以30，即可得到结果．
（1）
∵9月30日的游客人数为1万人，
∴7天的游客人数分别为2.6万、3.4万、3.8万、3.4万、2.6万、2.8万、1.6万，
则7天内游客人数最多的是10月3日；
（2）
由（1）得7天的游客人数分别为2.6万、3.4万、3.8万、3.4万、2.6万、2.8万、1.6万，
则“十·一”期间门标收入为：
(2.6+3.4+3.8+3.4+2.6+2.8+1.6)×10
=20.2×10
=202(万元)
=元，
则“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是元．
【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正负数的实际应用，科学记数法的表示，正确理解题意，根据题意正确列式计算即可．


【考点 9】 近似数与精确度
概念：①一个数与准确数相近，这一个数称之为近似数
②用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
③从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止的数所有数字，都叫做这个数的有效数字。
自我解读：①取近似数时，根据精确到哪一位，把后面的全部舍掉即可，满5需进1。
②数有效数字时第一个不为0开始数，后面有一个算一个，如0.100有效数字有3个。
③确定精确位时需要还原，如1.02×105，精确到千位，而不是百分位。
【例9】（2022·湖南·测试·编辑教研五八年级阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到_______位，有_______个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到_______位，有_____个有效数字．
【答案】     百分     三
     千万分     八

【分析】根据数的精确度和近似数确定有效数字的方法即可解答．注意：有效数字从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止．
【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字．
故答案为：百分，三；千万分，八．
【点睛】本题主要考查了近似数与有效数字的确定，解题关键是熟练掌握数的精确度和有效数字的知识．

【变式9-1】（2022·山东·临沭县苍源河实验学校七年级阶段练习）某同学用计算器计算“2÷13”时，计算器上显示结果为0.153846153，将此结果精确到千分位的数值为_____．
【答案】0.154
【分析】根据精确的数位，四舍五入即可得到结果．
【详解】解：某同学用计算器计算“2÷13”时，计算器上显示结果为0.153846153．
将此结果精确到千分位为0.154．
故答案为：0.154．
【点睛】此题考查了计算器-有理数，以及近似数和有效数字，做题时注意精确的数位．

【变式9-2】（2022·安徽·定远县程桥学校七年级阶段练习）下列说法错误的是（    ）．
A．近似数万精确到千位 B．近似数百万与近似数万精确度不同
C．近似数与的精确度相同 D．数精确到万位是
【答案】C
【分析】根据近似数的精确度分别判断即可．
【详解】A选项，近似数万精确到千位，所以A选项的说法正确，不合题意；
B选项，近似数百万精确到百万，近似数万精确到万位，精确度不同，所以B选项的说法正确，不合题意；
C选项，精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，所以C选项的说法错误，符合题意；
D选项，数精确到万位是，所以D选项的说法正确，不合题意，
故选C．
【点睛】此题考查了近似数和用科学记数法表示的数，科学计数法以及精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．

【变式9-3】（2022·全国·七年级课时练习）10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_______分.
【答案】9.38．
【分析】根据得9.4分是得到8位裁判的准确打分和，除以8，再保留2位小数即可．
【详解】解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间）
∴10个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是8个人的分数．
∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×8=74.8分和小于9.45×8=75.6之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在74.8和75.6之间只有是整数75，
∴该运动员的有效总得分是75分．
∴得分为：75÷8≈9.375，
精确到两位小数就是9.38．
故答案为9.38．
【点睛】本题考查了近似数及有效数字，得到得分为一位小数的准确分值的范围，及得到8位裁判的准确打分和是难点．