【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.04：线段与角 热点技巧

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 专题2.04 线段与角热点技巧提升（解析版）
学习目标
清楚线段与角的中上等难度题型，并清楚其处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。
值得强调的是，作为几何题，必须要学会对图进行合理标注。

考点整合
【考点1】 中点问题 【考点5】 折叠问题
【考点2】 线段动点问题 【考点6】 角中射线转动问题
【考点3】 与三角尺有关的计算 【考点7】 角双动线问题
【考点4】 角平分线问题
触类旁通
【考点1】 中点问题
自我解读：①可将线段放在数轴中进行使用中点公式：c=（a+b）/2;如A对应的数为1，B对应的数为3则其重点C为(1+3)/2=2.
②可以利用方程思想将俩段相同的线段设为同一个参数，然后利用线段的和差关系进行列方程处理.
【例1】（2022·重庆市人和中学七年级期末）已知在数轴上A、B、C三点对应的数分别为，，x，其中一点是另外两点的中点，则x的值为_________．
【自我解读】①分别以A、B、C为中点，然后利用中点公式即可.
【解题过程】
解：∵A、B、C是数轴上三点，且点A表示的数是，点B表示的数为，点C表示的数为x，当其中一点是另外两点构成的线段中点时，
①C为线段AB的中点，
∴x的值为：；
②A为线段CB的中点，则有

解得：x=
∴x的值为：；
③B为线段AC的中点，则有

解得：
∴x的值为：；
故答案为：或或．

【变式1-1】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点，若EC=3，求线段DB的长．

请补全以下解答过程．
解：因为点C是线段AB的中点，_________，
所以_________，AD=2AE．
因为DB=AB−_________，
所以DB=_________−2AE=2(AC−AE)=2EC．
因为EC=3，
所以DB=_________．

【答案】点E是线段AD的中点；AB=2AC；AD；2AC；6
【分析】根据点C是线段AB的中点，即可知AC=BC，AB=2AC，AD=2AE，再根据DB=AB-AD，将AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB与EC的关系进而求解．
【详解】解：因为点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，
所以AB=2AC，AD=2AE，
因为DB=AB-AD，
所以DB=2AC-2AE=2（AC-AE）=2EC．
因为EC=3，
所以DB=6．
故答案为：点E是线段AD的中点；AB=2AC；AD；2AC；6．
【点睛】本题考查两点间的距离以及推理过程的完整书写，理解DB=AB-AD，并将AB和AD用2AC和2AE代替是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东·正德中学七年级期末）已知线段AB的长为12，M为线段AB的中点，若C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长为________________．

【答案】8
【分析】先根据线段中点的定义求出AM与BM的长，再根据MC与CB的数量关系求出MC的长即可求出AC的长．
【详解】解：∵M是线段AB的中点，AB=12，
∴，
∵MC：CB=1：2，
∴，
∴AC=AM+MC=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确求出AM，MC的长是解题的关键．
【变式1-3】（2022·安徽·定远县育才学校七年级期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为_______

【答案】
【分析】先根据线段中点的运算求出的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得的值，然后根据线段的和差即可得．
【详解】解：线段，是的中点，
，
是的中点，
，
同理可得：，
归纳类推得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键．


【考点2】 线段动点问题
自我解读：①可建立数轴，然后将动点用t来表示，从而利用等量关系进行列方程处理。
②可以利用追及问题来处理，先求出时间；再计算长度，但难度会增加。
【例2】（2022·广东广州·七年级期末）如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．

(1)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．
(2)若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．
【自我解读】①由于点P及Q是运动的，当PA＝2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA＝40，PB＝20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ＝时，BQ＝时，由此就可求出它的速度；
②若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们
相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，运用速度公式求解即可；
③先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可.
【解题过程】
（1）
解：①当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动
时间为60秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷60＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）．
②点P在线段AB延长线上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故点P运动时间为140秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷140＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷140＝（cm/s）．
（2）
解：设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，t＝5或40，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则
PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，
故经过5秒或70秒两点相距70cm；
（3）
解：如图1，设OP＝xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣
x，
EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，
∴＝＝2．


【变式2-1】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为______．

【答案】1或4或16．
【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点A始终在点B的左侧，
点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t +9，
当点B为线段AC的中点时，
-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），
解得：t=1；
当点C为线段AB的中点时，
-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），
解得：t=4；
当点A为线段CB的中点时，
-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）
解得：t= 16.
故答案为：1或4或16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-2】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　；
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝AB；
(4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)10，3
(2)t＝2，相遇点表示的数为4
(3)t＝1或3
(4)不变，5

【分析】（ 1）根据题意即可得到结论；
（2 ）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3 ）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4 ）由点M表示的数为  ＝ ﹣2，点N表示的数为  ＝ +3，即可得到结论．
【详解】（1）解：A、B两点间的距离AB＝|﹣2﹣8|＝10，线段AB的中点表示的数为：＝3．
故答案是：10，3；
（2）解：∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵PQ＝ AB＝ ×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ＝ AB；
（4）解：MN的长度不变，理由如下：
∵点M表示的数为   ＝ ﹣2，
点N表示的数为   ＝ +3，
∴MN＝|（ ﹣2）﹣（ +3）|＝| ﹣2﹣ ﹣3|＝5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

【变式2-3】（2022·广东·吴川市第一中学七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点B表示的数___________；点P表示的数___________（用含t的代数式表示）
(2)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，并求出线段MN的长．
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
【答案】(1)；
(2)线段MN的长度不变化，线段MN的长为
(3)点P、Q同时出发，3秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于2

【分析】（1）根据点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，即得点B表示的数为，由动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t，可得点P表示的数为；
（2）根据M、N分别是AP、BP的中点，知M表示的数是，N表示的数是，即得MN为11；
（3）点Q表示的数是，可得，即可解得或．
【详解】（1）∵点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，
∴点B表示的数为，
∵动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t，
∴点P表示的数为，
故答案为：；；
（2）线段MN的长度不变化，
∵M、N分别是AP、BP的中点，
∴M表示的数是，N表示的数是，
∴；
（3）点Q表示的数是，根据题意得：，
∴，
∴或，
解得或，
答：点P、Q同时出发，3秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．
【点睛】本题考查了数轴动点问题以及利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数．


【考点3】 与三角尺有关的计算
自我解读：①涉及三角尺的题目，题目自带45°、90°、30°、60°的角.
②常利用和差来进行计算求出其他角.
【例3】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，按如图所示摆放，则______．

【自我解读】①分别利用和差关系表示出∠AOD和∠BOC；
②利用90°求职即可.
【解题过程】
【分析】利用角的和差转化运算即可．
【详解】解：∵




故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角板角度的计算，熟悉掌握三角板的度数是解题的关键．
【变式3-1】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）如图1，已知，有一个三角板BDE与共用一个顶点B，其中．

（1）若BD平分，求的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转度（），当时，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由角平分线性质解题，再由解题即可；
（2）画出示意图，当时，与三角板有重叠角，根据角的和差解题即可．
【详解】（1）平分，



；
（2）当时，


．

【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式3-2】已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【解题思路】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
【解答过程】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝80°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（3）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
【变式3-3】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．

（1）将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（2）若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AOM＝45°；（2）∠AOM＝2∠NOC．理由见解析．
【分析】（1）根据互余、互补、角平分线的意义，得出各个角之间的关系，从而求出答案；
（2）设未知数，表示图中的各个角，再利用互补得出结论．
【详解】解：（1），平分，
，
，
，
，
，
；
（2）．
令为，为，，
，
，
，即，
．
【点睛】考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．


角平分线问题
【考点4】 角平分线问题
自我解读：①常将相同的角或者有倍数关系的角用参数来表示，然后利用方程思想处理.（出现俩个角平分线时，设俩个参数也是很正常的，不用担心）。
【例4】如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠AOC的度数．
【自我解读】①已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．由OE平分∠BOC，得∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，进而解决此题．
②欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE=13∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝18°，进而可求得∠AOC．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC＝40°，·
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°．
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵∠COE=13∠DOB，
∴∠DOB＝3∠COE．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．
∴∠COE＝18°．
∴∠BOC＝2∠COE＝36°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．
【变式4-1】（2022·广东·吴川市第一中学七年级期末）如图，两个直角有相同的顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【详解】解：①∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=90°-∠BOC，∠BOD=90°-∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD=90°，故②错误；
③∵∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=45°，则∠BOD=90°-45°=45°
∴OB平分∠COD，故③正确；
④∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．

【变式4-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．

(1)若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
(2)若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
【答案】(1)∠DOF＝108°
(2)∠DOF＝112.5°

【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE＝90°，再由角平分线求出∠COF＝∠AOC＝72°，最后可得∠DOF．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，∠COF＝3x°，再由角平分线求出∠AOF＝∠COF＝3x°，所以∠AOE＝4x°，再由垂直定义列出式子，解出方程即可．
（1）
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°；
∵∠COE＝54°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝144°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠COF＝∠AOC＝72°，
∴∠DOF＝180°－∠COF＝108°．
（2）
设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，
∴∠COF＝3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝3x°，
∴∠AOE＝4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴4x＝90，解得x＝22.5，
∴∠COF＝3x°＝67.5°，
∴∠DOF＝180°－∠COF＝112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列出方程进行求解，难度适中．

【变式4-3】（2022·新疆·库车市第七中学七年级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．

【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．

【考点5】折叠问题
自我解读：①线段折叠可以理解为折叠的点即为重合的俩个点的中点，进而利用中点公式.
②角度折叠问题，可理解为折叠的线为重合的俩个角的角平分线.
【例5】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．

【自我解读】①设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方
程求解即可．
【解题过程】
解：设折痕对应的刻度为x，
由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10，
依题意得：x＝＋10＝20，
故答案为：20．

【变式5-1】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（    ）

A．30° B．60° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=，，根据得到，即可求出答案．
【详解】解：由折叠得：∠AEF=，，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=，是解题的关键．

【变式5-2】 已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．

（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
【解题思路】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）根据∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可．
【解答过程】解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF
∴∠NEF=12∠AEF，∠MEF=12∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF=12∠AEF+12∠BEF=12（∠AEF+∠BEF）=12∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN=12×180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG
∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=12∠BEG
∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）=12（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG=12（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°
（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，
若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．

【变式5-3】如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有几种可能．

【答案】折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【分析】先确定这三段的长度分别为10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6种情况：（1）剪切处右边部分长度为10cm，左边为20cm；（2）剪切处右边部分长度为10cm，左边为30cm；（3）剪切处右边部分长度为20cm，左边为10cm；（4）剪切处右边部分长度为20cm，左边为30cm；（5）剪切处右边部分长度为30cm，左边为10cm；（6）剪切处右边部分长度为30cm，左边为20cm；分别求出折痕刻度，问题即得解决．
【详解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），
10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段长分别为10cm、20cm、30cm；
（1）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为10+20÷2＝20（cm）；
（2）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为10+30÷2＝25（cm）；
（3）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为20+10÷2＝25（cm）；
（4）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为20+30÷2＝35（cm）；
（5）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为30+10÷2＝35（cm）；
（6）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为30+20÷2＝40（cm）．
综上所述：折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【点睛】本题考查了图形的剪拼和线段的和差计算，解答此题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件全面讨论、正确列式求解．


【考点6】 角中单射线转动问题
自我解读：①常用t来表示出动角，从而用含t的式子表示其他的角，最后利用和差等量关系或者题目给
出的具体的等量关系，列出t的式子进行求解即可.
【例6】（2022·湖南·长沙市开福区清水塘实验学校七年级期末）已知，，OE是∠AOC的角平分线．

（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，若OD在内部运动，且OF是的角平分线时，求的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒后得到，求t的值．
【自我解读】①由已知条件结合角的和差关系依次求解 再利用角平分线的
定义求解 利用，从而可得结论；
②设由已知条件结合角的和差关系依次表示 再结合角平分线分别表示：，从而可得答案；
③用t分别表示出，因为表达式会发生变化 ，因此分3种情况:当＜时，当＜时，当＜＜时.
【解题过程】
解：（1）如图1， ，




OE是∠AOC的角平分线，



（2）如图2，设



是的角平分线，

OE是∠AOC的角平分线，



（3）由（1）得：
又旋转的角度为 旋转的角度为
与重合时， 与重合时，，
如图3，当＜时，

，


（不合题意舍去）
当＜时，如图4，

同理可得：
，


经检验：符合题意，
如图5，当＜＜时，

当时，旋转 旋转
从而同理可得：
，


经检验：符合题意，
综上：当或时，．
【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，角平分线的定义，分类思想的应用，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-1】（2022秋•温江区校级期末）已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：

（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝　30°　；
（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；
（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC=14∠BOC，求∠COM-23∠BON的值？
【解题思路】（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；
（2）根据角平分线的性质并结合∠MON＝∠COM﹣∠CON解答即可；
（3）根据题意得到∠COM=12∠AOC，∠BON=34∠BOC，再利用∠COM-23∠BON计算，即可解答．
【解答过程】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC=12∠AOC，
∴∠NOC=12∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠BOC+12∠AOC=12∠AOB=12×60°＝30°．
故答案为：30°；
（2）不变，
当OC旋转到∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC=12∠AOC，
∴∠NOC=12∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12∠BOC-12∠AOC=12∠AOB=12×60°＝30°．
∴∠MON的度数不会发生变化；
（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，
∵OM平分∠AOC，∠NOC=14∠BOC，
∴∠COM=12∠AOC，∠BON=34∠BOC，
∴∠COM-23∠BON=12∠AOC-23×34∠BOC=12∠AOC-12∠BOC=12∠AOB＝30°．
【变式6-2】．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC　互补　；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）
（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？
（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．

【解题思路】（1）根据周角与∠AOB，∠DOC的差得结论；
（2）根据OE平分∠AOD，再利用角的和差关系，推角相等，从而得OF是∠BOC的平分线；
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度数，进而得∠AOD的度数．
【解答过程】解：（1）∠AOD和∠BOC 互补．
∵∠AOD+∠BOC
＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC
＝360°﹣90°﹣90°
＝180°．
∴∠AOD和∠BOC互补．
故答案为：互补．
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠EOA，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，
∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，
∴∠BOF＝∠COF．
∴OF是∠BOC的平分线．
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，
∴∠FOC＝∠BOF＝3x．
∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°，
∴90°+3x+3x+2x＝180°，
解得，x＝（908）°．
∴∠AOD＝180﹣6×（908）°＝112.5°．

【变式6-3】（2022·广东广州·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．

(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°

【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可．
（1）
解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝70°；
（2）
解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，

∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，

∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）
解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，

设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，

∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，

∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，

∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．


【考点7】 角双动线问题
自我解读： ①常用t来表示出动角，从而用含t的式子表示其他的角，最后利用和差等量关系或者题目给出的具体的等量关系，列出t的式子进行求解即可.
②也常用追及问题的思考角度去处理问题，只是常看成一个在动，知识速度发生了变化。如
俩个射线围绕一个点同一方向旋转，一个速度为2度/s，一个速度为1度/s；那么我们可以认为其中一根静止，另外一根的速度为2-1=1度/s.
【例7】
（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【自我解读】①先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
②先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
③如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
【解题过程】
（1）
解： 是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）
，
，
是的平分线，是的平分线，
，

故答案为：
（3）
是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，

，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，

，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，

，
，
；
综上，的度数为或．

【变式7-1】（2022·广东广州·七年级期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．

求：（1）∠COD的度数；
（2）求∠MON的度数
【答案】(1)90°;(2)135°.
【分析】(1)根据∠COD=∠AOB−∠AOC−∠BOD，代入即可求解；
(2)先根据角平分线的意义求出∠COM和∠DON，再根据∠MON=∠COM+∠DON+∠COD，即可求解．
【详解】解：（1）∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠COD=180°−∠AOC−∠BOD=180°-30°-60°=90°；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=15°, ∠DON=∠BOD=30°
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°
【点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角平分线的性质，本题属于基础题型．

【变式7-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC＝60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．

(1)若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为____；
(2)若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转5°，设旋转时间为t秒，0＜t＜180，当∠AOC＝∠BOC时，求t的值．
【答案】(1)1：2或5：4
(2)t的值为45或50或110

【分析】（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转，②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转，根据射线OA与OB旋转的角度即可得到结论；
（2）分四种情况讨论：①当0＜t≤即0＜t≤48时，②当48＜t≤60时，③当60＜t≤即60＜t≤72时，④当72＜t＜180时，根据∠AOC＝∠BOC即可得到结论．
（1）
解：设旋转时间为x秒，①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时，
由题意得： ，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2；
②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，
由题意得：，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为5：4；
综上，射线OA与OB旋转的速度之比为1：2或5：4，
故答案为：1：2或5：4；
（2）
解：①当0＜t≤即0＜t≤48时，
由题意得：60﹣t＝240﹣5t，
解得：t＝45；
②当48＜t≤60时，
由题意得：5t﹣240＝60﹣t，
解得：t＝50；
③当60＜t≤即60＜t≤72时，
由题意得：t﹣60＝5t﹣240，
解得：t＝45（不合题意，舍去）；
④当72＜t＜180时，
由题意得：t﹣60＝240﹣（5t﹣360），
解得：t＝110；
综上，t的值为45或50或110．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到相等关系列出方程，是解题的关键．

【变式7-3】（2022·广东·吴川市第一中学七年级期末）已知O是直线AB上的一点，，OE平分．

(1)如图①，若，则___________．
(2)如图①，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，理由见解析

【分析】（1）由，可知，根据OE平分，可得，所以；
（2）由，可得，则，根据OE平分，可得；所以．
（3）设，则，根据OE平分，可得；所以．
【详解】（1）∵，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∵OE平分，
∴；
∴．
（3）成立，理由如下：
设，
∴，
∵OE平分，
∴；
∴．
∴（2）中所求出的结论还成立．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系．


综合巩固
1．（2022·广东·正德中学七年级期末）如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．

(1)求线段AD的长；
(2)若在线段AB上有一点E，CE=BC，求AE的长．
【答案】(1)AD=6；
(2)AE的长为3或5．

【分析】（1）根据AD=AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题；
（2）根据AE=AC-EC，只要求出CE即可，分两种情况讨论即可解决问题．
（1）
解：∵AB=8，C是AB的中点，
∴AC=BC=4，
∵D是BC的中点，
∴CD=BC=2，
∴AD=AC+CD=6；
（2）
解：∵BC=4，CE=BC，
∴CE=×4=1，
当E在C的左边时，AE=AC-CE=4-1=3；
当E在C的右边时，AE=AC+CE=4+1=5．
∴AE的长为3或5．
【点睛】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意分类讨论，防止遗漏．

2．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）已知数轴上有A，B两点，点A位于原点左侧，离原点5个单位，点B位于原点右侧，离原点8个单位．已知P，Q是数轴上的两动点，且点Q始终在点P的右侧3个单位处，当点P运动时，点Q也随之运动．出发时点Q与点B重合，点P以每秒2个单位的速度沿着方向的路线运动．设运动时间为t秒．

(1)点A表示的数为__________，点B表示的数为__________，点P表示的数为（用含t的代数式表示）__________，点Q表示的数为（用含t的代数式表示）__________．
(2)当P、Q两点所对应的数互为相反数时，求出t的值．
(3)当t为多少时，．
【答案】(1)，8，，
(2)
(3)或10

【分析】（1）根据点A和点B的位置与它们距离原点的距离可得A、B表示的数，根据点P和点Q的运动方向和速度可得点P和点Q表示的数；
（2）由相反数的定义可得：5−2t＝−（8−2t），然后解方程可得答案；
（3）分别用含t的代数式表示出AP和BQ，再列绝对值方程求解即可．
（1）
解：∵点A位于原点左侧，离原点5个单位，点B位于原点右侧，离原点8个单位，
∴点A表示的数是−5，点B表示的数是8，
∴点P表示的数是5−2t，点Q表示的数是5−2t+3=8−2t．
故答案为：-5，8，5−2t，8−2t．
（2）
解：由相反数的定义可得，5−2t＝−（8−2t），解得：．
∴t的值为．
（3）
解：∵点A表示的数是−5，点B表示的数是8，点P表示的数是5−2t，点Q表示的数是5−2t+3=8−2t
∴AP＝|5−2t−（−5）|＝|10−2t|，BQ＝|8−2t−（8）|=|2t|=2t
∵
∴2|10−2t|=2t，即|10−2t|=t
当10-2t＞0时，即t＜5时，有10-2t=t，解得：；
当10-2t＜0时，即t＞5时，有2t-10=t，解得：t=10
∴当或10时，．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识点，根据点在数轴上的位置列出方程是解答本题的关键．
3．（2022·河北保定·七年级期末）如图，О为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分线．∠DOE＝90°．

(1)图中小于平角的角的个数是 个；
(2)求∠BOD的度数；
(3)猜想OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】(1)9；
(2)145°；
(3)OE平分，理由见解析．

【分析】（1）根据角的数法进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠DOA＝36°，再利用互补解答即可；
（3）得出∠EOB和∠EOC的度数，再利用角平分线的定义解答即可．
（1）
解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9个，
故答案为：9；
（2）
∵，OD是的平分线，
∴，
∴；
答：的度数为145°；
（3）
OE平分，理由如下：
∵，
∴，

∴
∴OE平分．
【点睛】此题考查角的计算问题，熟记平角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．

4．（2022·天津市河东区二号桥中学七年级期末）阅读材料并回答问题：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，，平分.若，请你补全图形，并求的度数．
同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）

解：如图，
，平分
_________________．
，
______________________．
同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”
请你完成以下问题：
（1）将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图中的度数．
（2）判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出一种情况对应的图形，并求的度数．
【答案】（1）45，COD，110；（2）正确，画图见解析，20°．
【分析】（1）根据角平分线的定义及角的和差关系即可将解答过程补充完整，进而求出∠BOD；
（2）另一种情形为OD在OB下侧，根据（1）的解答过程即可求出∠BOD．
【详解】解：（1），平分
．
，
．
即．
故答案为：）45，COD，110；
（2）正确．所画图形为：

，平分，
．
，
．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义，解题本题的关键是掌握角平分线的定义．

5.（2022·安徽·定远县育才学校七年级期末）如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为 （直接填空）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，请你直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ．

【答案】（1）15°；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；
（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1）由已知得，
又是直角，平分，
，
故答案为：15°；
（2）；
理由：是直角，平分，
，
则得，
所以得：；
（3）；
理由：平分，
，
则得，
所以得：．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．

6．（2022·江苏无锡·七年级期末）同一数轴上有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式（16+a）2+|c﹣12|＝0，点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．若存在m使得2AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，则该定值为 _____．
【答案】﹣168
【分析】根据题意分别表示出A，B，C表示的数为﹣4，﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，进而根据数轴上两点的距离求得，根据整式的加减结果与无关即可求得的值．
【详解】∵（16+a）2+|c﹣12|＝0，
∴16+a＝0，c﹣12＝0，
∴a＝﹣16，c＝12，
∵点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，
∴点B表示的数是﹣4，
运动后，点A，B，C表示的数分别是：﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，
∴AB＝（﹣4+3t）﹣（﹣16﹣3t）＝6t+12，
BC＝（12+4t）﹣（﹣4+3t）＝t+16，
∴2AB﹣m•BC
＝2（6t+12）﹣m（t+16）
＝12t+24﹣mt﹣16m
＝（12﹣m）t+24﹣16m，
∵2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，
∴12﹣m＝0，
解得m＝12．
此时2AB﹣mBC＝24﹣16×12＝﹣168．
故答案为：﹣168．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，整式的加减无关类型，掌握整式的加减以及数轴相关知识是解题的关键．

7.已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【解题思路】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
【解答过程】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝80°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（3）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．

8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．

(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
【答案】(1)
(2)①或；②

【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，
∴此时与重合，
射线运动的度数为，
即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，

当时，，
∴，符合．
（ii）如图2，

当时，，
∴，符合．
（iii）如图3，

当时，，
∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，

∵，
∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，
∴当时，，
∴，即，
∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．

9．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．

（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
【答案】（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90°
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝90°可以求得∠DOE的度数；
（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；
（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由，∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．
即∠DOE＝14°；
（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90°−＝．
故答案是：；
（3）①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．
化简，得∠AOC＝2∠DOE；
②2∠DOE−∠AOF＝90°．
理由：∵，
∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC−∠AOF），
∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC−∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝∠DOE−∠BOE，
∴∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．
∴∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．
化简，得2∠DOE−∠AOF＝90°．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

10．（全国·七年级期末）如图，直线l上依次有三点A、B、C，且AB=8、BC=16，点P为射线AB上一动点，将线段AP进行翻折得到线段PA′（点A落在直线l上点A′处、线段AP上的所有点与线段PA′上的点对应）如图
（1）若翻折后A′C=2，则翻折前线段AP=______
（2）若点P在线段BC上运动，点M为线段A′C的中点，求线段PM的长度；
（3）若点P在射线BC上运动，点N为B′P的中点，点M为线段A′C的中点，设AP=x，用x表示A′M+PN．

【答案】(1) 11 ；(2) PM=12 ；(3) .
【详解】试题分析：
（1）如图1，由题意可知：AA′=AB+BC-A′C=22，由AP=A′P可得AP=11；
（2）如图3当点A′在点C的左侧时，由（1）可得此时AA′=22，结合已知易得此时：PM=PA′+A′M====12；如图4，当点A′在点C的右侧时，同理可得：PM=PA′－A′M====12 ；由此即可得到PM=12；
（3）根据题意分：①当8＜x＜12；②当x＞12两种情况结合图5、图6分析解答即可.
试题解析：
（1）如图1，当翻折后点A′在点C的左侧时，∵AB=8，BC=16，A′C=2，
∴AA′=AB+BC-A′C=22，
又∵由折叠的性质可知：AP=A′P，
∴AP=11；

(2)①当A′在点C的左侧时，如图3，

由题知PA=PA′，
∵M为AC中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′+A′M====12；
②当A′在点C的右侧时，如图4，

∵M为A′C中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′－A′M====12 ；
综上可得：PM=12 ；
（3）①当8＜x＜12 此时，A′在C的左侧，如图5，

PB′=PB=x－8，
∵N为BP中点，
∴，
∵A′C=24－2x，
∵M为A′C中点，
∴，
∴ ；
②当x＞12 ，此时，A′在C的右侧，如图6

PB′=PB=x－8，，
A′C=2x－24，
∵M为A′C中点，
∴，
∴ ；
③当x＞24时，如图7，点P不在线段BC上了，不予考虑，

∴综上所述： .
点睛：（1）解第2小题时，要注意需分点A′在点C的左侧和右侧两种情况画出符合题意的图形，分别讨论；（2）解第3小题时，需注意题目中限定的条件，点P在线段BC上运动，同时需分点A′落在点C的左侧和右侧两种情况讨论；