2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的渐近线方程为进行求解.

【详解】双曲线中，，故渐近线方程为，

即.

故选：

2．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】C

【分析】求出两圆圆心距，与两圆半径和与差的绝对值比较大小，可得出结论.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

因为，则，故这两个圆相交.

故选：C.

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（    ）

A．63里 B．126里 C．192里 D．228里

【答案】C

【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到.

【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，    公比为,，

则 ，等比数列首项.

故选：C.

4．已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点做的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（    ）

A．20 B． C．36 D．30

【答案】D

【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，，利用即可求解．

【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称

设椭圆的左焦点为，由已知a=6,

则，同时

∴

故选：D．

5．在等比数列中，，，则与的等比中项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.

【详解】由已知

所以与的等比中项是，

故选：A

6．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（    ）

A．x＋y＝0 B．

C．x－y＝0 D．x＋y－4＝0

【答案】B

【分析】由题意，根据截距相等，设出直线方程为或，结合直线与圆相切求解即可.

【详解】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或，

由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径，

所以，解得或

或，解得．

故直线的方程为：，，，

所以直线l的方程不可能是

故选：B．

7．某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由“爱心”图经过点,可求出，再由“爱心”图过点与，可求出，再由a，，c，依次成等比数列可得代入即可求出答案.

【详解】解：由“爱心”图知经过点，

即，．

由“爱心”图知必过点与，

所以，得，，

若a，，c，依次成等比数列，则，

从而，所以．

故选:A．

8．已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．

【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，

由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形，

可设，则，

在直角三角形中，可得，

即为，

解得，

又在直角三角形中，，

即为，

即为，

即有，

故选：B．

二、多选题

9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（    ）

A．抛物线C的准线方程为

B．点F到直线l的距离为

C．∠AOB

D．

【答案】AB

【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确.

直线，即，

到的距离为，B选项正确.

由解得或，

不妨设，

则，

所以，C选项错误.

，D选项错误.

故选：AB

10．已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（    ）

A．数列的公差为2 B．

C．数列是公比为4的等比数列 D．

【答案】AB

【分析】因为为等差数列，，，可得，从而可得A正确；

根据等差数列的求和公式，可得，从而可得B正确；

由题意可得，，从而可得C错误；

根据等比数列的求和公式可得D错误.

【详解】解：因为为等差数列，，，

所以公差，故A正确；

所以，

所以，故B正确；

又因为，

，

所以数列是公比为16的等比数列，故C错误；

因为数列是公比为16的等比数列，且，

所以，故D错误.

故选：AB.

11．在正方体中，分别是的中点，下列说法正确的是（    ）

A．四边形是菱形

B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成角的正弦值是

D．平面与平面所成角的余弦值是

【答案】AC

【分析】利用正方体中的平行、垂直关系求解各选项即可.

【详解】设正方体的棱长为，

选项A：因为分别是的中点，易得，，

又因为，所以四边形是菱形，正确；

选项B：如图所示

因为，所以直线与所成角即为与所成角，

因为，所以直线与所成的角为，错误；

选项C：如图所示

因为平面，所以直线与平面所成角即为，

因为，所以，正确；

选项D：如图所示，设交于，

由正方体，得为中点，，

所以，，

因为平面平面，所以即为平面与平面所成角，

因为，，

所以，错误，

故选：AC.

12．已知数列是等比数列，下列结论正确的为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】A选项，设出公比，得到，当时，，A错误；

B选项，由得到，从而得到；

C选项，由得到，从而得到；

D选项，根据得到，由等比数列通项公式的性质计算，结合基本不等式得到.

【详解】设等比数列的公比为，由，得到，

因为，所以，

则，若，则，此时，A错误；

若，则，故，则，B正确；

若，则，故，则，C错误；

若，则，不等式两边同除以，得到，

所以，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离是______________．

【答案】4

【详解】试题分析：抛物线的焦点是 ,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.

【解析】抛物线性质.

14．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝______．

【答案】180

【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可.

【详解】由等差数列前项和的性质得：

，，成等差数列，

所以，

得，解得.

故答案为：

15．数列满足，，则______．

【答案】

【分析】利用累乘法求得正确答案.

【详解】

，

也符合上式，

所以.

故答案为：

16．已知点P是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，的取值范围是______．

【答案】

【分析】数形结合，利用中位线定理和椭圆的定义即可得到，根据的取值范围即可求解.

【详解】

设与延长线交于点，

因为，所以，

又是的平分线上一点，

所以为的平分线，

所以且为的中点，

因为为的中点，

所以且，

因为

所以

因为或

所以

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆C：，过点且倾斜角为的直线与圆交于，两点．

(1)当时，求的长；

(2)当点为线段中点时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，得直线斜率，又由直线与圆相交弦长公式即可得的长；

（2）点为中点时，则，则可得斜率关系，从而可得直线的斜率，又点在直线上，即可得得直线的方程．

【详解】（1）解：当时，则．

此时直线方程为：，即．

故圆心到直线AB的距离．

又，所以．

（2）解：点为中点时，则，所以，

其中，所以．

所以直线方程为，即．

18．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，E为的中点，．

(1)证明：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)直接利用线面垂直的判定来证明线线垂直

(2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面的法向量，即可求解两个平面的夹角余弦值.

【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

所以，又由题可知，AC⊥BC，

，平面且，

所以AC⊥平面，又因为平面，所以．

（2）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，

所以，，又AC⊥BC

所以，，三条直线两两互相垂直

如图所示，以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建系如图，

由，，可得，则有，，，，

设平面的一个方向量为，

，

所以，即，令，则，，所以，

因为平面，所以为平面的一个法向量，

所以，，

即平面与平面夹角的余弦值等于．

19．已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．

【答案】(1)

(2)24

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.

（2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长公式求得.

【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，

又因为双曲线C：经过点，

所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；

（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：

设点，，

联立，

得，

所以，，

从而.

所以弦长|AB|的值为24．

20．已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．

(1)求数列与的通项公式

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式

（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前n项和

【详解】（1）解：设的公差为，则，所以

解得，所以；

由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．

所以．所以．

（2）由题得．

所以

则

两式相减得

所以．

21．已知数列的前n项和为，若．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用与之间的关系，可求出的通项公式，在利用等差数列的定义证明即可.

(2)先通过通项公式判断前5项小于0，第6项以后都是大于0，可以分，

和，两部分进行求和，即可得出答案.

【详解】（1）因为，

所以时，，

由①②相减可得，，，

当时，也满足题意，

故的通项公式为：．

所以时，，

所以时，总成立，

所以数列是等差数列．

（2）因为，

所以，

当时，；当时，，

由(1)中结论可知，当时，；

当时，，

从而．

22．已知平面内的两点，，，过点A的直线与过点B的直线相交于点C，若直线与直线的斜率乘积为，设点C的轨迹为E．

(1)求E的方程；

(2)设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M，N，若直线PM，PN斜率之积为－2，求证：直线MN恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）设，根据斜率公式计算化简即可.

（2）设直线，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据得到，解得答案.

【详解】（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，

可得，化为，

即为．

（2）设直线，则，，

即，设，，

而，，，

则由，得，

，

则，

即，

整理得，解得或（舍去），

所以直线，知直线MN恒过点．

【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理法解决问题是常考的方法，需要熟练掌握.