2022-2023学年江苏省南通地区九年级上学期数学期末卷Ⅱ（有答案）

这是一份2022-2023学年江苏省南通地区九年级上学期数学期末卷Ⅱ（有答案），共15页。


2022-2023学年度第一学期期末试卷
九年级数学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项:
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上
指定的位置。
3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0 的一个根是2，则a的值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．预计2019年建成通车的沪通长江大桥全长约11100米，将11100用科学记数法表示为（　 　）
A．1.11×105 B．1.11×104 C．0.111×106 D．11.1×103
3．如图，AB是⊙O的直径，AC=3BC，则∠BAC的度数为（　 　）

A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
4．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（　 　）
A．5，5 B．5，4 C．4，4 D．4，5
5．二次函数y＝﹣(x﹣1)2+3图象的对称轴是(    )
A．.直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3
6．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-3x+b(b≠0)的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则∠OAB的余弦值为（　 　）
A．22 B．33 C．32 D．12
7．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则整数a最大是（     ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB，垂足为D，
E为BC的中点，AE与CD交于点F，则EF的长为（     ）

A．233 B．235 C．433 D．435
9．如图平面直角坐标系中，点A，B均在函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图像上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，若点B（1，8），⊙A的半径是⊙B半径的2倍，则点A的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（2，4） C．（3，4） D．（4，2）
10．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线l1//l2//l3//l4且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（ ）

A．310 B．35 C．612 D．52

二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．若，则_______．
12．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_______．
13．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=x2-x-2上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为_______．
14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，若AB＝6，则AP＝________．
15．已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为________cm2．
16．已知m 是关于 x的方程 的一个根，则代数式 6m-3m2+1的值等于________．
17．如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，CD为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H， FH·FC＝______．

18．如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是_____．


三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）
计算：
（1）cos30∘1+tan45∘； （2）4sin30∘-2cos45∘+3tan60∘


20．（本小题满分10分）
解下列方程：
(1)x2﹣4x﹣12＝0； (2)x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．



21．（本小题满分10分）
已知关于x的方程x2+2x+a＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．




22．（本小题满分10分）
一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是　 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．



23．（本小题满分12分）
王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i=1:3（点E，C，H在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．



24．（本小题满分12分）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝210，CE＝4．求图中阴影部分（弦AC和劣弧AC围成的部分）的面积．






25．（本小题满分12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，S的最大值是多少；
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．





26．（本小题满分14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=43S△AOC时，求点P坐标；

(3)如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2 ，求S1S2的最大值；

(4)如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】根据韦达定理，可知另一个根为3，再根据韦达定理可知a的值为根之和，即可求得
【详解】x2-ax+6=0的一个根为2，设另一根为x2
∴2x2=6，解得x2=3
又∵2+x2=a
∴a=5
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】11100的小数点向左移动4位得到1.11，
所以11100用科学记数法表示为：1.11×104，
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】连接OC，由AC=3BC可求得∠AOC的度数，由等腰三角形的性质即可求得∠BAC的度数．
【详解】如图，连接OC

∵AC=3BC
∴AC=34BCA
∴∠AOC=34×180°=135°
∵OA=OC
∴∠BAC=12(180°-∠AOC)=12×(180°-135°)=22.5°
故选：A
【点睛】本题考查了弧的关系与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，关键是掌握弧的关系与圆心角的关系．
4．B
【分析】根据平均数求出x，利用中位数和众数定义求出答案．
【详解】解：∵174+4+5+5+x+6+7=5，
∴x=4，
∴将数据由小到大重新排列为4，4，4，5，5，6，7，
∴这组数据的中位数为5，众数为4，
故选：B．
【点睛】此题考查了已知数据的平均数求未知数的值，中位数的定义，众数的定义，正确掌握各定义是解题的关键．
5．A
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：二次函数y=-(x-1)2+3图象的对称轴是直线x=1，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
6．D
【分析】先求得点A、B的坐标，表示出OA、OB的长，利用勾股定理求得AB的长，即可求得∠OAB的余弦值．
【详解】解：令x=0，y=b，令y=0，x=33b，
∴点A的坐标为(33b，0)，点B的坐标为(0，b)，
∴OA=33b、OB= b，
∴AB＝OA2+OB2=33b2+b2=233b，
∴cos∠OAB =OAAB=33b233b=12，

故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，解直角三角形，求得AB的长度的解题的关键．
7．D
【分析】若一元二次方程有两个不等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，还要注意二次项系数不为0；
【详解】∵ 有两个不等的实数根，
∴△=b2-4ac=4-4a＞0，且a≠0，
解得：a＜1且a≠0，
则a的最大整数为-1；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．
8．B
【分析】连接DE，可证得△BED∼△BCA，即可得△FED∼△FAC且相似比为1：2，故有，在Rt△ACE中由勾股定理可得AE=25，故EF=235．
【详解】连接DE，由题意可知E为BC中点，D为AB中点
∴BEBC=BDBA=12
又∵∠B=∠B
∴△BED∼△BCA
∴∠BED=∠BCA，EDCA=12
∴DE//AC
∴∠EDC=∠DCA，∠DEA=∠CAE
∴△FED∼△FAC，且相似比为1：2
故
在Rt△ACE中有AC2+CE2=AE2
即AE=AC2+CE2=42+22=20=25
∴EF=13AE=13×25=235

故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质和勾股定理，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例，对应角相等．
9．D
【分析】把B的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．
【详解】解：把B的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，
则函数的解析式是：y=8x，
∵B的坐标为（1，8），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A的半径是2，
把y=2代入y=8x得：x=4，
则A的坐标是（4，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG=90°，AB=5，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】解：作CF⊥l4 于点F，交l3 于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得,
GE∥BF，CE=EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴CECF=CGCB ,∵CECF=12
∴CGCB=12
∵BC=3,
∴GB=32
∵l3 ∥l4
∴∠α=∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，
∴∠ABG=90°，
∴tan∠BAG=BGAB=325=310 ．
∴tanα的值为310．
故选:A．

【点睛】本题考查矩形的性质,解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．
【分析】根据已知条件和比例的基本性质可设b=k，a=3k，然后代入化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴设b=k，a=3k，
∴a-ba=3k-k3k=2k3k=23
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的基本性质，能够根据题意设出未知数b=k，a=3k是解题的关键．
12．（0，1）
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．

13．y1>y3>y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣x-2＝（x-12）2-94，开口向下，对称轴为直线x＝12，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣x-2＝（x-12）2-94，开口向下，对称轴为直线x＝12，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
由12-(-2)= 52，
∴x=52与x=-2关于x=12对称，x=52时的函数值为y1
由52＞2＞1，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
14．
【分析】根据黄金分割的定义得到AP=5-12AB，再把把AB=6代入可计算出AP的长，然后计算AB-AP即可．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP=5-12AB=6×5-12=35-3．
故答案为．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB,，并且线段AB的黄金分割点有两个．
15．18π
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】底面周长=6π，
圆锥的侧面积=12×6π×6=18πcm2．
故答案为：18π
考点：圆锥的侧面积
16．-14
【分析】将m代入方程中得到m2-2m=5，进而得到-3m2+6m=-3×5=-15由此即可求解．
【详解】解：因为m是方程的一个根，
∴m2-2m-5=0，
进而得到m2-2m=5，
∴-3m2+6m=-3×5=-15，
∴6m-3m2+1=-15+1=-14，
故答案为：-14．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的概念，是方程的解就是将解代回方程中，等号两边相等即可求解．
17．32425
【分析】连接BF、OF、OD，OD交CH于K，首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】连接BF、OF、OD，OD交CH于K，
∵OF=OC，DF=DC，
∴OD垂直平分线段CF，
∵S△OCD=12OC⋅CD=12OD⋅CK，OD=OC2+CD2=5，
∴CK=FK=OC⋅CDOD=125，
∴OK=OC2-CK2=95，
∵OB=OC，CK=KF，
∴OK为△BCF的中位线，
∴BF=2OK=，
∵BC是直径，
∴∠BFC=90°，
∵∠CBH=90°，
∴∠CBF+∠FCB=∠HBF+∠CBF=90°，
∴∠FCB=∠HBF，
∵∠BFH=∠BFC，
∴△BFH∽△CFB，
∴BF2=CF⋅FH=32425,
故答案为：32425．
．
【点睛】此题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的判定及性质，勾股定理，三角形中位线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，熟记各定理并熟练解决问题是解题的关键．
18．1.5π
【分析】求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可．
【详解】解：当y=0时，0 =，
解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
所以M点坐标为（1，0），
由抛物线y =可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3，
∵N是PE的中点，
∴∠MNE=90°，
∴点N在以EM为直径的圆上，
当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆，
由坐标可知EM=3，
点N运动的路径长为：12×3π=1.5π，
故答案为：1.5π．

【点睛】本题考查了二次函数的性质和弧长公式，解题关键是确定点运动的轨迹，利用弧长公式准确求解．
19．（1）；（2）4
【分析】（1）先把函数值代入，再进行二次根式的除法即可；
（2）先把函数值代入，再进行二次根式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解（1）cos30∘1+tan45∘，
=，
=；
（2）4sin30∘-2cos45∘+3tan60∘，
=，
=2-1+3，
=4．
【点睛】本题考查特殊三角函数值化简求值问题，掌握特殊的三角函数值及二次根式混合运算法则是解题关键．
20．(1)x1＝6，x2＝﹣2
(2)x1＝3，x2＝﹣2

【分析】（1）用分解因式法解一元二次方程即可；
（2）先移项然后用分解因式法解一元二次方程即可．
(1)
解：x2﹣4x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2．
(2)
x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
移项得：x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（1）a<1；（2）a=-3，另一个根为-3
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求解即可；
（2）根据一元二次方程根的含义，将x=1代入方程，求得a，再求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）该方程有两个不相等的实数根
则Δ=22-4a>0，解得a<1
故答案为a<1
（2）根据题意得，将x=1代入方程得，1+2+a=0，解得a=-3
将a=-3代入方程可得：x2+2x-3=0
解得x1=1，x2=-3
所以a=-3，另一个根为x=-3
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根的含义以及一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的基本知识．
22．（1）25；（2）组成的两位数是奇数的概率为35．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率；
故答案为：25；
（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为12，
所以组成的两位数是奇数的概率=1220=35．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（1）2米；（2）6+43米
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，DHCH=13，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（210）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH=DHtan∠AGC=233=23，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=23+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=ABBG=ABBC+CG=ABAB+23+6=33，
解得：AB=6+43，
即大树AB的高度为6+43米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）9π-18
【分析】（1）连结OA，根据圆周角定理求得∠AOC=90°，又因AD∥OC，根据平行线的性质可得∠OAD=90°，即OA⊥AD，即可证得 AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2 10，在Rt△OAE中，根据勾股定理列出方程，解方程求得R的长，即可求得⊙O的半径；再求出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连结OA，如图，

∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∵OC∥AD，
∴∠AOC+∠OAD=180°
∴∠OAD=90°，即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-4，AE=210 ，
在Rt△OAE中，
∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R-4）2=（210 ）2，
解得R=6或R=-2（舍去），
即⊙O的半径为6；
∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC
=90×π×62360-12×62=9π-18
【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理及阴影部分的面积，第（2）问利用勾股定理求得半径的长是解决问题的关键.．
25．(1)当t为52秒时，S最大值为；（2）2013； （3）52或2513或4013．
【分析】（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出PHBC=APAB，从而求出AB，再根据，得出PH=3﹣35t，则△AQP的面积为：12AQ•PH=12t（3﹣35t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，AEAC=APAB，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=12QC得出﹣95t+4=﹣12t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出PQ=，在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可．
【详解】解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴PHBC=APAB，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴PH3=5-t5，
∴PH=3﹣35t，
∴△AQP的面积为：
S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t）=﹣310（t﹣52）2+，
∴当t为52秒时，S最大值为cm2．
（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴AEAC=APAB，
∴AE=AP⋅ACAB=(5-t)×45=﹣45t+4
QE=AE﹣AQ═﹣45t+4﹣t=﹣95t+4，
QE=12QC=12（4﹣t）=﹣12t+2，
∴﹣95t+4=﹣12t+2，
解得：t=2013，
∵0＜2013＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是2013s；
（3）由（1）知，
PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣95t+4
∴PQ=PD2+QD2=-35t+32+-95t+42=，
在△APQ中，
①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=52；
②当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=2513，t3=5；
③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0，t5=4013；
∵0＜t＜4，
∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，
∴当t为52s或2513s或4013s时，△APQ是等腰三角形．


【点睛】本题考查相似形综合题．

26．(1)y=-x2+2x+3
(2)P（1，4）
(3)916
(4)M（0，-716）

【分析】（1）将C（0，3）代入y=-x2+bx+c求出c=3，再由x＝−b2a＝1求出b，即可求解析式；
（2）分别求出AD和CE的长，根据S四边形CPED=12CE⋅PD列方程计算即可；
（3）根据PHAH计算即可；
（4）根据翻折后CQ是对称轴，作M关于CQ的对称点M′，先求出M点坐标即可．
（1）
将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴x=-b2a=1，即b2=1，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）
∵二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
∴A（-1,0），B（3,0）
∴直线BC的解析式为，S△AOC=12×3×1=32
∵P的横坐标为a，，PQ⊥x轴，
∴P点坐标为(a,-a2+2a+3)，D点坐标为(a,-a+3)
∴PD=-a2+3a
∵CE平行于x轴
∴C、E关于对称轴x=1对称，且PQ⊥CE
∴E点坐标为（2,3）
∴CE=2
∵S四边形CPED=12CE⋅PD=43S△AOC
∴12×2(-a2+3a)=43×32，解得
当a=2是P与E重合
∴a=1
∴P（1，4）；
（3）
过点A作x轴的垂线交BC于点G，

∵直线BC的解析式为：y=-x+3，A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AGH，
∴S1S2=PHAH=PDAG=-a2+3a4=-14(a2-3a)=-14(a-32)2+916，
∴当a=32时，PHAH有最大值，最大值是916；
（4）
当a=32时，Q（32，0），
设直线CQ的解析式为：y=kx+b，
把C（0，3），Q（32，0），代入可得：32k+b=0b=3，解得k=-2b=3，
∴直线CQ的解析式为：y=-2x+3，
如图，设点M关于CQ的对称点为M′，连接MM′，交CQ于点R，交x轴于点N，则R是MM′的中点，且MM′⊥CQ，

∴∠OMN+∠QCO=90°，
∵∠CQO+∠QCO=90°，
∴∠CQO=∠OMN，
∵∠COQ=∠NOM=90°，
∴△COQ∽△NOM，
∴CONO=OQOM，
设点M（0，m），
∴3NO=32-m，解得NO=-2m，
设直线MM′的解析式为：y=k′x+b′，
将M（0，m），N（-2m，0）代入可得：-2mk'+b'＝0b'＝m，解得k'=12b'=m，
∴直线MM′的解析式为：y=12x+m，令12x+m=-2x+3，解得x=6-2m5，
∴y=-2×6-2m5+3=3+4m5，
∴R（6-2m5，3+4m5），
∵M（0，m），且R是MM′的中点，
∴M′（12-4m5，6+3m5），
∵点M′在抛物线上，
∴6+3m5=-（12-4m5）2+2×12-4m5+3，
解得m=-716．（m=3舍），
∴M（0，-716）．
【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，解题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程．