2022-2023学年江苏省南通市海安市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市海安市九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；
C选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，理解中心对称图形的概念，找准对称中心是解答的关键．
2. 若一元二次方程的两个根为、，则是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两根之积等于即可解决问题．
【详解】解：一元二次方程的两个根为、，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
3. 一个不透明的袋子里装有3个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，取出球的颜色可能性最大的是（ ）
A 红色B. 黄色
C. 白色D. 可能性一样大
【答案】A
【解析】
【分析】根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大；首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可．
【详解】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，其中红球个数最多，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，
故选：A．
【点睛】本题主要考查可能性的大小，解决此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小．
4. 若，两点在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点A、B的横坐标代入函数解析式求出各纵坐标后再比较大小．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，；
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用函数的增减性来判断，也可以代入后比较．
5. 如图，中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据垂径定理得出，再根据圆周角定理可得出结论．
【详解】解：在中，，是半径，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
6. 下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到与的二次项系数相同的选项即可确定正确的选项．
【详解】解：∵形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，
∴与形状相同，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数形状相同，难度较小．
7. 如图，在平面直角坐标系中，，O，A，C三点在同一直线上，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得和是位似图形，位似中心为原点，再由位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵O，A，C三点在同一直线上，
∴和是位似图形，位似中心为原点，
∵，
∴点C的横纵坐标均等于点A的横纵坐标的3倍，
∵，
∴点C的坐标为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意得到和是位似图形是解题的关键．
8. 下列点中，一定在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不在
【答案】B
【解析】
【分析】把各个点的坐标代入函数解析式验证即可求解．
【详解】A、把代入，可得：，该选项不符合题意；
B、把代入，可得：，该选项符合题意；
C、把代入，可得：，该选项不符合题意；
D、在函数图像上，故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图像上点的坐标特征是关键．
9. 如图，正方形，，点F是对角线上的动点，点E为边中点，设，，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，由A、C关于对称，推出，推出，推出当C、F、E共线时，的值最小，根据，，求出y的最小值为的长，再求出DF′的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，
∵A、C关于对称，
∴，
∴，
∴当C、、E共线时，的值最小，
∵，
在中，，
∴y的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，y有最小值，
∴图象的最低点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，连接，．若面积为8，则的值是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，其中，，联立与得，即，可得，．因为，根据面积为8即可解决问题．
【详解】解：设，，其中，．
联立与得：，即，
，．
，
面积为8，
，解得，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，三角形的面积等知识，解题的关键是利用根与系数关系解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分。共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若是方程的一个根，则的值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】把代入得关于的方程，然后解此方程即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 点和点B关于原点对称，则点B的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【详解】解：∵点，点A与点B关于原点对称，
∴点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是关键．
13. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
【答案】3π
【解析】
【详解】∵圆锥的底面圆半径是1，
∴圆锥的底面圆的周长=2π，
则圆锥的侧面积=×2π×3=3π，
故答案为3π．
14. 如图，将绕点C顺时针旋转30°得到，边，相交于点F，若，则的度数为______．
【答案】118°##180度
【解析】
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，得∠ACD=30°，∠A=∠D=32°，进而根据三角形的内角和定理得结果．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，
∴∠ACD=30°，∠A=∠D=32°，
∴∠DFC=180°-（∠ACD+∠D）=180°-（32°+30°）=118°，
故答案为：118°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15. 如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是，如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意：设该砖的质量为，其为定值，且有，即与成反比例关系，且面向下放在地上时地面所受压强为帕，则把砖的面向下放在地下上，地面所受压强是．
【详解】解：设该砖的质量为，则
面向下放在地上时地面所受压强为帕，，，三个面的面积之比是
把砖的面向下放在地下上，．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16. 《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步．
【答案】1255
【解析】
【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长．
【详解】解：根据题意得步，步，步，步，
，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，
即，
，
，
，
，
（步），
即山峰的高度为1255步．
故答案为：1255．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长．
17. 已知，，当时，函数；当时，函数．点在函数y的图象上，当n取一实数时，存在三个不同的实数m，则n的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出两个函数图像，再根据已知条件画出y的函数图像，求出点A和点B坐标，将当n取一实数时，存在三个不同的实数m转化为存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点，根据点A和点B的纵坐标可得n的范围．
【详解】解：画和的图像如下：
∵当时，函数；当时，函数，
∴，
则图像如下：
如图，点A为的顶点，点B为与y轴交点，
在中，顶点为，即，
令，则，则；
∵当n取一实数时，存在三个不同的实数m，
∴存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点，
∴当直线在和之间时，满足条件，
故n的范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，题目比较抽象，解题的关键是读懂题意，转化为图像问题，利用数形结合思想求解．
18. 如图，在中，，，为上一点，当最大时，连接并延长到，使，则的最大值为 _____．
【答案】18
【解析】
【分析】以为圆心，为半径画圆，得到当时，最大；设，则，过点作于点，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
【详解】解：以为圆心，为半径画圆，如图，
由图形可知，当与相切时，最大，此时．
设，则．
过点作于点，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，有最大值为18．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用圆的有关性质得到是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
或，
，．
【小问2详解】
，
，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段AB绕原点O逆时针旋转到．
（1）求点的坐标；
（2）求点B运动的路径长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，作轴于点，轴于点，可证明，得，，则点的坐标是；
（2）由旋转得，，以点为圆心，的长为半径作，根据弧长公式求出的长，就是点运动的路径长．
【小问1详解】
解：连接、，作轴于点，轴于点，则，
将线段绕原点逆时针旋转到，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
点在第二象限，
点的坐标是．
【小问2详解】
由旋转得，，
以点为圆心，的长为半径作，则点运动的路径长为的长，
作轴于点，
，
，，
，
，
点运动的路径长是．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，B、C为反比例函数（x＞0）图象上两点，延长与x轴相交于点A，且点B为．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若的面积等于6，求k的值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）作轴于，轴于，则，根据三角形中位线的性质可得，，由点的坐标求得，即可得到点的横坐标为1，即可求得，从而得到；
（2）设，，则，，求得，然后利用三角形面积公式得到，解得．
【小问1详解】
解：作轴于，轴于，则，
点为中点，
，
，
为反比例函数图象上点，，
，
，
点为中点．
点的纵坐标为2，
，
，
；
【小问2详解】
设，，则，，
，
，
的面积等于6，
，即，
．
故的值是8．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
22. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是．（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等．）
（1）如图1，在一定时间段内， A、B之间电流能够正常通过概率为 ；
（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）画树状图，共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）画树状图如下：
共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种，
、之间电流能够正常通过的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，在一定时间段内、之间电流能够正常通过的结果有3种，
在一定时间段内、之间电流能够正常通过的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，为的直径，弦，平分，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，再由，即，可得，即可证明是的切线；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可得到，则，即的半径长为2．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴
∴（负值舍去），
∴的半径长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，含30度直角三角形的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 作为江苏省菜篮子工程生产基地，我市李堡镇光明村今冬白菜丰收却面临滞销的情况，在海安市政府和融媒体中心的关心和帮助下，各地的订单如雪片般“飞”向光明村，千亩白菜的滞销状况得到较大改善．市政府拟采用水陆联运的方式，派出车队到田间将白菜装车后运往码头再装船销往各地，负责人统计了解装载情况，发现运送到码头的白菜量y（单位：吨）随时间x（单位：小时）的变化情况如图2所示，当时，是的二次函数，图象经过，顶点；当时，累计数量保持不变．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）在码头安装了2台传送设备，可将码头上的白菜直接传送到船上，大大提高了工作效率．每台传送设备每小时可传送20吨白菜到船上．码头上等待传送上船的白菜最多时有多少吨？全部白菜都传送完成需要多少时间？
【答案】（1）
（2）白菜最多是280吨，全部白菜都传送完成需要15小时
【解析】
【分析】（1）①当时由顶点坐标为，可设，再将代入，求得的值，则可得与之间的函数解析式；②当时，根据等待传送上船的白菜不变得出函数解析式；
（2）设第小时时等待传送上船的白菜吨，根据及（1）中所得的与之间的函数解析式，可得关于的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：①当时，
顶点坐标为，
设，
将代入，得：，
解得，
，
②当时，
，
与之间的函数表达式为；
【小问2详解】
设第小时时的等待传送上船的白菜为吨，由题意可得，
①时，
，
，
当时，的最大值是280；
②当时，，
，
随的增大而减小，
，
等待传送上船的白菜最多是280吨；
全部白菜都传送完成，根据题意得：
，
解得：，
全部白菜都传送完成需要15小时．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，已知，，．
（1）求的度数；
（2）过点A作，垂足为点E，延长，交于点F，
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
②若，点G为中点，直接写出线段的最大值．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质分别求出和的度数，相减即可求解；
（2）①过点C作，垂足为H，证明，得到，证明和为等腰直角三角形，得到，，再根据，等量代换可得结果；②过点A作，垂足为N，证明为等腰直角三角形，求出，根据得到点F在以点N为圆心，为半径的圆上运动，分析可得当F，N，G三点在同一条直线上时，最大，求出，可得最大值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
①如图，过点C作，垂足为H，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即；
②过点A作，垂足为N，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由①得：，又，
∴点F在以点N为圆心，为半径的圆上运动，
∴当F，N，G三点在同一条直线上时，最大，
∵为中点，
∴，
∴此时的最大值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等边对等角等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形以及辅助圆是解题的关键．
26. 规定：，为函数图象上不重合的两点，若轴，则称点P，Q互为这个函数的对“平行点”．
（1）函数①，②，③，其中有“平行点”的函数为 （填序号）；
（2）若点，为二次函数图象上的一对“平行点”，在函数图象上，当时，，求c的值；
（3）若点，在函数图象上，且，设该函数图象上点F的“平行点”H的横坐标为，求的最大值．
【答案】（1）①； （2）或；
（3）最大值．
【解析】
【分析】（1）由对“平行点”的含义可得：两点的纵坐标相等，再结合一次函数与反比例函数的图象即可得到答案；
（2）分两种情况讨论：当或时，再结合二次函数的增减性，利用待定系数法求解c即可；
（3）点，在函数图象上，且，可得抛物线的对称轴为直线，且直线在轴的右侧，再结合数形结合的方法解题即可．
【小问1详解】
解：由对“平行点”的含义可得：两点的纵坐标相等，
如图，图象如下图，
∴是有“平行点”的函数；
如图，与的图象如下图，
∴与都不是有“平行点”的函数．
故答案为：①；
【小问2详解】
当时，点，为二次函数图象上的一对“平行点”，
∴轴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵在函数图象上，，，
∴此时随的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
当时，抛物线的对称轴为直线，
∵在函数图象上，，，
∴此时随的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
因此，C的值为或；
【小问3详解】
∵点，在函数图象上，且，
∴抛物线的对称轴为直线，且直线在轴的右侧，
如图，，与，都关于直线对称，
∴结合平移可得：的横坐标为：，
∴且，
∴，
∵，都关于直线对称，
∴线段的中点的横坐标为：，而，
∴，
解得：，
而，
此时，对称轴为直线，在对称轴的右边随的增大而减小，
∴当时，的值最大，
此时最大值为：．
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．