2022-2023学年江苏省南通地区九年级上学期数学期末卷Ⅰ（有答案）

这是一份2022-2023学年江苏省南通地区九年级上学期数学期末卷Ⅰ（有答案），共12页。


2022-2023学年度第一学期期末试卷
九年级数学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项:
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上
指定的位置。
3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ）
A． B． C． D．
2．下列方程有两个相等的实数根是（　　 ）
A．x2﹣x+3＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣4＝0
3．一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（     ）
A．-3 B．2 C．0 D．1
4．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 （　 　）

A．1010 B．31010 C．3 D．
5．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是(     )
A．23 B． C．33 D．43
6．如图，直径为10的⊙A经过原点和点C0,5，B是y轴右侧⊙A上一点，则∠OBC的余弦值为（     ）

A．12 B．34 C．32 D．45
7．已知函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时函数值相等，则当x＝m＋n时的函数值为（     ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
8．已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　 　）
A．90° B．100° C．120° D．150°
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=210，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=3，则点C的坐标为（     ）

A．-2,6 B．-3,9 C．-34,94 D．-53,154
10．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①；②b0；④a+b>m(am+b)，(m≠1)；⑤2c<3b其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知：ab=23，则a-2ba+2b 的值是_______.
12．将函数y=5x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为_______．
13．若关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_________．
14．已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，其侧面展开图的圆心角是_________．
15．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是_____．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABC=40°，，
则∠BCD的度数为_______．
17．如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____．

18．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=62，点D的坐标是(7，0)，∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为_____．


三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题10分）
（1）计算：4sin30°﹣（2﹣）0+2tan45°； （2）22cos45°-12sin60°+64．


20．（本小题10分）
用适当的方法解下列方程：
(1)(3x-1)2＝(x+1)2； (2)2x2+x-12=0．



21．（本小题10分）
若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)若x＝1是方程的一个根，求m的值和另一个根．




22．（本小题10分）
某单位随机安排甲、乙两人到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．
（1）甲在A社区接种疫苗的概率是_________；
（2）求甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率．






23．（本小题12分）
某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？
（3）水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？





24．（本小题12分）
如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求S2S1的最大值．




25．（本小题12分）
如图，OA⊥l于点A,B是OA上一点，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆．C是⊙O上的点，连结CB并延长，交l于点D，且AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求线段AC的长．







26．（本小题14分）如图，已知一次函数分别交x、y轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一交点为C．

（1）求b、c的值及点C的坐标；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，过P作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段AB于点E．设运动时间为t（t＞0）秒．
①当t为何值时，线段DE长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结BD，若△BOC与△BDF相似，求t的值．（如图2）

参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．
【详解】A、x2﹣x+3＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D、x2﹣4＝0，
△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．
3．B
【详解】【分析】一组数据中出现次数最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.
【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，
所以这组数据的众数是2，
故选B.
【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.
4．A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；
【详解】由图可知：AC=12+32=10，
∴sinA=1AC=1010；
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解是解题的关键．
5．D
【分析】这个三角形的外接圆的半径就是三角形的外心到其中一个顶点的长度，把圆的问题解决为三角形的问题求值即可.
【详解】解：设正△ABC的中心为O，

如图，连接OB，作OD⊥BC，由正三角形的边长可知BC=12，∠OBD=30°，
∴BD=6，
∴OB=BD÷cos∠OBD=6÷32 =4 .
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
6．C
【分析】如图，连接CD,先证明CD为直径，再利用勾股定理求解OD, 根据圆周角定理得出∠B=∠ODC,从而可得答案.
【详解】解：如图，连接CD,

∵∠COD=90°,
∴CD为直径，CD=10,
∵C0,5，
∴CO=5,
∴OD=102-52=53,
∵∠B=∠ODC,
∴cos∠B=cos∠ODC=5310=32,
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理，圆周角定理，锐角的余弦，证明CD是直径是解本题的关键.
7．D
【分析】根据当x＝m和x＝n时函数的值相等，得出am-nm+n-4=0，根据 a≠0，m≠n，得出m+n=4，把x=4代入函数求值即可．
【详解】解：∵当x＝m和x＝n时函数的值相等，
∴am2-4am-3=an2-4an-3，
∴am2-an2-4am+4an=0，
∴am+nm-n-4am-n=0，
∴am-nm+n-4=0，
∵a≠0，m≠n，
∴m+n=4，
当x=4时y=a×42-4a×4-3=-3．
故选择D．
【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键．
8．C
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10＝n⋅π⋅30180，
解得n＝120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：C．
【点睛】本题扇形面积的计算,关键在于熟记公式.
9．C
【分析】根据相似三角形的判定和性质得出∠A=∠COB，进而得出∠ABO=α，利用tanα=3，得出OA=3OB，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知tan∠A的值，由tanα=3，设C(-m,3m),m>0，根据tan∠A的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标．
【详解】解： ∵OC2=BC⋅AC,
即
∵∠C=∠C,
∴ΔOBC∼ΔOAC,



∵tanα=3,
∴tan∠ABO=OAOB=3,
∴OA=3OB,
∵AB=210,
由勾股定理可得OA2+OB2=AB2,
即9OB2+OB2=(210)2,
∴OA=6,OB=2.
∴tan∠A=OBOA=13.
如图，过点C作CD⊥x轴于点D
∵tanα=3,
∴设C(-m,3m),m>0,
∴AD=6+m,
∵tan∠A=13,
∴CDAD=13,
∴3m6+m=13,
解得m=34,
经检验，m=34,是原方程的解
∴点C的坐标为-34,94
故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
10．B
【分析】①函数的对称轴在y轴的右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；②当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故 b＞a+c，即可求解；③当时，由图象可知y=4a+2b+c＞0，即可求解 ；④a+b+c＞m(am+b)+c即可求解；⑤函数的对称轴为：x=1，故b=-2a，而由②可知，b＞a+c，故2c<3b，即可求解．
【详解】解：①函数的对称轴在y轴的右侧，则ab＜0，c＞0，故错误，不符合题意；
②当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故 b＞a+c，故错误，不符合题意；
③当时，由图象可知y=4a+2b+c＞0，故正确，此项符合题意；
④当x=1时，a+b+c＞m(am+b)+c，则a+b>m(am+b)，(m≠1)正确，此项符合题意；
⑤函数的对称轴为：x=1，故b=-2a，而由②可知，b＞a+c，故2c<3b，正确，此项符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
11．-12
【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】解：由ab=23，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：a-2bb+2b=2k-2×3k2k+2×3k=-4k8k=-12，
故答案：-12.
【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
12．y=5（x+2）2+3
【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.
【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x2的图象向左平移2个单位得到y=5(x+2)2，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5(x+2)2的图象向上平移3个单位可得到函数y=5(x+2)2+3，故答案是：y=5(x+2)2+3．
【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置.
13．m＜4．
【分析】根据判别式的意义得到Δ=(-4)2-4m＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-4)2-4m＞0，
解得：m＜4，
故答案为m＜4．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．120
【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π•1=，解得n=120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．﹣≤y≤1
【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，
∴函数的对称轴为x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣≤y≤1，
故答案为﹣≤y≤1．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
16．110°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠OAD=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17．18．
【分析】由三角形的重心定理得出BF=2EF，得出BE=3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出S1S△EBC=132=19，即可得出结果．
【详解】∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF，
∴BE＝3EF，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴EFBE=13，S1S△EBC=（）2=19，
∴S1：S2；
故答案为18．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键．
18．4，33
【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，再根据点C在BD上确定出∠PDB=45°并求出PD的长，然后求出∠PDO=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=12 PD，利用勾股定理列式求出PF，再求出OF，即可得到点P，即旋转中心的坐标．
【详解】解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，

连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是12BD，即12×62 =32，
∴∠PDB=45°，
∴PD=32×2=6，
∵∠BDO=15°，
∴∠PDO=45°+15°=60°，
∴∠DPF=30°，
∴DF=12PD=12×6=3，
∵点D的坐标是（7，0），
∴OF=OD﹣DF=7﹣3=4，
由勾股定理得，PF=3，
即P点的坐标为（4，3）
故答案为：（4，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．
19．（1）3 ；（2）2
【分析】直接利用特殊角的三角函数值及零指数幂的运算法则计算即可；
【详解】解：（1）原式=4×12-1+2×1，
=，
=3
（2）原式=2×(2×22-12×32)+64，
=2-64+64，
=2
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得计算，记牢记准特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．(1)x1＝0，x2＝1
(2)x1=-1+54，x2=-1-54

【分析】(1)先移项，然后用平方差公式进行求解．
(2)此题无法用直接开方法和因式分解法进行求解，因此可考虑用求根公式来进行求解．
【详解】（1）解：原方程可化为：(3x-1)2-(x+1)2＝0，
(3x-1+x+1)(3x-1-x-1)＝0，
∴4x＝0或2x-2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1；
（2）解：∵a＝2，b＝1，c＝-12 ，
∴b2-4ac＝1-4×2×-12=5，
∴，
∴x1=-1+54，x2=-1-54．
【点睛】此题主要考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键．
21．（1）m＞﹣2且m≠﹣1；（2）方程的另一个根为x＝﹣．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2+4（m+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）先根据方程的解的定义把x=1代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为3x2-2x-1=0，然后解方程得到方程的另一根．
【详解】（1）根据题意得△＝（﹣2）2+4（m+1）＞0，
解得m＞﹣2，
且m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
所以m＞﹣2且m≠﹣1；
（2）把x＝1代入原方程得m+1﹣2-1＝0，
解得m＝2，
∴原方程变为3x2﹣2x﹣1＝0
解方程得x1＝1，x2＝﹣，
∴方程的另一个根为x＝﹣．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）某单位随机安排甲到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．一共有3重可能，其中甲在A社区接种疫苗就1种情况，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，列出甲乙两人到社区接种疫苗所有情况共9种，其中甲、乙两人不在同一社区接种疫苗的情况共有6种，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）某单位随机安排甲到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．
一共有3重可能，其中甲在A社区接种疫苗就1种情况，
∴甲在A社区接种疫苗的概率是，
故答案为；
（2）画树状图，列出甲乙两人到社区接种疫苗所有情况共9种，其中甲、乙两人不在同一社区接种疫苗的情况共有6种，
∴甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率69=23．

【点睛】本题考查列举法求概率与画树状图或列表法求概率．掌握列举法求概率与画树状图或列表法求概率是解题关键．
23．（1）y=-40x+560；（2）13元或7元；（3）11，600
【分析】（1）以9元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克；以11元/千克的价格销售，那么每天可售出120千克，就相当于直线过点（9，200），（11，120），然后列方程组解答即可；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出方程求出即可；
（3）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案．
【详解】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=kx+b，根据题意可得：9k+b=20011k+b=120 ，解得：k=-40b=560，
故y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=﹣40x+560；
（2）∵W=280元，∴280=（﹣40x+560）×（x﹣6），
解得：x1=7，x2=13，
答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元；
（3）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）
∴W=（﹣40x+560）（x﹣6）
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40（x﹣10）2+640
当售价为10元，则y=560﹣400=160，160×6=960（元）＞720元，则当（﹣40x+560）×6=720，解得：x=11．
即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，以及一元二次方程的应用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键．
24．（1）53；（2）S1＝k2S，S2＝（k2+k﹣1）S；（3）54．
【分析】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝43，从而得到DG的长；
（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得到S1＝k2S，根据三角形面积公式和菱形的性质即可得到结论；
（3）由（1）可以求得S2S1 =-1k-122+54，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴BABG=BDBA，2BG=32，
∴，
∴DG＝BD﹣BG＝53；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠EBG，
∴△ADG∽△EBG，
∴S1S=ADBE2=k2，DGBG=ADBE=k，
∴S1＝k2S，
∵S1S△ABG=DGBG=k，
∴S△ABG=S1k，
∵S△ABD=S△BCD，
∴S2＝S1+S1k﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵S2S1=k2+k-1Sk2S
=-1k2+1k+1
=-1k2-1k+14+54
=-1k-122+54，
∵-1<0，
∴当1k=12时，S2S1有最大值54，
∴S2S1的最大值为54．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．
25．（1）见解析；（2）AC=1207
【分析】(1)如图连结OC，先证得∠4+∠3=90°，即可得到∴OC⊥AC，即可得到AC是⊙O的切线；
(2)由(1)知：过O作OE⊥BC于E，先证明ΔOBE∽ΔDBA得到ABAD=BEOE=34，设AB=3x,AD=4x=AC,在RtΔOAC中，OC2+AC2=OA2，即：52+(4x)2=(5+3x)2解出方程即可求得答案．
【详解】证明：(1)如图，

连结OC，则OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AC=AD，∴∠D=∠4，而OA⊥l，
∴，
即有∠4+∠3=90°，
∴OC⊥AC，故AC是⊙O的切线；
(2)由(1)知：过O作OE⊥BC于E，∵OB=OC, ∴∠2=∠3，
BE=12BC=3,而OB=5，由勾股定理，得：，
在△OBE和△DBA中，
∵∠1=∠2，∠OEB=∠DAB=90°，

∴ΔOBE∽ΔDBA，
∴ABAD=BEOE=34，
设AB=3x,AD=4x=AC，
在RtΔOAC中，OC2+AC2=OA2，即：52+(4x)2=(5+3x)2
解得：x=307,x=0（舍去），
∴AC=1207．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用和切线的性质定理，勾股定理应用，是综合性题目．
26．（1）b=2，c=3，C点坐标为（-1，0）；（2）①94；②t=32或t=52
【分析】（1）由一次函数求出点A、B坐标，代入抛物线解析式可求出b、c的值，令y=0可求出点C的坐标；
（2）①由题意可知P(t,0),D(t, -t2+2t+3)、E（t,-t+3），然后表示出DE，利用二次函数的最值即可求出DE最大值；
②分别用t表示出AP、EP、AE、DE、EF、BF，然后分类讨论相似的两种情况，BFDF=OCOB或BFDF=OBOC，列式求解即可.
【详解】解：（1）在中令x=0,得y=3, 令y=0,得x=3,
∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：-9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y=0则0=﹣x2+2x+3，
解得x1=-1,x2=3，
∴C点坐标为（-1，0）；
（2）①由题知P(t,0),D(t, -t2+2t+3)、E（t,-t+3）;
∴DE=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=-(t-32)2+94
∴当t=32时，DE长度最大，最大值为94；
②∴A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB,
∴∠BAO=45°，
在Rt△PAE中，∠PAE=45°，AE=2EP=2(3-t)；
在Rt△DEF中，∠DEF=45°，DF=EF=22DE=22(3t-t2)；
∴BF=AB-AE-EF=32-2(3-t)-22(3t-t2)=22(t2-t)
若△BDF∽△CBO相似，则BFDF=OCOB，即：22(t2-t)22(3t-t2)=13,
解得：t=0 (舍去)；t=32，
若△BDF∽△BCO相似，则BFDF=OBOC，即：22(t2-t)22(3t-t2)=31,
解得：t=0 (舍去)；t=52，；
综上，t=32或t=52时，△BOC与△BDF相似.
【点睛】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、三角形相似、一次函数、解方程等知识点，难度较大．最后一问为探索题型，注意进行分类讨论．