2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期末试题及答案，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知的半径为1，若，则点A在（）
A 内B. 上C. 外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解∶，
点A在外．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：①点P在圆外．②点P在圆上．③点P在圆内．
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程步骤是解决问题的关键．
3. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ）
A. 4.4元B. 4.6元C. 4.8元D. 5元
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元），
故选：B．
【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，函数的图像经变换后得到函数的图像，则这个变换可以是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向左平移4个单位C. 向右平移2个单位D. 向右平移4个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，顶点坐标是．
，顶点坐标是．
所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5. 有一个侧面为梯形的容器，高为，内部倒入高为的水．将一根长为的吸管如图放置，若有露出容器外，则吸管在水中部分的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到的长．
【详解】解:过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴设，则，
∵的高为:，
∴，
∴，
∴解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6. 如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长，与直线交于E，连接，设弧长为所对的圆周角为，根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．
【详解】解：延长，与直线交于E，连接，
，，的长分别为，和，
的长为，的长为，
设弧长为所对的圆周角为，则，，
，，
，
，
弧长为所对的圆心角为，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为所对的圆心角是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 设是关于x的方程的两个根，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解∶根据根与系数的关系得．
故答案为：3．
【点睛】本题考車了根与系数的关系∶若是一元二次方程的两根时，．
8. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】让偶数的个数除以数的总数即可得出答案．
【详解】图中共有6个相等的区域，含偶数的有2，4，6共3个，
转盘停止时指针指向偶数概率是＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9. 小淇从中剪下一个图形（图1）．对折后（图2），若，则半径为_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，由垂经定理得，，设的半径为r，即可得，在直角三角形中，，根据勾股定理得，，即，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
在直角三角形中，，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
∴半径为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂经定理，勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当的添加辅助线．
10. 已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据的纵坐标相同得有一点不在同一条抛物线上，根据的横坐标相同得两点中有一点不在同一条抛物线上，即可得．
【详解】解：∵的纵坐标相同，
∴有一点不在同一条抛物线上，
∵的横坐标相同，
∴两点中有一点不在同一条抛物线上，
综上，点不在抛物线上，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标满足解析式．
11. 已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可判定．
【详解】解：二次函数的解析式为，
该抛物线对称轴为，
．
当时，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
12. 将正六边形和正五边形按如图所示的位置摆放，连接，则______．
【答案】##24度
【解析】
【分析】根据题意可得，，即可得，根据题意得，即可得．
【详解】解：在正六边形中，内角和为：，
则,
在正五边形中，内角和为：，
则,
∴，
∵为正六边形和正五边形的边，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．
13. 如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，由三角形内切圆圆心到三条边的距离相等以及三角形的面积公式求出两个圆的半径，再求出面积比即可．
【详解】解：在中，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
设的半径为，的半径为，则
，
即，
，
同理，
与的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，掌握勾股定理以及三角形内切圆的圆心到三角形三边距离相等是正确解答的前提．
14. 如图，是等边三角形，点P是边上的一点，且，以为边作等边．若的面积与的面积相等，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】作于，于，设，，分别求出，的面积，得到，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于，设，，
是等边三角形，
的面积
是等边三角形
的面积
的面积=的面积
或（舍）
故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形、三角形的面积，解题关键是掌握等边三角形的性质．
15. 如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】把关于的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可．
【详解】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图：
由函数图象可知，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与轴交点，关键是数形结合思想的应用．
16. 如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】分三种情况讨论，由相似三角形的性质，等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：，
，，，
，
，
，，
，
，
，
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
当时，
，，
，
，
或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是要分三种情况讨论．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）直接开方，进行计算即可得；
（2）移项，利用因式分解法进行计算即可得．
【小问1详解】
解：
，．
【小问2详解】
解：
，，
，．
【点睛】本题考查了解方程，解题的关键是掌握开方，提公因式，正确计算．
18. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率．
【答案】平均每年的增产率为10%
【解析】
【分析】根据年均增长率的计算公式，列式计算即可．
【详解】解：设平均每年的增产率为x．
根据题意得：
解得 （不合题意，舍去）
答：平均每年的增产率为10%
【点睛】本题考查年均增长率的计算，牢记年均增长率的计算公式是解题的关键．
19. 已知二次函数的图像经过点和，求a、c的值．
【答案】
【解析】
【分析】直接把两个已知点的坐标代入得到关于a、c的方程组，然后解关于a和c的方程组求出a和c的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20. 为了积极贯彻落实“双减”政策，某校计划星期一至星期五开展课后延时学习服务，要求每位老师选择两天参加服务．
（1）陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率是多少？
（2）陆老师随机选择连续的两天，其中有一天是星期五的概率是______
【答案】（1）陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列表可知共有个等可能的结果，陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个，即可得陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为；
（2）由上表可知，陆老师随机选择连续的两天，共有4个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），其中有一天是星期五的结果有1个，即可得．
【小问1详解】
解：由题意得，
由表可知，共有个等可能的结果，陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为：，
即陆老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率是．
【小问2详解】
解：由上表可知，陆老师随机选择连续的两天，共有4个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），其中有一天是星期五的结果有1个，
∴陆老师随机选择连续的两天，其中有一天是星期五的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是理解题意，掌握列表法，做到不重不漏．
21. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙同学，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【小问1详解】
解：甲数据从小到大排列，第5、6位都6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
【小问2详解】
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．
22. 如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别连接、、，再结合网格找出、、的中点，顺次连接即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
23. 如图，点E在线段上，，，．求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余和平角说明，再判断，最后利用相似三角形的性质得结论．
【详解】解：证明：，，
，．
，
．
，
．
又，
．
．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
24. 如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由圆周角定理得到，，由三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
∴，
，
．
的度数是．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，弧、弦间的关系，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，平分．
（1）求证；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质可得，由勾股定理得，则，根据，可得，进而可得，则，即可得出结论．
（2）作线段的垂直平分线，交于点，以线段的长为半径画圆，即可得所求的；连接，由角平分线的定义可得，由，可得，进而可得，则，即可得，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：过点作于点，
，平分，
，
，，
，
，
，
即，
解得，
，
即，
，
即．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
26. 求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大．请建立二次函数关系解决问题．
【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】如图所示，矩形的周长为，设，则，根据正方形的面积计算方法，二次函数取最值的方法即可求解．
【详解】证明：如图所示，矩形的周长为，设，则，
设矩形形的面积为，则，
∴当时，取到最大值，且最大值为，
∴，则，
∴当，取到最大值，且最大值为，即周长为的矩形中，正方形的面积最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解并掌握二次函数的运用，把二次函数化为顶点式是解题的关键．
27. 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）当时，为抛物线在第二象限内一点，点P到直线的距离为d，则d与n的函数表达式为_____；
（3）过（其中）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意知，点A、B关于对称轴对称，由此求得a，b满足的关系式；
（2）过P作于H，过P作轴交于K，求出二次函数解析式，证明是等腰直角三角形，得，再求出直线解析式为，设可得，故，即可得，进而可求出d与n的函数表达式；
（3）由与x轴交于两点，可得，然后分当时和当时两种情况求解．
【小问1详解】
∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
整理得：；
【小问2详解】
过P作于H，过P作轴交于K，如图：
∵，
∴，
将代入得：
，
解得，
∴，
令得，
∴，
由可得，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
设直线解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线解析式为．
∵为抛物线在第二象限内一点，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵点P到直线的距离为d，即，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
∵与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
由（1）知抛物线对称轴为直线，
当时，如图：
∵线段的长不小于2，
∴M到直线的距离不小于1，
∴在中，当时，，
∴，
解得；
当时，如图：
∵线段的长不小于2，
∴M到直线的距离不小于1，
∴在中，当时，，
∴，
解得；
综上所述，a的取值范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．送餐距离
小于等于3公里
大于3公里
占比
送餐费
4元/单
6元/单
1
2
3
4
5
1
（2，2）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6
乙
b
7
c
d