江苏省南京市2022-2023学年九年级上学期数学期末备考卷Ⅱ（含答案）

这是一份江苏省南京市2022-2023学年九年级上学期数学期末备考卷Ⅱ（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2022-2023学年度第一学期期末学情调研
九年级数学
注意事项：
全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知一组数据：49，50，54，50，55，这组数据的众数是（      ）
A．49 B．50 C．54 D．55
2．若方程mx2+4x-3=2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（     ）
A．m>0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠-2
3．在一个不透明的盒子中装有8个白球和m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黄球的概率是，则m的值为（     ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　 　）

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
5．二次函数y＝﹣(x﹣1)2+3图象的对称轴是(    )
A．.直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（    ）
A．45 B．34 C．43 D．35
7．将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（   ）
A．y=x+32+5 B．y=x-32+5 C．y=x+52+3 D．y=x-52+3
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=4，以A为圆心、AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是(　 　)

A．16-π2 B．16-2π C．8-π2 D．8-2π
9．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（     ）

A．22∶ 3 B．2∶1 C．2∶ D．1∶
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（     ）

A．172 B． C．455 D．5

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的方差是_____．
12．若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
13．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为_____．

14．已知关于x的方程x2－2x＋n＝0的一个根为1＋5，则它的另一个根为_______．
15．点m,1是二次函数y=x2-2x-1图像上一点，则3m2-6m的值为__________
16．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝1，则AB＝_____．

18．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____．
19．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

20．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP=________________．


三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0； （2）2（x＋3）＝x2﹣9
22．（8分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．

（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为　 　；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围　 ．
23．（8分）已知二次函数y＝x2－22mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．
24．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．

（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
25．（8分）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时候渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，）

(1)求B处距离小岛C的距离（求出准确值）；
(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？
26．（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
27．（8分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，AD平分交⊙O于点D，过点D作于点E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=8，AE=6，求⊙O的半径．
28．（12分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+32x+1与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）点C的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）M为线段BC上方抛物线上一动点，连接MC、MB，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标；
（3）如图2，T为线段CB上一动点，将△OCT沿OT翻折得到△OC′T，当△OC′T与△OBC的重叠部分为直角三角形时，求BT的长．
（4）如图3，动点P从点O出发沿x轴向B运动，过点P作CP的垂线交CB于D．点P从O运动到B的过程中，点D运动所经过的路径总长等于 ．

参考答案：
1．B
【分析】根据众数的定义解答即可．
【详解】解：50出现的次数最多，所以众数是50．
故选：B．
【点睛】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【详解】解：由mx2+4x-3=2x2得到(m-2)x2+4x-3=0．
根据题意，得m-2≠0．
解得m≠2．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．D
【分析】根据黄球的概率公式列出关于m的方程，求出m的值即可解答．
【详解】解：由题意知： m8+m=13，
解得m=4．
故选D．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用．解决本题的关键是根据概率公式列出关于m的方程，再利用方程思想求解．
4．C
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，AB//DE,AC//DF
OAOD=OBOE=12∴ACDF=OAOD=12
∴△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
∴△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．A
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：二次函数y=-(x-1)2+3图象的对称轴是直线x=1，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
6．A
【分析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠C=90°,
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,
∴∠B=∠ACD=α,
∴cosα=cosB=BCAB=45.
故选：A.

【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.
7．D
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】解：将抛物线y=x2先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：y=x-52+3．
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．D
【分析】根据阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积计算即可．
【详解】由题，∠CAB=45°，
S△ABC=12AC·BC=12×4×4=8，
S扇形ACD=45π×42360=2π
∴S阴影=S△ABC-S扇形ACD=8-2π，
故选：D．
【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，熟练对图形进行分割，运用规则图形的和差表示是关键．
9．A
【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．
【详解】解：设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为2R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的周长比为：42R：6R＝22∶ 3．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．
10．C
【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，

∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴AHEC=BHAE，即24=BHAE，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2＋2x，OB＝4−x，
∴B（0，4−x），C（-2-2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（-1-x，4-x2），
∵P（-1，0），
∴PM＝（-x）2+(4-x2)2=54(x-45)2+165,
∴PM最小值为165=455，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．245
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=1n [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]计算方差．
【详解】解：由平均数的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，
解得a=3；
∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=245．
故答案为245．
【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=1n [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]．
12．：k＜1．
【详解】∵一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为k＜1．
13．55．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，连接格点BD，
∵BD2＝12+12＝2，CD2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°＝∠ADB，
由勾股定理得，
AB＝12+32＝10，BD＝12+12＝2，
∴sin∠BAC＝BDAB＝＝55，
故答案为：55．

【点睛】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和正弦的定义是解决此题的关键．
14．1-5##-5+1
【分析】根据韦达定理可得x1+x2=2，再将x1=1+5代入求解即可．
【详解】解：∵方程有根
∴由韦达定理得
将x1=1+5代入x1+x2=2中
得1+5+x2=2
解得x2=1-5
故答案为：1-5．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理．
15．6
【分析】把点m,1代入y=x2-2x-1即可求得m2-2m值，将3m2-6m变形3m2-2m，代入即可．
【详解】解：∵点m,1是二次函数y=x2-2x-1图像上，
∴1=m2-2m-1则m2-2m=2．
∴3m2-6m=3m2-2m=3×2=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
16．15π
【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm
∴圆锥的母线长=32+42=5(cm)
∴圆锥的侧面展开图的面积=π×3×5=15πcm2
故填：15π.
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
17．2．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AB＝2AD＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18．2
【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=120π×6180，解得r=2cm．
考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系．
19．94
【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．
【详解】解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，
∵当t=6÷2=3
∴0≤t≤3
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝AQAC时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得：t＝94，
当APAC＝时，△AQP∽△ABC，
∴＝，
解得：t＝277，
∵277>3，故舍去
综上所述：当t＝94时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：94．
【点睛】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．
20．
【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出yx的值，最后根据题意判断合理的结果即可．
【详解】∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，
∴△EDF≌△PCF(ASA)，
∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，
则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，
∴PF=PC2+FC2=2x-y2+x2，
EP=2PF=22x-y2+x2，
∵EH垂直平分AP，
∴AE=EP，
即：2x+2x-y=22x-y2+x2，
整理得：4x2+3y2=8xy，
即：4+3yx2=8yx，
令yx=m，则3m2-8m+4=0，
∴3m-2m-2=0，
解得：m=23或m=2，
tan∠BAP=BPAB=y2x=12m，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，
∴tan∠BAP 即：tan∠BAP<1，
∴取m=23符合题意，此时tan∠BAP=12×23=13，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求角的正切值，涉及到全等三角形的判定与性质，以及换元法求解一元二次方程等知识点，灵活结合正方形的性质，以及整体思想建立方程并求解是解题关键．
21．（1）x1=9，x2=-5（2）x1=-3，x2=5
【分析】（1）运用十字相乘法因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程解方程即可；
（2）运用平方差公式和提公因式法因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程解方程即可．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣45＝0，
(x-9)(x+5)=0，
∴x1=9，x2=-5；
（2）2（x＋3）＝x2﹣9，
2(x+3)=(x+3)(x-3)，
2(x+3)-(x+3)(x-3)=0，
(x+3)(2-x+3)=0，
(x+3)(5-x)=0，
∴x1=-3，x2=5．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解得方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，需要熟练掌握．
22．（1）（﹣1，0）；（2）y＝x2+4x+3；（3）﹣3＜x＜0．
【分析】（1）先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由图象可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．抛物线与x轴的另一个交点为C，
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴c=30=9a-3b+c0=a-b+c，解得：a=1b=4c=3，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：

当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）k≥34.
【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+12)²+34，即可得出结果.
【详解】（1）证：当y=0时 x2－22mx＋m2＋m－1＝0
∵b2－4ac＝（－22m）2－4（m2＋m－1）
＝8m2－4m2－4m＋4
＝4m2－4m＋4
＝（2m－1）2 ＋3＞0
∴方程x2－22mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根
∴二次函数y＝x2－22mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点    
（2）解：平移后的解析式为: y＝x2－22mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),
∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+12)²+34,∴k≥34.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）CD＝4．
【分析】（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE=∠EDC，即可得出答案；
（3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD=∠DBE=30°，进而得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠DBE，
又∵∠A＝∠BDE，
∴△BAD∽△BDE，
∴＝，
∴BD2＝BA•BE；
（2）证明：∵△BAD∽△BDE，
∴∠ADB＝∠DEB，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠BED＝90°，
∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠DBE＝∠EDC，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD；
（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，
∵AB＝6，BE＝8，
∴BD2＝6×8＝48，
∴BD＝4，
∴cos∠ABD＝ABBD＝12＝32，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBE，
∴BD＝CD＝4．

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
25．(1)B处距离小岛C的距离约为23海里
(2)安全，说明见解析

【分析】（1）如图，过点C作CM⊥AD于M，根据题意求出AB，利用CD和锐角三角函数，分别表示出：AM,BM，再利用AB=AM-BM，求出CD，然后求出BC即可；
（2）如图，过点C作CN⊥BE于N，求出CN的长度，即可得解．
【详解】（1）如图，过点C作CM⊥AD于M，

由题意得，∠CAD=90°-70°=20°，
∠CBD=90°-45°=45°,AB=14×2=28海里，
∵∠CBD=45°，
∴CM=BM，
在Rt△CAM中，
∵ ，
∴AM=CMtan∠ACM=CMtan70°，
∵AB=AM-BM，
即：28=CMtan70°-CM
解得CM≈16，
在Rt△BCM中，BC=2CM=162≈23（海里） ，
答：B处距离小岛C的距离约为23海里；
（2）解：如图，过点C作CN⊥BE于N，

在Rt△BCN中，∠CBN=45°+25°=70°，，
∴CN=BC⋅sin∠CBN

≈21.2 (海里)，
∵21.2>20，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
26．（1）65元或75元；（2）70元
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，根据利润=（售价-进价）×销售量，列出一元二次方程，即可求解；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，列出二次函数，即可求解．
【详解】解：（1）设每千克水果售价为x元，由题意可得：
8750＝（x－40）[500－10（x－50）]，
解得：x＝65或x＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m－40）[500－10（m－50）]＝－10（m－70）2＋9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
【点睛】本题主要考查二次函数以及一元二次方程的实际应用，找到等量关系，是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)⊙O的半径是253

【分析】(1)连接OD，根据平行线的判定与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线；
(2)根据勾股定理可得AD的长，可证得△ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
(1)
证明：如图1，连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分，
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)
解：∵∠AED=90°，DE=8，AE=6，
∴AD=DE2+AE2=10．
如图2，连接CD．

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°
又∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴ADAE=ACAD，即106=AC10，
∴AC=503，
∴⊙O的半径是253．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
28．（1）（0，1），（2，0）；（2）S△MBC最大值1， M（1，32）；（3）5﹣1或2或455；（4）35﹣5
【分析】（1）令y＝0，可求B点坐标，令x＝0，可求C点坐标；
（2）求出直线BC的解析式为y＝﹣12x+1，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，设M（t，﹣t2+32t+1），则N（t，﹣12t+1），S△MBC＝﹣（t﹣1）2+1，当t＝1时，S△MBC有最大值1，M（1，32）；
（3）分三种情况讨论：①当TC'与BO垂直时，即∠OGT＝90°，CT＝1，CB＝5，BT＝5﹣1；②当∠OTC'＝90°时，CT＝55，BT＝455；③当OC'与BC垂直时，即∠OHB＝90°，OH＝255，CH＝55，BH＝455，在Rt△TC'H中，（55﹣TH）2＝TH2+（1﹣255）2，求出TH＝2﹣455，则BT＝BH+TH＝2；
（4）设OP＝m，则CP＝1+m2，过点P作PF⊥CB交于点F，当△COP∽△CPD时，PB＝5m，则有5m+m＝2，可求m＝，PB＝52﹣52，CD＝，BD＝35-52，当P点从O点运动，D点从B点开始向C点方向运动，到达△COP∽△CPD时，BD的长度达到最大值，当P点再向B点运动时，D点又向B点运动，直到D点回到B点，所以点D运动所经过的路径总长是BD长度的2倍，可求2BD＝35﹣5．
【详解】解：（1）令y＝0则﹣x2+32x+1＝0，
∴x＝2或x＝﹣12，
∴B（2，0），
令x＝0则y＝1，
∴C（0，1），
故答案为：（0，1），（2，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣12x+1，
如图，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，
设M（t，﹣t2+32t+1），则N（t，﹣12t+1），
∴MN＝﹣t2+32t+1+12t﹣1＝﹣t2+2t，
∴S△MBC＝12×2×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣1）2+1，
∵M为线段BC上方抛物线上一动点，
∴0＜t＜2，
∴当t＝1时，S△MBC有最大值1，
∴M（1，32）；

（3）①如图1，当TC'与BO垂直时，即∠OGT＝90°，
∵TG∥CO，
∴∠COT＝∠OTC'，
∵∠CTO＝∠OTC'，
∴∠CTO＝∠COT，
∴CO＝CT，
∵OC＝1，
∴CT＝1，
∵BO＝2，
∴CB＝5，
∴BT＝5﹣1；
②如图2，当∠OTC'＝90°时，
∴OC＝C'O＝1，∠COT＝∠OBC，
∵sin∠CBO＝15＝，
∴CT＝55，
∴BT＝5﹣55＝455；
③如图3，当OC'与BC垂直时，即∠OHB＝90°，
在Rt△OHB中，sin∠OBH＝＝，
∴＝15，
∴OH＝255，
在Rt△OCH中，CH＝＝55，
∴BH＝5﹣55＝455，
∵OC＝OC'＝1，
∴C'H＝1﹣255，
∵CT＝C'T，
∴CT＝CH﹣TH＝55﹣TH，
在Rt△TC'H中，C'T2＝TH2+C'H2，
∴（55﹣TH）2＝TH2+（1﹣255）2，
∴TH＝2﹣455，
∴BT＝BH+TH＝455+2﹣455＝2；
综上所述：BT的长为5﹣1或2或455；
（4）如图4，∵CP⊥PD，
∴∠CPD＝90°，
设OP＝m，
∴CP＝1+m2，
过点P作PF⊥CB交于点F，
当△COP∽△CPD时，∠OCP＝∠CPD，
∴OP＝PF＝m，
∵sin∠OBC＝15＝，
∴PB＝5m，
∴5m+m＝2，
∴m＝，
∴PB＝52﹣52，
∵＝CPCD，
∴11+m2＝，
∴CD＝1+m2＝1+（）2＝，
∴BD＝5﹣＝35-52，
当P点从O点运动，D点从B点开始向C点方向运动，到达△COP∽△CPD时，BD的长度达到最大值，
当P点再向B点运动时，D点又向B点运动，直到D点回到B点，
∴点D运动所经过的路径总长是BD长度的2倍，
∴2BD＝35﹣5，
∴点D运动所经过的路径总长等于35﹣5，
故答案为：35﹣5．

【点睛】本题考查了二次函数的动点运动的综合问题，对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决． 当图形（或某一事物）在运动的过程中达到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律．