2022-2023学年七年级数学上学期期末专题03 计算难点分类练（六大考点）

这是一份2022-2023学年七年级数学上学期期末专题03 计算难点分类练（六大考点），共24页。试卷主要包含了计算，若规定“⊕”的运算过程表示为等内容，欢迎下载使用。
计算难点分类练（六大考点）

一．易错基础计算强化
1．计算：
（1）（﹣3）﹣|﹣8|﹣2×（﹣4）；
（2）42﹣（﹣1）2022+3÷（−13）．
2．计算：
（1）−14−(−2)3×14−16×(12−14+38)．
（2）−22−2×[(−3)2−3÷12]．
3．计算：
（1）−12−(+54)−(−32)+(−14)；
（2）(512+34−58+712)÷(−724)−227；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2−(−3)2]．
4．计算
（1）−94−(−2.75)+25−112；
（2）(−513)×214÷(−2×3)2−(−1)2；
（3）−15×[−32×(−23)2−2]÷(−23)；
（4）(−15)2×(−25)−(−7)2×(67−314+149)．
二．运算符号的灵活运用。
5．若使得算式﹣1□0.5的值最小时，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
6．请在运算式“6□3□5□9”中的□内，分别填入+，﹣，×，÷中的一个符号（不重复使用），使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为 　 　．
三．数值转化机
7．如图是一个数值转换机的示意图，则输入的数为 　 　．

8．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为25，则第2022次输出的结果为 　 　．

四．新定义
9．已知“!”是一种运算符号，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，则2021!2020!=　 　．
10．若规定“⊕”的运算过程表示为：a⊕b=13a﹣2b，如3⊕1=13×3﹣2×1＝﹣1．
（1）则（﹣6）⊕12=　 　．
（2）若（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，求x的值．
11．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab+a．
如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求2*（﹣2）的值；
（2）若2∗x=m，(14x)∗3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若[(a+12)∗(−3)]∗12=a+4，求a的值．
12．对于有理数a、b定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b＝|a|+|b|﹣|a﹣b|．
（1）计算2⊗3的值；
（2）当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b；
（3）已知a＜0，a⊗a＝12+a，求a的值．

13．用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝a2b+2ab+b，例如：1⊗3＝12×3+2×1×3+3＝12．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若3⊗（x﹣1）＝16，求x的值；
（3）已知x为有理数，设m＝x⊗2，n＝3⊗x4，试比较m、n的大小．
五．阅读类--自学能力的培养
14．阅读理解：
材料一：对于一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差是6的倍数，则称这个四位数为“顺数”；
材料二：对于一个四位正整数N，如果把各个数位上的数字重新排列，必将得到一个最大的四位数和一个最小的四位数，把最大的四位数与最小的四位数的差叫做极差，记为f（N）．
例如7353；
∵（7+5）﹣（3+3）＝6，6÷6＝1，
∴7353是“顺数”，f（7353）＝7533﹣3357＝4176．
（1）判断1372与9614是否是顺数，若是“顺数”，请求出它的极差；
（2）若一个十位数字为2，百位数字为6的“顺数”N加上其个位数字的2倍能被13整除，且个位数字小于5，求满足条件的“顺数”N的极差f（N）的值．
15．阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　 　是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36=　 　；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
16．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．
定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：am÷an=当m＞n时，am÷an=am−n当m=n时，am÷an=1当m＜n时，am÷an=1an−m．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：(13)3÷(13)2=　 　，52÷54＝　 　；
（2）如果x＞0，且2x+4÷22x+5=18，求出x的值；
（3）如果（x﹣2）2x+2÷（x﹣2）x+7＝1，请直接写出x的值．
17．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a⋯÷a︸n个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（−12）⑤＝　 　；
（2）关于除方，下列说法错误的是　 　
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；（−12）⑩＝　 　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　；
（3）算一算：122÷（−13）④×（﹣2）⑤﹣（−13）⑥÷33．
18．探究规律，完成相关题目
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；
（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；
0❈（+8）＝8；（﹣6）❈0＝6．
智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，　 　．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，　 　．
（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣1）]＝　 　．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
六．类比推理--规律类的钥匙
19．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于14×6可以用裂项的方法变形为：14×6=12(14−16)．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：1n×(n+1)=　 　；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：11×2+12×3+13×4+⋯+199×100；
【迁移应用】（3）探究并计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．
20．王老师在一节数学课上讲解了二道例题：
请你参考黑板上王老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）99×15；
（2）999×11845+999×（−15）﹣999×35．
21．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，可以把算式12+14+18+116+132+164+1128转化为 　 　．

22．观察下列等式：
第1个等式：a1=11×2=1−12；
第2个等式：a2=12×3=12−13；
第3个等式：a3=13×4=13−14；
第4个等式：a4=14×5=14−15⋯
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出：第n个等式an＝　 　（n为正整数）；
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值；
（3）探究计算：11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023．

一．易错基础计算强化
1．计算：
（1）（﹣3）﹣|﹣8|﹣2×（﹣4）；
（2）42﹣（﹣1）2022+3÷（−13）．
试题分析：（1）先算绝对值，有理数的乘法，再算加减即可；
（2）先算乘方，有理数的除法，再算加减即可．
答案详解：解：（1）（﹣3）﹣|﹣8|﹣2×（﹣4）
＝﹣3﹣8+8
＝﹣11+8
＝﹣3；
（2）42﹣（﹣1）2022+3÷（−13）
＝16﹣1+3×（﹣3）
＝16﹣1﹣9
＝15﹣9
＝6．
2．计算：
（1）−14−(−2)3×14−16×(12−14+38)．
（2）−22−2×[(−3)2−3÷12]．
试题分析：（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减法即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后算减法即可．
答案详解：解：（1）−14−(−2)3×14−16×(12−14+38)
＝﹣14﹣（﹣8）×14−16×12+16×14−16×38
＝﹣14+2﹣8+4﹣6
＝﹣22；
（2）−22−2×[(−3)2−3÷12]
＝﹣4﹣2×（9﹣3×2）
＝﹣4﹣2×（9﹣6）
＝﹣4﹣2×3
＝﹣4﹣6
＝﹣10．
3．计算：
（1）−12−(+54)−(−32)+(−14)；
（2）(512+34−58+712)÷(−724)−227；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2−(−3)2]．
试题分析：（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）先把除法转化为乘法，然后乘法分配律即可解答本题；
（3）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．
答案详解：解：（1）−12−(+54)−(−32)+(−14)
=−12+（−54）+32+（−14）
＝（−12+32）+[（−54）+（−14）]
＝1+（−32）
=−12；
（2）(512+34−58+712)÷(−724)−227
＝（512+34−58+712）×（−247）−227
=512×（−247）+34×（−247）−58×（−247）+712×（−247）−227
=−107+（−187）+157+（﹣2）+（−227）
＝﹣7；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2−(−3)2]
＝﹣1−12×13×（2﹣9）
＝﹣1−16×（﹣7）
＝﹣1+76
=16．
4．计算
（1）−94−(−2.75)+25−112；
（2）(−513)×214÷(−2×3)2−(−1)2；
（3）−15×[−32×(−23)2−2]÷(−23)；
（4）(−15)2×(−25)−(−7)2×(67−314+149)．
试题分析：（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；
（4）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．
答案详解：解：（1）−94−(−2.75)+25−112
=−94+114+25−32
=−4520+5520+820−3020
=−1220
=−35；
（2）(−513)×214÷(−2×3)2−(−1)2
＝（−163）×94÷（﹣6）2﹣1
＝（−163）×94÷36﹣1
＝（−163）×94×136−1
=−13−1
=−43；
（3）−15×[−32×(−23)2−2]÷(−23)
＝﹣1×（﹣9×49−2）×（−32）
＝﹣1×（﹣4﹣2）×（−32）
＝﹣1×（﹣6）×（−32）
＝﹣9；
（4）(−15)2×(−25)−(−7)2×(67−314+149)
=125×（﹣25）﹣49×（67−314+149）
＝（﹣1）﹣49×67+49×314−49×149
＝（﹣1）﹣42+212−1
＝﹣3312．
二．运算符号的灵活运用。
5．若使得算式﹣1□0.5的值最小时，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
试题分析：将运算符号放入方框，计算即可作出判断．
答案详解：解：﹣1+0.5＝﹣0.5；﹣1﹣0.5＝﹣1.5；﹣1×0.5＝﹣0.5；﹣1÷0.5＝﹣2，
则使得算式﹣1□0.5的值最小时，则“□”中填入的运算符号是÷，
所以选：D．
6．请在运算式“6□3□5□9”中的□内，分别填入+，﹣，×，÷中的一个符号（不重复使用），使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为 　48　．
试题分析：利用有理数的混合运算推测计算出．
答案详解：解：6﹣3+5×9＝48，
所以答案是：48．
三．数值转化机
7．如图是一个数值转换机的示意图，则输入的数为 　3或﹣5　．

试题分析：根据程序图，利用有理数的乘方和有理数的加法法则进行解答即可．
答案详解：解：∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴输入的数x+1＝±4．
∵3+1＝4，﹣5+1＝﹣4，
∴输入的数x为：3或﹣5．
所以答案是：3或﹣5．
8．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为25，则第2022次输出的结果为 　1　．

试题分析：由题意利用程序图进行运算，可以发现从第一次开始输出的结果以5，1为循环节循环，由此可得结论．
答案详解：解：由题意得：
第一次输入25，输出结果为：5；
第二次输入5，输出结果为：1；
第三次输入1，输出结果为：5；
第四次输入5，输出结果为：1；
第五次输入1，输出结果为：5；

•••，
∴从第一次开始输出的结果以5，1为循环节循环，
∵2022÷2＝1011，
∴第2022次输出的结果为：1．
所以答案是：1．
四．新定义
9．已知“!”是一种运算符号，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，则2021!2020!=　2021　．
试题分析：根据题意，可以计算出所求式子的值．
答案详解：解：由题意可得，
2021!2020!=1×2×3×⋯×20211×2×3×⋯×2020=2021，
所以答案是：2021．
10．若规定“⊕”的运算过程表示为：a⊕b=13a﹣2b，如3⊕1=13×3﹣2×1＝﹣1．
（1）则（﹣6）⊕12=　﹣3　．
（2）若（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，求x的值．
试题分析：（1）根据规定的运算列式计算；
（2）根据规定的运算列方程，解出一元一次方程．
答案详解：解：（1）（﹣6）⊕12
=13×（﹣6）﹣2×12
＝﹣2﹣1
＝﹣3，
所以答案是：﹣3；
（2）（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，
13×（2x﹣1）﹣2×12x=13×3﹣2x，
23x−13−x＝1﹣2x，
23x﹣x+2x＝1+13，
53x=43，
x=45．
11．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab+a．
如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求2*（﹣2）的值；
（2）若2∗x=m，(14x)∗3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若[(a+12)∗(−3)]∗12=a+4，求a的值．
试题分析：（1）根据给定定义式，代入数据求值即可；
（2）根据给定定义式，表示出m和n，做差后即可得出结论；
（3）重复套用定义式，得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．
答案详解：解：（1）2*（﹣2）＝2×（﹣2）2+2×2×（﹣2）+2＝2．
（2）m＝2*x＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝（14x）*3＝（14x）×32+2×（14x）×3+14x＝4x，
m﹣n＝2x2+4x+2﹣4x＝2x2+2≥2，
故m＞n．
（3）（a+12）*（﹣3）=a+12×（﹣3）2+2×a+12×（﹣3）+a+12=2a+2，（2a+2）*12=（2a+2）×（12）2+2×（2a+2）×12+（2a+2）=9a2+92，
即a+4=92a+92，解得：a=−17．
答：当[(a+12)∗(−3)]∗12=a+4时，a的值为−17．
12．对于有理数a、b定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b＝|a|+|b|﹣|a﹣b|．
（1）计算2⊗3的值；
（2）当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b；
（3）已知a＜0，a⊗a＝12+a，求a的值．

试题分析：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可；
（3）原式利用题中的新定义得到关于a的方程，解方程即可求解．
答案详解：解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+3﹣|2﹣3|＝2+3﹣1＝4；
（2）由a，b在数轴上位置，可得a﹣b＞0，
则a⊗b＝|a|+|b|﹣|a﹣b|＝a﹣b﹣a+b＝0；
（3）∵a＜0，a⊗a＝﹣a﹣a﹣0＝12+a，
解得a＝﹣4．
故a的值为﹣4．
13．用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝a2b+2ab+b，例如：1⊗3＝12×3+2×1×3+3＝12．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若3⊗（x﹣1）＝16，求x的值；
（3）已知x为有理数，设m＝x⊗2，n＝3⊗x4，试比较m、n的大小．
试题分析：（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案．
答案详解：解：（1）2⊗（﹣1）
＝22×（﹣1）+2×2×（﹣1）+（﹣1）
＝4×（﹣1）﹣4+（﹣1）
＝﹣4﹣4﹣1
＝﹣9；
（2）由3⊗（x﹣1）＝16，
可得9（x﹣1）+6（x﹣1）+（x﹣1）＝16，
解得x＝2；
（3）由m＝x⊗2，得m＝2x2+4x+2，
由n＝3⊗x4，得n＝4x，
∵m﹣n＝2x2+2＞0，
∴m＞n．
五．阅读类--自学能力的培养
14．阅读理解：
材料一：对于一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差是6的倍数，则称这个四位数为“顺数”；
材料二：对于一个四位正整数N，如果把各个数位上的数字重新排列，必将得到一个最大的四位数和一个最小的四位数，把最大的四位数与最小的四位数的差叫做极差，记为f（N）．
例如7353；
∵（7+5）﹣（3+3）＝6，6÷6＝1，
∴7353是“顺数”，f（7353）＝7533﹣3357＝4176．
（1）判断1372与9614是否是顺数，若是“顺数”，请求出它的极差；
（2）若一个十位数字为2，百位数字为6的“顺数”N加上其个位数字的2倍能被13整除，且个位数字小于5，求满足条件的“顺数”N的极差f（N）的值．
试题分析：（1）先根据“顺数”的定义判断，根据极差的定义即可求解；
（2）设N＝1000a+600+20+b，且1≤a≤9，0≤b≤4，根据“顺数”的定义可求得a﹣b＝﹣2，根据1≤a≤9，0≤b≤4，确定a，b的值，根据N加上其个位数字的2倍能被13整除，求出N的值，进而求出极差．
答案详解：解：（1）∵（1+7）﹣（3+2）＝3，3÷6=12，
∴1372不是“顺数”，f（1372）＝7321﹣1237＝6084，
∵（9+1）﹣（6+4）＝0，0÷6＝0，
∴9614是顺数，f（9614）＝9641﹣1469＝8172；
（2）设N＝1000a+600+20+b，且1≤a≤9，0≤b≤4，
∴﹣4≤﹣b≤0
∵（a+2）﹣（6+b）＝﹣4+a﹣b，
∴﹣7≤﹣4+a﹣b≤5，
∵N为“顺数”，
∴（﹣4+a﹣b）为6的倍数，
∴﹣4+a﹣b＝﹣6或﹣4+a﹣b＝0，
∴a﹣b＝﹣2或a﹣b＝4，
1°若a﹣b＝﹣2时，
当b＝0时，a＝﹣2不符合题意，
当b＝1是，a＝﹣1不符合题意，
当b＝2是，a＝0不符合题意，
当b＝3是，a＝1，此时N＝1000+600+20+3＝1623，N+2b＝1623+2×3＝1629，
当b＝4是，a＝2，此时N＝2000+600+20+4＝2624，N+2b＝2624+2×4＝2632，
∵N加上其个位数字的2倍能被13整除，
∴N＝1623，N＝2624不符合题意，
2°若a﹣b＝4时，
当b＝0时，a＝4，此时N＝4000+600+20+0＝4620，N+2b＝4620+2×0＝4620，
当b＝1是，a＝5，此时N＝5000+600+20+1＝5621，N+2b＝5621+2×1＝5623，
当b＝2是，a＝6，此时N＝6000+600+20+2＝6622，N+2b＝6622+2×2＝6626，
当b＝3是，a＝7，此时N＝7000+600+20+3＝7623，N+2b＝7623+2×3＝7629，
当b＝4是，a＝8，此时N＝8000+600+20+4＝8624，N+2b＝8624+2×4＝8632，
∵N加上其个位数字的2倍能被13整除，
∴N＝8624，
此时f（8624）＝8642﹣2468＝6174．
15．阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　一　是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36=　15　；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
试题分析：（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；
（2）利用乘法的分配律进行求解即可；
（3）仿照解法三进行解答即可．
答案详解：解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，
所以答案是：一；
（2）(12−14+16)×36
=12×36−14×36+16×36
＝18﹣9+6
＝15，
所以答案是：15；
（3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）
＝（37+215−310−521）×（﹣210）
=37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）
＝﹣90﹣28+63+50
＝﹣5，
∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．
16．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．
定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：am÷an=当m＞n时，am÷an=am−n当m=n时，am÷an=1当m＜n时，am÷an=1an−m．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：(13)3÷(13)2=　13　，52÷54＝　125　；
（2）如果x＞0，且2x+4÷22x+5=18，求出x的值；
（3）如果（x﹣2）2x+2÷（x﹣2）x+7＝1，请直接写出x的值．
试题分析：（1）根据同底数幂的除法法则计算可得；
（2）根据同底数幂的除法法则列出方程：x+1＝3，解之可得；
（3）分三种情况：①非零数零指数幂等于1；②1的任何次乘方都等于1；③﹣1的偶次乘方等于1可得．
答案详解：解：（1）(13)3÷(13)2=13，52÷54=152=125，
所以答案是：13，125；

（2）因为x＞0，
所以x+4＜2x+5，
所以2x+4÷22x+5=122x+5−(x+4)=12x+1，
又因为18=123，
所以x+1＝3，
解得x＝2；
（3）由题意知，①2x+2﹣（x+7）＝0，
解得：x＝5；
②x﹣2＝1，
解得：x＝3；
③x﹣2＝﹣1且2x+2与x+7为偶数，
解得：x＝1；
综上，x＝5，x＝3，x＝1．
17．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a⋯÷a︸n个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　12　，（−12）⑤＝　﹣8　；
（2）关于除方，下列说法错误的是　C　
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④＝　(−13)2　；5⑥＝　(15)4　；（−12）⑩＝　（﹣2）8　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　aⓝ=(1a)n−2　；
（3）算一算：122÷（−13）④×（﹣2）⑤﹣（−13）⑥÷33．
试题分析：【概念学习】
（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
【深入思考】
（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a，则aⓝ＝a×(1a)n﹣1；
（3）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
答案详解：解：【概念学习】
（1）2③＝2÷2÷2=12，
（−12）⑤＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝（﹣2）÷（−12）÷（−12）＝﹣8
所以答案是：12，﹣8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
C、3④＝3÷3÷3÷3=19，4③＝4÷4÷4=14，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，所以选C；
【深入思考】
（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×(−13)2=(−13)2；
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=(15)4；
同理得：（−12）⑩＝（﹣2）8；
所以答案是：(−13)2；(15)4；（﹣2）8；
（2）aⓝ=(1a)n﹣2；
（3）122÷（−13）④×（﹣2）⑤﹣（−13）⑥÷33，
＝144÷（﹣3）2×（−12）3﹣（﹣3）4÷33，
＝144×19×(−18)−81÷27，
＝16×（−18）﹣3，
＝﹣2﹣3，
＝﹣5．
18．探究规律，完成相关题目
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；
（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；
0❈（+8）＝8；（﹣6）❈0＝6．
智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，　同号得正，异号得负，并把绝对值相加　．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，　等于这个数的绝对值　．
（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣1）]＝　﹣3　．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
试题分析：（1）首先根据❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出❈（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：0❈（+8）＝8；（﹣6）❈0＝6，可得：0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣2）❈[0❈（﹣1）]的值是多少即可．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
答案详解：解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．

（2）（﹣2）❈[0❈（﹣1）]
＝（﹣2）❈1
＝﹣3

（3）加法交换律和加法结合律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．
由❈（加乘）运算的运算法则可知：
（+5）❈（+2）＝+7，
（+2）❈（+5）＝+7，
所以（+5）❈（+2）＝（+2）❈（+5），
即加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．
所以答案是：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；﹣3．
六．类比推理--规律类的钥匙
19．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于14×6可以用裂项的方法变形为：14×6=12(14−16)．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：1n×(n+1)=　1n−1n+1　；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：11×2+12×3+13×4+⋯+199×100；
【迁移应用】（3）探究并计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．
试题分析：（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题；
（3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．
答案详解：解：（1）1n×(n+1)=1n−1n+1，
所以答案是：1n−1n+1；
（2）由（1）易得：(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(199−1100)
=1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100
=1−1100
=99100；
（3）1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+...+1−2021×2023
=−12×（21×3+23×5+25×7+27×9+⋯+22021×2023）
=−12×（1−13+13−15+15−17+17−19+⋯+12021−12023）
=−12×（1−12023）
=−12×20222023
=−10112023．
20．王老师在一节数学课上讲解了二道例题：
请你参考黑板上王老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）99×15；
（2）999×11845+999×（−15）﹣999×35．
试题分析：（1）根据乘法分配律进行计算；
（2）先根据乘法分配律的逆运算加括号，再将999变形为100﹣1，利用乘法分配律进行计算．
答案详解：（满分8分）
解：（1）原式＝（100﹣1）×15＝1500﹣15＝1485…（3分）
（2）原式＝999×（11845−15−35）＝999×118＝（1000﹣1）×118＝118000﹣118＝117882．…（5分）
21．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，可以把算式12+14+18+116+132+164+1128转化为 　127128　．

试题分析：根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成1−1128，再求出答案即可．
答案详解：解：12+14+18+116+132+164+1128
＝1−1128
=127128，
所以答案是：127128．
22．观察下列等式：
第1个等式：a1=11×2=1−12；
第2个等式：a2=12×3=12−13；
第3个等式：a3=13×4=13−14；
第4个等式：a4=14×5=14−15⋯
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出：第n个等式an＝　1n(n+1)=1n−1n+1　（n为正整数）；
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值；
（3）探究计算：11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023．
试题分析：（1）对所给的等式进行分析，不难总结出其规律；
（2）利用所给的规律进行求解即可；
（3）仿照所给的等式，对各项进行拆项进行，再运算即可．
答案详解：解：（1）∵第1个等式：a1=11×2=1−12；
第2个等式：a2=12×3=12−13；
第3个等式：a3=13×4=13−14；
第4个等式：a4=14×5=14−15；
…，
∴第n个等式：an=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以答案是：1n(n+1)=1n−1n+1；
（2）a1+a2+a3+a4+…+a100
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1100×101
＝1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1100−1101
＝1−1101
=100101；
（3）11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023
=13×（1−14+14−17+17−110+⋯+12020−12023）
=13×(1−12023)
=13×20222023
=6742023．