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2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题03 易错34题考点专练（含答案解析）
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这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题03 易错34题考点专练（含答案解析），共26页。试卷主要包含了2＝0，则xy＝ ，求下列式子中的x的值，求下列各式中的x，求下列x的值等内容，欢迎下载使用。
专题03【易错34题考点专练】
一．平方根（共1小题）
1．（2021秋•泰州期中）一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 ．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2021秋•苏州期中）下列运算或叙述正确的是（ ）
A．
B．4的平方根是±
C．面积为12的正方形的边长为2
D．＝±2
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
3．（2021秋•东台市期中）若+（y﹣3）2＝0，则xy＝ ．
四．立方根（共7小题）
4．（2021秋•工业园区校级期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋•邗江区校级期中）求下列式子中的x的值：
（1）（x﹣2）2＝9； （2）3（x+1）3+81＝0．
6．（2021秋•六合区期中）求下列各式中的x．
（1）9x2﹣16＝0． （2）（x+1）3＝﹣27．
7．（2021秋•高港区期中）求下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0． （2）3（x﹣1）2﹣15＝0．
8．（2021秋•东台市期中）已知a的立方根是3，b的算术平方根是4，一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，求a+b﹣2c的平方根．
9．（2021秋•工业园区校级期中）求下列各式中的x：
（1）9（x﹣1）2＝25； （2）（x+2）3＝512．
10．（2021秋•锡山区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36； （2）（x+5）3﹣27＝0．
五．无理数（共5小题）
11．（2021秋•梁溪区校级期中）实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2021秋•南京期中）下列实数中，无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣π
13．（2021秋•工业园区校级期中）下列实数中：0.2020020002…，，，0.，﹣，，无理数个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．（2021秋•淮阴区期中）在实数2、0.585858…、、中，无理数是 ．
15．（2021秋•鼓楼区期中）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有 个．
六．实数（共1小题）
16．（2021秋•江阴市期中）下列说法正确的是（ ）
A．＝±1
B．＝a
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．9的平方根是±3
七．估算无理数的大小（共1小题）
17．（2021秋•苏州期中）下列实数中，与最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
八．实数的运算（共1小题）
18．（2021秋•溧阳市期中）计算：
（1）； （2）．
九．全等三角形的性质（共1小题）
19．（2021秋•泰州期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ °．
一十．全等三角形的判定（共1小题）
20．（2021秋•海州区期中）如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB
一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2021秋•邗江区校级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22．（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
一十二．等腰三角形的性质（共2小题）
23．（2021秋•广陵区期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为 ．
24．（2021秋•靖江市校级期中）等腰三角形ABC的周长是8cm，AB＝3cm，则BC＝ cm．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
25．（2021秋•常州期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝2∠B＝70°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．AB＝3，BC＝6，周长为14
一十四．直角三角形的性质（共1小题）
26．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
一十五．勾股定理（共3小题）
27．（2021秋•仪征市期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 ．
28．（2021秋•仪征市期中）已知Rt△ABC的周长是24，斜边上的中线长是5，则S△ABC＝ ．
29．（2021秋•邗江区期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 ．
一十六．勾股定理的逆定理（共2小题）
30．（2021秋•锡山区期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝1
31．（2021秋•盱眙县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6．其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
一十七．勾股定理的应用（共2小题）
32．（2021秋•六合区期中）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 米．
33．（2021秋•靖江市期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
一十八．轴对称图形（共1小题）
34．（2021秋•东台市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴
C．全等的两个三角形一定关于某直线对称
D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁
一．平方根（共1小题）
1．（2021秋•泰州期中）一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 16 ．
【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，
∴a+2+a﹣6＝0，
解得：a＝2，
故a+2＝2+2＝4，
则这个正数是：42＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2021秋•苏州期中）下列运算或叙述正确的是（ ）
A．
B．4的平方根是±
C．面积为12的正方形的边长为2
D．＝±2
【分析】A：被开方数不同，不能合并二次根式；
B：4的平方根是±2；
C：边长＝＝2；
D：正数的算术平方根只有一个正数．
【解答】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，∴不合题意；
B：4的平方根是±2，∴不合题意；
C：面积为12的正方形的边长为2，∴符合题意；
D：＝2，∴不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的性质是解题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
3．（2021秋•东台市期中）若+（y﹣3）2＝0，则xy＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用算术平方根的性质和偶次方的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，y＝3，
故xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
四．立方根（共7小题）
4．（2021秋•工业园区校级期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用算术平方根和平方根的定义逐项进行判断即可得到正确的答案．
【解答】解：A、＝＝4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝﹣2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、＝6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝5，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根与算术平方根．解题的关键是掌握平方根与算术平方根的定义，要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
5．（2021秋•邗江区校级期中）求下列式子中的x的值：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）3（x+1）3+81＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）把式子整理后，根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x＝5或x＝﹣1；
（2）3（x+1）3+81＝0，
（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【点评】本题主要考查了平方根以及立方根，熟记平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
6．（2021秋•六合区期中）求下列各式中的x．
（1）9x2﹣16＝0．
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】（1）先将原式变形，再利用平方根的定义可得答案；
（2）利用立方根的定义求出x+1，再求x即可．
【解答】解：（1）9x2＝16，
x2＝，
x＝±；
（2）x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【点评】本题考查了平方根、立方根，理解平方根、立方根的意义是得出答案的前提．
7．（2021秋•高港区期中）求下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0．
（2）3（x﹣1）2﹣15＝0．
【分析】（1）先移项，再两边都除以﹣27，继而两边开立方即可得；
（2）先移项，再两边都除以3，继而两边开平方，最后解方程即可得．
【解答】解：（1）∵﹣27x3+8＝0，
∴﹣27x3＝﹣8，
则x3＝，
解得：x＝；
（2）∵3（x﹣1）2﹣15＝0，
∴3（x﹣1）2＝15，
∴（x﹣1）2＝5，
则x﹣1＝±，
解得：x＝1±．
【点评】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．
8．（2021秋•东台市期中）已知a的立方根是3，b的算术平方根是4，一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，求a+b﹣2c的平方根．
【分析】根据a的立方根是3，b的算术平方根是4，先求出a、b的值，再根据一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，列式d+1+2d﹣7＝0，求出d的值，进一步求出c，代入求a+b﹣2c的平方根．
【解答】解：∵a的立方根是3，b的算术平方根是4，
∴a＝27，b＝16，
∵个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，
∴d+1+2d﹣7＝0，
解得d＝2，
∴c＝（2+1）2＝9，
把a＝27，b＝16，c＝9，代入a+b﹣2c＝27+16﹣2×9＝25，
∴a+b﹣2c的平方根是±5．
【点评】本题主要考查了代数式求值、平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义和性质，据一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，列式计算是解题关键．
9．（2021秋•工业园区校级期中）求下列各式中的x：
（1）9（x﹣1）2＝25；
（2）（x+2）3＝512．
【分析】（1）先两边都除以9，再根据平方根的概念得出x﹣1的值，最后求出x的值；
（2）先由立方根的定义得出x+2的值，再求出x的值．
【解答】解：（1）∵9（x﹣1）2＝25，
∴（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
解得x＝或x＝﹣；
（2）∵（x+2）3＝512，
∴x+2＝8，
∴x＝6．
【点评】本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．
10．（2021秋•锡山区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36；
（2）（x+5）3﹣27＝0．
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）根据立方根的定义解决．
【解答】解：（1）4（x﹣2）2＝36，
（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x＝2±3，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x+5）3﹣27＝0，
（x+5）3＝27，
x+5＝3，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握这两个定义的熟练应用，把（x﹣2）、（x+5）看作一个整体是解题关键．
五．无理数（共5小题）
11．（2021秋•梁溪区校级期中）实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．
【解答】解：是分数，属于有理数；
0.3，0.1010010001是有限小数，属于有理数；
无理数有，，，，共有4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解答此题的关键是熟知无理数的定义．无理数为无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．（2021秋•南京期中）下列实数中，无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、﹣π是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
13．（2021秋•工业园区校级期中）下列实数中：0.2020020002…，，，0.，﹣，，无理数个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：无理数有0.2020020002…，，﹣，，共有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
14．（2021秋•淮阴区期中）在实数2、0.585858…、、中，无理数是 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：2是整数，属于有理数；
0.585858…是无限循环小数，属于有理数；
＝2是整数，属于有理数；
是无理数．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
15．（2021秋•鼓楼区期中）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有 2 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：＝2，
无理数有，2π，共有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
六．实数（共1小题）
16．（2021秋•江阴市期中）下列说法正确的是（ ）
A．＝±1
B．＝a
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．9的平方根是±3
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行选择即可．
【解答】解：A、＝1，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、＝|a|，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、一个正数的算术平方根一定是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、9的平方根是±3，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根的定义，掌握平方根的定义和算术平方根的定义是解题的关键．
七．估算无理数的大小（共1小题）
17．（2021秋•苏州期中）下列实数中，与最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3．
∵3﹣﹣（﹣2）＝5﹣＝﹣＞0，
∴3﹣＞，
∴最接近的整数是2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”．
八．实数的运算（共1小题）
18．（2021秋•溧阳市期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先开方，再平方，最后加减．
（2）先化简二次根式和负整数指数幂，再加减．
【解答】解：（1）原式＝4+5﹣9＝0．
（2）原式＝2﹣4+4＝2．
【点评】本题考查二次根式与负整数指数幂的混合计算，正确化简二次根式是求解本题的关键．
九．全等三角形的性质（共1小题）
19．（2021秋•泰州期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ 45 °．
【分析】依据全等三角形的对应角相等以及三角形内角和定理，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°，
又∵∠C＝35°，
∴∠BAC＝70°，
又∵∠DAC＝25°，
∴∠BAD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应角相等．
一十．全等三角形的判定（共1小题）
20．（2021秋•海州区期中）如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB
【分析】由已知AC＝DB，且BC＝CB，故可增加一组边相等，即AB＝DC，可增加∠ACB＝∠DBC，可得出答案．
【解答】解：由已知AC＝DB，且AC＝CA，故可增加一组边相等，即AB＝DC，
也可增加一组角相等，但这组角必须是AC和BC、DB和CB的夹角，
即∠ACB＝∠DBC，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL这几种全等三角形的判定方法是解题的关键．
一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2021秋•邗江区校级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝AC•BD，故③错误；
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
22．（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
【分析】（1）先用（HL）证明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）证明Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）由全等推AE＝AF，把AC长转化为AC＝AB+BE+FC，代入数值求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，
在Rt△EBD与Rt△EBD中
，
∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；
（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，
∴AF＝12+BE，
∵AC＝AF+FC
∴AC＝AB+BE+FC，
∴18＝12+BE+CF，
∵BE＝CF．
∴18＝12+2BE，
∴BE＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，用（HL）证明全等三角形是解题关键．
一十二．等腰三角形的性质（共2小题）
23．（2021秋•广陵区期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为 17 ．
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
24．（2021秋•靖江市校级期中）等腰三角形ABC的周长是8cm，AB＝3cm，则BC＝ 2或3或2.5 cm．
【分析】按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边．
【解答】解：（1）当AB＝3cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（8﹣AB）＝2.5cm；
（2）当AB＝3cm为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝3cm，
②若BC为底，则BC＝8﹣2AB＝2cm．
故本题答案为：2或3或2.5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
25．（2021秋•常州期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝2∠B＝70°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．AB＝3，BC＝6，周长为14
【分析】判断三角形中是否有相等的角，是否有相等的边即可判断．
【解答】解：A、∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
B、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
C、∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；
D、∵AB＝3，BC＝6，周长为14，
∴AC＝14﹣6﹣3＝5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，理解定理是关键．
一十四．直角三角形的性质（共1小题）
26．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
【分析】（1）取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；
（2）根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．
【解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥
【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．
一十五．勾股定理（共3小题）
27．（2021秋•仪征市期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 2 ．
【分析】根据大正方形面积＝A+C＝D+B，得2个最大正方形面积是8．从而得1个最大正方形面积是4，再根据正方形的面积等于边长平方得最大正方形的边长．
【解答】解：∵A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，
∴2个最大正方形面积是8，
∴1个最大正方形面积是4，
∴最大正方形的边长为2；
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
28．（2021秋•仪征市期中）已知Rt△ABC的周长是24，斜边上的中线长是5，则S△ABC＝ 24 ．
【分析】先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再根据勾股定理求出直角边，最后根据面积公式求△ABC的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边上的中线长是5，
∴斜边为10，
设其中的一条直角边为x，另一条为（14﹣x），
根据勾股定理得：x2+（14﹣x）2＝100，
整理得，x2﹣14x+48＝0，
（x﹣6）（x﹣8）＝0，
x1＝6，x2＝8，
∴S△ABC＝＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边上的中线定理的应用，把直角边用x表示出来是解题关键．
29．（2021秋•邗江区期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 123 ．
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝52+82＝89，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝32+52＝34，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝89+34＝123，
故答案为：123．
【点评】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
一十六．勾股定理的逆定理（共2小题）
30．（2021秋•锡山区期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝1
【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．
B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵a＝，b＝，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
31．（2021秋•盱眙县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6．其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①62+82＝102，能构成直角三角形；
②52+122＝132，能构成直角三角形；
③82+152＝172，能构成直角三角形；
④42+52≠62，不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
一十七．勾股定理的应用（共2小题）
32．（2021秋•六合区期中）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 0.9 米．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．
33．（2021秋•靖江市期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
一十八．轴对称图形（共1小题）
34．（2021秋•东台市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴
C．全等的两个三角形一定关于某直线对称
D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁
【分析】依据线段、等腰三角形的轴对称性以及轴对称图形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A．线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线或线段所在直线，故本选项错误；
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，故本选项正确；
C．全等的两个三角形不一定关于某直线对称，故本选项错误；
D．两图形关于某直线对称，对称点不一定在直线的两旁，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，要注意对称轴是直线．
专题03【易错34题考点专练】
一．平方根（共1小题）
1．（2021秋•泰州期中）一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 ．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2021秋•苏州期中）下列运算或叙述正确的是（ ）
A．
B．4的平方根是±
C．面积为12的正方形的边长为2
D．＝±2
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
3．（2021秋•东台市期中）若+（y﹣3）2＝0，则xy＝ ．
四．立方根（共7小题）
4．（2021秋•工业园区校级期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋•邗江区校级期中）求下列式子中的x的值：
（1）（x﹣2）2＝9； （2）3（x+1）3+81＝0．
6．（2021秋•六合区期中）求下列各式中的x．
（1）9x2﹣16＝0． （2）（x+1）3＝﹣27．
7．（2021秋•高港区期中）求下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0． （2）3（x﹣1）2﹣15＝0．
8．（2021秋•东台市期中）已知a的立方根是3，b的算术平方根是4，一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，求a+b﹣2c的平方根．
9．（2021秋•工业园区校级期中）求下列各式中的x：
（1）9（x﹣1）2＝25； （2）（x+2）3＝512．
10．（2021秋•锡山区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36； （2）（x+5）3﹣27＝0．
五．无理数（共5小题）
11．（2021秋•梁溪区校级期中）实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2021秋•南京期中）下列实数中，无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣π
13．（2021秋•工业园区校级期中）下列实数中：0.2020020002…，，，0.，﹣，，无理数个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．（2021秋•淮阴区期中）在实数2、0.585858…、、中，无理数是 ．
15．（2021秋•鼓楼区期中）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有 个．
六．实数（共1小题）
16．（2021秋•江阴市期中）下列说法正确的是（ ）
A．＝±1
B．＝a
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．9的平方根是±3
七．估算无理数的大小（共1小题）
17．（2021秋•苏州期中）下列实数中，与最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
八．实数的运算（共1小题）
18．（2021秋•溧阳市期中）计算：
（1）； （2）．
九．全等三角形的性质（共1小题）
19．（2021秋•泰州期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ °．
一十．全等三角形的判定（共1小题）
20．（2021秋•海州区期中）如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB
一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2021秋•邗江区校级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22．（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
一十二．等腰三角形的性质（共2小题）
23．（2021秋•广陵区期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为 ．
24．（2021秋•靖江市校级期中）等腰三角形ABC的周长是8cm，AB＝3cm，则BC＝ cm．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
25．（2021秋•常州期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝2∠B＝70°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．AB＝3，BC＝6，周长为14
一十四．直角三角形的性质（共1小题）
26．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
一十五．勾股定理（共3小题）
27．（2021秋•仪征市期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 ．
28．（2021秋•仪征市期中）已知Rt△ABC的周长是24，斜边上的中线长是5，则S△ABC＝ ．
29．（2021秋•邗江区期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 ．
一十六．勾股定理的逆定理（共2小题）
30．（2021秋•锡山区期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝1
31．（2021秋•盱眙县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6．其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
一十七．勾股定理的应用（共2小题）
32．（2021秋•六合区期中）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 米．
33．（2021秋•靖江市期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
一十八．轴对称图形（共1小题）
34．（2021秋•东台市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴
C．全等的两个三角形一定关于某直线对称
D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁
一．平方根（共1小题）
1．（2021秋•泰州期中）一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 16 ．
【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，
∴a+2+a﹣6＝0，
解得：a＝2，
故a+2＝2+2＝4，
则这个正数是：42＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2021秋•苏州期中）下列运算或叙述正确的是（ ）
A．
B．4的平方根是±
C．面积为12的正方形的边长为2
D．＝±2
【分析】A：被开方数不同，不能合并二次根式；
B：4的平方根是±2；
C：边长＝＝2；
D：正数的算术平方根只有一个正数．
【解答】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，∴不合题意；
B：4的平方根是±2，∴不合题意；
C：面积为12的正方形的边长为2，∴符合题意；
D：＝2，∴不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的性质是解题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
3．（2021秋•东台市期中）若+（y﹣3）2＝0，则xy＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用算术平方根的性质和偶次方的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，y＝3，
故xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
四．立方根（共7小题）
4．（2021秋•工业园区校级期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用算术平方根和平方根的定义逐项进行判断即可得到正确的答案．
【解答】解：A、＝＝4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝﹣2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、＝6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝5，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根与算术平方根．解题的关键是掌握平方根与算术平方根的定义，要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
5．（2021秋•邗江区校级期中）求下列式子中的x的值：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）3（x+1）3+81＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）把式子整理后，根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x＝5或x＝﹣1；
（2）3（x+1）3+81＝0，
（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【点评】本题主要考查了平方根以及立方根，熟记平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
6．（2021秋•六合区期中）求下列各式中的x．
（1）9x2﹣16＝0．
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】（1）先将原式变形，再利用平方根的定义可得答案；
（2）利用立方根的定义求出x+1，再求x即可．
【解答】解：（1）9x2＝16，
x2＝，
x＝±；
（2）x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【点评】本题考查了平方根、立方根，理解平方根、立方根的意义是得出答案的前提．
7．（2021秋•高港区期中）求下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0．
（2）3（x﹣1）2﹣15＝0．
【分析】（1）先移项，再两边都除以﹣27，继而两边开立方即可得；
（2）先移项，再两边都除以3，继而两边开平方，最后解方程即可得．
【解答】解：（1）∵﹣27x3+8＝0，
∴﹣27x3＝﹣8，
则x3＝，
解得：x＝；
（2）∵3（x﹣1）2﹣15＝0，
∴3（x﹣1）2＝15，
∴（x﹣1）2＝5，
则x﹣1＝±，
解得：x＝1±．
【点评】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．
8．（2021秋•东台市期中）已知a的立方根是3，b的算术平方根是4，一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，求a+b﹣2c的平方根．
【分析】根据a的立方根是3，b的算术平方根是4，先求出a、b的值，再根据一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，列式d+1+2d﹣7＝0，求出d的值，进一步求出c，代入求a+b﹣2c的平方根．
【解答】解：∵a的立方根是3，b的算术平方根是4，
∴a＝27，b＝16，
∵个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，
∴d+1+2d﹣7＝0，
解得d＝2，
∴c＝（2+1）2＝9，
把a＝27，b＝16，c＝9，代入a+b﹣2c＝27+16﹣2×9＝25，
∴a+b﹣2c的平方根是±5．
【点评】本题主要考查了代数式求值、平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义和性质，据一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d﹣7，列式计算是解题关键．
9．（2021秋•工业园区校级期中）求下列各式中的x：
（1）9（x﹣1）2＝25；
（2）（x+2）3＝512．
【分析】（1）先两边都除以9，再根据平方根的概念得出x﹣1的值，最后求出x的值；
（2）先由立方根的定义得出x+2的值，再求出x的值．
【解答】解：（1）∵9（x﹣1）2＝25，
∴（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
解得x＝或x＝﹣；
（2）∵（x+2）3＝512，
∴x+2＝8，
∴x＝6．
【点评】本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．
10．（2021秋•锡山区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x﹣2）2＝36；
（2）（x+5）3﹣27＝0．
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）根据立方根的定义解决．
【解答】解：（1）4（x﹣2）2＝36，
（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x＝2±3，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x+5）3﹣27＝0，
（x+5）3＝27，
x+5＝3，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握这两个定义的熟练应用，把（x﹣2）、（x+5）看作一个整体是解题关键．
五．无理数（共5小题）
11．（2021秋•梁溪区校级期中）实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．
【解答】解：是分数，属于有理数；
0.3，0.1010010001是有限小数，属于有理数；
无理数有，，，，共有4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解答此题的关键是熟知无理数的定义．无理数为无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．（2021秋•南京期中）下列实数中，无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、﹣π是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
13．（2021秋•工业园区校级期中）下列实数中：0.2020020002…，，，0.，﹣，，无理数个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：无理数有0.2020020002…，，﹣，，共有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
14．（2021秋•淮阴区期中）在实数2、0.585858…、、中，无理数是 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：2是整数，属于有理数；
0.585858…是无限循环小数，属于有理数；
＝2是整数，属于有理数；
是无理数．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
15．（2021秋•鼓楼区期中）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有 2 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：＝2，
无理数有，2π，共有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
六．实数（共1小题）
16．（2021秋•江阴市期中）下列说法正确的是（ ）
A．＝±1
B．＝a
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．9的平方根是±3
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行选择即可．
【解答】解：A、＝1，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、＝|a|，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、一个正数的算术平方根一定是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、9的平方根是±3，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根的定义，掌握平方根的定义和算术平方根的定义是解题的关键．
七．估算无理数的大小（共1小题）
17．（2021秋•苏州期中）下列实数中，与最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3．
∵3﹣﹣（﹣2）＝5﹣＝﹣＞0，
∴3﹣＞，
∴最接近的整数是2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”．
八．实数的运算（共1小题）
18．（2021秋•溧阳市期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先开方，再平方，最后加减．
（2）先化简二次根式和负整数指数幂，再加减．
【解答】解：（1）原式＝4+5﹣9＝0．
（2）原式＝2﹣4+4＝2．
【点评】本题考查二次根式与负整数指数幂的混合计算，正确化简二次根式是求解本题的关键．
九．全等三角形的性质（共1小题）
19．（2021秋•泰州期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ 45 °．
【分析】依据全等三角形的对应角相等以及三角形内角和定理，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°，
又∵∠C＝35°，
∴∠BAC＝70°，
又∵∠DAC＝25°，
∴∠BAD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应角相等．
一十．全等三角形的判定（共1小题）
20．（2021秋•海州区期中）如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB
【分析】由已知AC＝DB，且BC＝CB，故可增加一组边相等，即AB＝DC，可增加∠ACB＝∠DBC，可得出答案．
【解答】解：由已知AC＝DB，且AC＝CA，故可增加一组边相等，即AB＝DC，
也可增加一组角相等，但这组角必须是AC和BC、DB和CB的夹角，
即∠ACB＝∠DBC，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL这几种全等三角形的判定方法是解题的关键．
一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2021秋•邗江区校级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝AC•BD，故③错误；
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
22．（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
【分析】（1）先用（HL）证明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）证明Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）由全等推AE＝AF，把AC长转化为AC＝AB+BE+FC，代入数值求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，
在Rt△EBD与Rt△EBD中
，
∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；
（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，
∴AF＝12+BE，
∵AC＝AF+FC
∴AC＝AB+BE+FC，
∴18＝12+BE+CF，
∵BE＝CF．
∴18＝12+2BE，
∴BE＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，用（HL）证明全等三角形是解题关键．
一十二．等腰三角形的性质（共2小题）
23．（2021秋•广陵区期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为 17 ．
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
24．（2021秋•靖江市校级期中）等腰三角形ABC的周长是8cm，AB＝3cm，则BC＝ 2或3或2.5 cm．
【分析】按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边．
【解答】解：（1）当AB＝3cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（8﹣AB）＝2.5cm；
（2）当AB＝3cm为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝3cm，
②若BC为底，则BC＝8﹣2AB＝2cm．
故本题答案为：2或3或2.5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
25．（2021秋•常州期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝2∠B＝70°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．AB＝3，BC＝6，周长为14
【分析】判断三角形中是否有相等的角，是否有相等的边即可判断．
【解答】解：A、∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
B、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
C、∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；
D、∵AB＝3，BC＝6，周长为14，
∴AC＝14﹣6﹣3＝5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，理解定理是关键．
一十四．直角三角形的性质（共1小题）
26．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
【分析】（1）取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；
（2）根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．
【解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥
【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．
一十五．勾股定理（共3小题）
27．（2021秋•仪征市期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 2 ．
【分析】根据大正方形面积＝A+C＝D+B，得2个最大正方形面积是8．从而得1个最大正方形面积是4，再根据正方形的面积等于边长平方得最大正方形的边长．
【解答】解：∵A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，
∴2个最大正方形面积是8，
∴1个最大正方形面积是4，
∴最大正方形的边长为2；
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
28．（2021秋•仪征市期中）已知Rt△ABC的周长是24，斜边上的中线长是5，则S△ABC＝ 24 ．
【分析】先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再根据勾股定理求出直角边，最后根据面积公式求△ABC的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边上的中线长是5，
∴斜边为10，
设其中的一条直角边为x，另一条为（14﹣x），
根据勾股定理得：x2+（14﹣x）2＝100，
整理得，x2﹣14x+48＝0，
（x﹣6）（x﹣8）＝0，
x1＝6，x2＝8，
∴S△ABC＝＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边上的中线定理的应用，把直角边用x表示出来是解题关键．
29．（2021秋•邗江区期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 123 ．
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝52+82＝89，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝32+52＝34，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝89+34＝123，
故答案为：123．
【点评】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
一十六．勾股定理的逆定理（共2小题）
30．（2021秋•锡山区期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝1
【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．
B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵a＝，b＝，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
31．（2021秋•盱眙县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6．其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①62+82＝102，能构成直角三角形；
②52+122＝132，能构成直角三角形；
③82+152＝172，能构成直角三角形；
④42+52≠62，不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
一十七．勾股定理的应用（共2小题）
32．（2021秋•六合区期中）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 0.9 米．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．
33．（2021秋•靖江市期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
一十八．轴对称图形（共1小题）
34．（2021秋•东台市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴
C．全等的两个三角形一定关于某直线对称
D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁
【分析】依据线段、等腰三角形的轴对称性以及轴对称图形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A．线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线或线段所在直线，故本选项错误；
B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，故本选项正确；
C．全等的两个三角形不一定关于某直线对称，故本选项错误；
D．两图形关于某直线对称，对称点不一定在直线的两旁，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，要注意对称轴是直线．
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